导数教材分析与教学建议1

导数教材分析与教学建议1
导数教材分析与教学建议
导数是新课程增加的内容，随着课程改革的不断深入，导数知识在高考中的考查要求也逐年加强，导数已经由前两年只是在高考中的辅助地位上升为分析和解决问题所必不可少的工具。

那么如何恰如其分地进行导数的教学呢？如何将这一研究函数及其性质的先进方法融入学习者原有的知识结构呢？如何组织导数的复习教学呢？
一、教材分析
1．本章教材第一节讲的是平均变化率第二节讲的是瞬时变化率，它们是理解导数概念的基础，是对导数概念的重要铺垫。

导数概念是从许多实际问题中概括出来的一个非常抽象的概念，也是本章的难点。

教材从切线及其斜率出发引入导数概念，为了便于学生掌握，又按导数定义，对求导数的一般方法规定了三个步骤，接着又阐明了导数的几何意义及其在求切线方程中的应用。

教师在教学过程中要充分利用这些材料帮助学生理解导数概念的实质，对理科班的教学应不失时机地介绍其相关的物理意义，而不要停留在形式地记住定义，会套用三个步骤求函数的导数。

2．第四节导数在研究函数方面的应用，应引导学生在定性思考的基础上给出定量的判断。

对结论的把握要准确：导函数为正（负），函数为增（减）函数，这显然是判断函数增减性的充分条件而非必要条件；函数在极值点处的导函数为零，这是函数在该点处取得极值的必要条件。

对解题过程的规律要求：求导数——解方程——列表格——写结论，待学生积累了大量感性认识后再提出更高的要求。

二、教学建议
渗透三次函数的图象、性质及相关推理
一二次函数是重要的且具有广泛应用的基本初等函数已是不争的事实，在初等数学范畴内利用直观的初等方法，学生对此已有较为全面、系统、深刻的认识，并在某些方面具备了把握规律的能力。

然而，三次多项式函数虽然同样初等，但是诸多问题的研究与探讨学生均显
力不从心。

目前，研究函数性质的高等工具—导数，已进入中学课堂，作为教者理应力所能及地借助于这一工具让学生对三次多项式函数能有一些初步的理性认识。

2．1 三次函数是中心对称曲线
三次函数d cx bx ax x f +++=23)(关于点（m ，n ）对称的充要条件是f(m-x)+f(m+x)=2n,即
])()()([23d x m c x m b x m a +-+-+-+n d x m c x m b x m a 2])()()([23=++++++，整理得，n d mc bm am x b ma 2)2222()26(232=+++++。

据多项式恒等对应系数
相等,可得a
b m 3-=且d m
c bm am n +++=23，从而三次函数是中心对称曲线，且由)(m f n =知其对称中心仍然在曲线上；同理可探索出三次函数不是轴对称曲线。

2．2 三次曲线有两种形状
由于三次曲线是中心对称曲线，因此，将其对称中心移至坐标原点便可将三次曲线的解析式简化为bx ax x f +=3)(。

不妨设0>a ，据导函数
b ax x f +='23)(知，当0≥b 时，f （x ）在实数集R 是为增函数，利用《几何画板》作其图像如图1所示；当0
图2
从定性思考顺利地走向定量证明。

2．3 三次曲线性质及其联系
借助于导数及三次函数的图象，很容易解决三次函数的定义域、值域、对称性、单调性、极值、切线等基本问题。

此外，三次曲线的内部尚蕴藏着如下深刻的联系。

性质1．在三次曲线上存在惟一一点，使曲线在该点处的切线与该曲线有惟一公共点，并且此点即为三次曲线的对称中心。

证明：设M （x 0，y 0）是曲线bx ax x f +=3)(上任一点，则曲线y=f （x ）在点M 处的切线斜率k=)(0x f '，切线方程为：))((000x x x f y y -'=-。

由?
+=-'=-bx ax y x x x f y y 3000))((联立并消去y ，得： ))(3()(0200303x x b ax bx ax bx ax -+=+-+，整理得：
0)2()(020=+-x x x x ①
切线与曲线有惟一公共点的?方程①有三个相等实根?x 0=0，故点M 惟一确定且恰好为曲线的对称中心。

性质2．若三次曲线上存在极大值点与极小值点，则极值点连线段的中点也在三次曲线上，并且此点也为三次曲线的对称中心。

证明：若三次曲线bx ax x f +=3)(上存在极值点，则方程b ax x f +='23)(=0
必有相异两实根，从而0
b x a b x 3,321-=-
-=，此时，三次曲线上的两个极值点为A （x 1，f(x 1)）,B （x 2，f(x 2)）,它们的中点恰是坐标原点,当然在曲线上且为曲线的中心。

三、值得重视的几个问题
1．重视初高等方法的交融
函数是高中数学的核心内容，在新教材高三数学选修本中虽然利用了导数方法重新研究了函数的若干性质，但是在离开导数背景的函数问题的学习与研究中，学生仍习惯于选择并不高明的初等方法进行问题解决。

究其原因，在于未能将这些用于研究初等函数的先进的高
等方法纳入原有的知识结构之中。

为克服高
中函数学习二年多的思维定向，笔者曾选用高中数学教学中遇到的用初等方法较难解决且流传甚广的典型问题作为范例，在阐述原有的初等方法繁冗且难以思考的同时，给出其简捷明快的导数解法，旨在使学生真正学会用导数作为工具研究函数的性质、并能将该思想方法早日纳入到原有的知识结构之中，形成自觉的应用意识。

