2014届高三高考物理知识点总复习精讲课件：圆周运动
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圆周运动
一、描述圆周运动的物理量
常用的有：线速度、角速度、周期、转速、频率、 向心加速度等．它们的比较见下表：
快慢 每点切线方向相同
Δ l 2πr Δt T
快慢
运动
Δ
2π
Δt
T
2πr
一周
v
1
圈数
T
方向
v2
指向圆心
r
v2
4πr
r
T2
二、匀速圆周运动和非匀速圆周运动
做圆周运动的物体，若在相等的时间里通过的圆弧长
(3)齿轮的齿数与半径成正比，即周长＝齿数×齿间距 (大小齿轮的齿间距相等).
(4)在齿轮传动中，大、小齿轮的转速跟它们的齿数 成反比．
2. 对公式 v＝rω 和 a＝vr2＝rω2 的理解 r一定时v与ω成正比
(1)v＝rωω一定时v与r成正比 v一定时ω与r成反比
(2)a＝vr2＝rω2vω一一定定时时a，与ar与成r反成比正比
_；自行车骑行速度的计算公
式v＝__ .
【思路点拨】掌握线速度、角速度、周期、转速之 间的关系和链条传动和同轴传动特点是解答这类题 的重要要素．
【解析】牙盘转动的角速度等于踏脚板转动的角 速度 ω＝2πn＝2πNt ，链条的线速度为 v＝ωr1＝2πNt r1， 设牙盘的半径为 r1、飞轮的半径为 r2、自行车后轮的
由以上三式解得损失的机械能为 0.2 J
【方法与知识感悟】解答竖直面内的圆周运动问题， 主要运用两个力学观点、抓住一个关键：
(1)动力学观点：在最高点和最低点由什么力提供向 心力；
(2)功能的观点：建立起最高点与最低点的速度关系；
(3)抓住一个关键：过最高点的临界条件．
竖直面内圆周运动中常见的两种模型
【答案】2πNt 自行车后轮的半径 R、牙盘齿数
m、飞轮齿数 n
Nm 2π tn R
【方法与知识感悟】1. 传动装置的特点
传动问题包括皮带传动(链条传动、齿轮传动、摩擦 传动)和同轴传动两类，其中运动学物理量遵循下列 规律．
(1)同轴转动的轮子或同一轮子上的各点的角速度大 小相等.
(2)皮带传动的两轮，皮带不打滑时，皮带接触处的 线速度大小相等.
v2 由mg＝m r 得v临＝
gr
轻绳模型
轻杆模型
(1)当 v＝0 时，FN＝mg，FN (1) 过 最 高 点 时 ， 为支持力，沿半径背离圆心
讨论 分析
v≥ gr，FN＋mg＝ (2)当 0＜v＜ gr时，mg－FN mvr2，绳、轨道对球产 ＝mvr2，FN 背离圆心，随 v
生弹力 FN
的增大而减小
示，由图可知小球的向心力为
F＝mgtanθ
根据牛顿第二定律得
F＝mgtanθ＝mrω2
题型二：匀速圆周运动的一般动力学问题
例2 如图所示，将一根光滑的细金 属棒折成“V”形，顶角为2θ，其对 称轴竖直，在其中一边套上一个质 量为m的小金属环P. (1)若固定“V”形细金属棒，小金属 环P从距离顶点O为x的A点处由静止自由滑下，则小金 属环由静止下滑至顶点O需多长时间？ (2)若小金属环P随“V”形细金属棒绕其对称轴以每秒 n转匀速转动时，则小金属环离对称轴的距离为多少？
【解析】(1)由牛顿第三定律可知，小球在 A、C 两 点所受轨道的弹力大小 NA＝FA，NC＝FC.
在 A 点由牛顿第二定律得：NA－mg＝mRv2A 解得 vA＝2 3 m/s
(2)在 C 点由牛顿第二定律得：NC＋mg＝mRv2c 对 A 至 C 的过程，由动能定理得：Wf－mg·2R＝12mv2c －12mv2A 对 A 至 C 的过程，由功能关系得：ΔE ＝ W 损 f
【答案】(1)
2x
gcotθ
gcosθ (2)4π2n2.
【方法与知识感悟】1.解答圆周运动的一般动力学问题， 实际就是牛顿第二定律问题，关键是找出是什么力来提 供向心力．基本思路如下：
(1)审清题意，确定研究对象．
(2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周 期、轨道平面、圆心、半径等．
题型一：传动问题
例1 小明同学在学习了圆周运动的知识后，设计了一
个课题，名称为：快速测量自行车的骑行速度．他的
设想是：通过计算踏脚板转动的角速度，推算自行车
的骑行速度．经过骑行，他得到如下数据：在时间t内
踏脚板转动的圈数为N，那么踏脚板转动的角速度ω＝
_
_；要推算自行车的骑行速度，还需要测量
的物理量有___
(3)分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心 力．无论是否为匀变速圆周运动，物体受到沿半径指向 圆心的合力一定为其向心力．
(4)据牛顿运动定律及向心力公式列方程．
(5)求解并讨论．
2．几种常见的匀速圆周运动的实例
(1)火车转弯问题
在平直轨道上匀速行驶的火车，
所受合外力为零，在火车转弯时，
什么力提供向心力呢？在火车转
弯处，让外轨高于内轨，如图所示，转弯时所需向 心力由重力和弹力的合力提供．若轨道水平，转弯 时所需向心力应由外轨对车轮的挤压力提供，而这 样对车轨会造成损坏．车速大时，容易出事故．
设车轨间距为 L，两轨高度差为 h，车转弯半径为 R， 质量为 M 的火车运行时应当有多大的速度？
根据三角形边角关系知 sinθ＝Lh，对火车的受力情 况分析得 tanθ＝MFg.