为节省篇幅又不影响问题的阐述，文中所选例题仅限于选修Ⅰ中多项式函数导数的应用问题。

例1 已知函数m x x f +=2)(，且)1())((2+=x f x f f （1）求m 的值；（2）设))(()(x f f x g =，求g （x ）的解析式；（3）是否存在实数λ，使)()()(x f x g x λ?-=在)1,(--∞上是减函数，在)0,1(-上是增函数。

分析：易得m=1，且22)(24++=x x x g ，这样λλ?-+-+=2)2()(24x x x 便是x 的双二次函数。

若将其转化为函2x t =与函数λλ-+-+=2)2(2x t y 的复合函数，并用关于复合函数单调性的“同增异减”法则进行判断，一方面其思维的灵活性令学生较难把握；另一方面，该法则属于“非知识性”的结论，其解题的逻辑依据又令人难以信服。

若利用函数单调性的定义逆向作差进行探索，则解题过程较繁且其中的恒不等式又较为抽象。

而利用导数研究函数的单调性，则有如下简明扼要的解法。

解x x x )2(24)(3λ?-+='，首先由题意知x=-1是0)(='x ?的根，求得4=λ；其次易验证，当4=λ时，)(x ?'在)1,(--∞上恒负、在)0,1(-上恒正。

综上知，存在4=λ适合题意。

例 2 设f （x ）是定义在R 上以2为周期的偶函数，在区间[2，3]上4)3(2)(2+--=x x f 。

（1）求]2,1[∈x 时，f （x ）的解析式；（2）若矩形ABCD 的两个顶点A 、B 在x 轴上，C 、D 在函数)20)((≤≤=x x f y 的图象上，求这个矩形面积的最大值。

分析：（1）首先由周期性和奇偶性知，在区间[1，2]上，4)1(2)(2+--=x x f ；
（2）因在区间[0，1]上，也有4)1(2)(2+--=x x f ，故
在]2,0[∈x 时，4)1(2)(2+--=x x f 。

由二次函数图象的对称性知，可设 A 、B 两点的坐标分别为（1-t ，0）和（1+t ，0）（)10≤<="">
42)1(2+-=-==t t f AD BC ，矩形ABCD 的面积)2(42t t S -=。

以往只能运用三元和积不等式求函数的最大值，殊不知直接由原式凑合出“和定”后，等号又不成立，尚需将原解析式平方后进行配凑，技巧性极强，稍有不甚便误入歧途。

如今有导数作为工具，求上述函数的最值便是程序性的知识。

)32(42t S -='，令0='S ，得区间[0，2]上的惟一极大值点3
6=t ，故它也是最大值点，所求面积的最大值为9
616。

2．重视导数的综合应用
2．1涉及切线的推理题（与解几综合）
例1 已知函数),0[,8)(3+∞∈-=x x x f ，设01>x ，设曲线y=)(x f 在点))(,(11x f x M 处的切线为m.（1）求m 的方程；（2）设m 与x 轴的交点为（x 2，0），证明：1）22≥x ；2）若21>x ，则122x x <<.
分析与解:首先应完成我们能做也是本题应该做的工作:m 的方程x 2的表达
式。

（1）)(3)8(:12131x x x x y m -=--.
(2)令y=0,得:21
312382x x x +=. (3)2
12131238622x x x x +-=-,便无所作为. (4)03821
3121>-=-x x x x . 结论暗示我们,x 1=2时,x 2=2,故
03)1()2(2386222
11212121312≥+-=+-=-x x x x x x x ,一切便迎刃而解. 例2 已知抛物线C 1:y=x 2+2x 和C 2:y=-x 2+a,如果直线L 同时是C 1和C 2的切线,称L 是C 1和C 2的公切线,公切线上两个切点间的线段,称为公切线段.(1)a 取什么
值时, C 1和C 2有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程；（2）若C 1和C 2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.
2．2涉及函数性质的推理题
例3 已知函数f(x)=-x 3+ax 2+b(a 、b 是实数).（1）是否存在a ，使函数f （x ）的图象上任意两点连线的斜率小于零？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由。

(2)若函数y=f(x)的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于1,求证:33<<-a ；（3）若]1,0[∈x ，设函数y=f （x ）的图象上的任意一点的切线斜率为k ，试讨论|k|≤1的充要条件.
例4 已知函数)0(2
131)(23>++=a cx bx ax x f 在x=c 处取得极大值，且c>0。

（Ⅰ）试比较a
1与c 的大小；（Ⅱ）证明：12-<<-b ；（证明：（1）你可能发现了结论，但却难以逻辑说明它。

∵在x=c 处f （x ）取得极大值，∴x=c 是方程f ′（x ）=0。

由韦达定理知该方程的另一个根为a
1。

假如c a
=1，则原函数不存在极值；假如c a
<1，则原函数在x=c 处取得极小值。

这都与条件矛盾，所以c a >1。

（2）,1,010)(ac b b ac c f --=∴=++?='又1,0,0-<∴>>b c a 。

又由题（1）知ac<1,故b>-2.
[另:f ′（x ）图像的对称轴方程为
a
x x x x x a b x 122222221==+<+=-=，即a
a b 12<-，又2,0->∴>b a 。

] 综上知，12-<<-b 。