度相等，就是匀速圆周运动，否则是非匀速圆周运
动，两种运动线速度大小都用公式v＝
Δl
2π • r ＝
Δt
t
计算．关于两种运动的性质、加速度、向心力比较如
下表：
大小不 变而方向时刻变化
大小和方向都变化
法向加速度 切向加速度
v2
m
r
m r 2
m
r(2π T
)2
m
r(2 π f
)2
圆心
不指向
沿 半 径 的 分 力
的方向是水平指向圆心的 F＝mgtan α.
③周期特点：圆锥摆的周期等于摆长为圆锥摆高的
单摆的周期，即 T＝2π
hg＝2π
Lcos g
α
，L 为圆锥
摆的摆长．摆长不同的圆锥摆，只要圆锥高度相同，周
期就相同．
题型三：匀速圆周运动中的临界问题
例3 如图所示，匀速转动的水 平圆盘上，沿半径方向放置着
两个用细线相连的小物体A、B， 它们的质量均为m，它们到转 轴的距离分别为rA＝20 cm，rB＝30 cm，A、B与盘面间的 最大静摩擦力均为重力的0.4倍，试求：(g取10 m/s2) (1)当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度ω0； (2)当A开始滑动时，圆盘的角速度ω； (3)当A物体即将滑动时，烧断细线，A、B状态如何？
(2)当 v＜ gr时，不能 (3)当 v＝ gr时，FN＝0
过最高点，在到达最 (4)当 v＞ gr时，FN＋mg＝
高点前小球已经脱离 了圆轨道
mvr2，FN 指向圆心并随 v 的
增大而增大
在最 取竖直向下的正方向 取竖直向下为正方向
高点
的 FN －v2
图线
1．甲、乙两球做匀速圆周运动， 它们的an－r图象如图所示，由 图象可知(甲为双曲线的一支) ( D) A．甲球运动时，线速度大小变小 B．甲球运动时，角速度大小保持不变 C．乙球运动时，线速度大小变小 D．乙球运动时，角速度大小保持不变
半径为 R，自行车飞轮边缘与链条有相同的线速度， 则飞轮的转动角速度为 ω′＝rv2＝2πNtrr21，后轮与飞轮 有相同的角速度，自行车的骑行速度为后轮边缘的线 速 的度 齿数v′为＝n，ω′则Rrr21＝＝2mnπ，Ntrr2所1R以.若v牙′盘＝的2π齿Ntr数r21R为＝m2π、Ntn飞mR轮.
青少年的喜爱，简化后的模型如
图所示，表演者沿表演台的侧
壁做匀速圆周运动．若表演时
杂技演员和摩托车的总质量不变，摩托车与侧壁间
沿侧壁倾斜方向的摩擦力恰好为零，轨道平面离地
面的高度为H，侧壁倾斜角度α不变，则下列说法中
正确的是(
B)
A．摩托车做圆周运动的H越高，向心力越大
B．摩托车做圆周运动的H越高，线速度越大
因为 θ 角很小，所以 sinθ≈tanθ，故Lh＝MFg，所
以向心力 F＝LMh g，又因为 F＝MRv2，所以车速 v＝
ghR L.
2．圆锥摆 圆锥摆是运动轨迹在水平面内的一种典 型的匀速圆周运动，此类模型的特点是：
①运动特点：物体做匀速圆周运动， 轨迹和圆心在水平面内；
②受力特点：物体所受的重力与弹力 (拉力或支持力)的合力充当向心力，合力
例4 如图甲，ABC为竖直放置的半径为0.1 m的半圆 形轨道，在轨道的最低点和最高点A、C各安装了一 个压力传感器，可测定小球在轨道内侧通过这两点 时对轨道的压力FA和FC.质量为0.1 kg的小球，以不 同的初速度v冲入ABC轨道．(g取10 m/s2)(最后结果 可用根式表示)
(1)若FA＝13 N，求小球滑经A点时的速度vA; (2)若FC和FA的关系图线如图乙所示且FA＝13 N，求 小球由A滑至C的过程中损失的机械能．
代入数据得：ω0＝3.65rad/s
(2)绳子出现张力后，A、B均由摩擦力与绳子拉力的 合力提供向心力，则有：
fA－T＝mω2rA T＋kmg＝mω2rB
当fA＝kmg时，A即将滑动，代入上述两式得：
ω＝4rad/s
(3)由第(2)问中的两式可知，烧断细线，A所受的摩 擦力足够提供向心力，故A仍然随圆盘一起做匀速 圆周运动，而B所受的最大静摩擦力不足以提供做 圆周运动所需的向心力，故B做离心运动．
C．摩托车做圆周运动的H越高，向心力做功越多
D．摩托车对侧壁的压力随高度H变大而减小
【解析】由图可求得圆周运动的半径 R＝Hcotα， 向心力 F＝mgtanα，A 错，又依 mgtanα＝Hmcovt2α，∴v
＝ gH，B 对，向心力不做功，C 错，对侧壁的压力 FN
＝comsgα，D 错．
3．如图所示，把一个质量m＝1 kg的物 体通过两根等长的细绳与竖直杆上A、B 两个固定点相连接，绳a、b长都是1 m， AB长度是1.6 m，求直杆和球旋转的角速度为多少时， b绳上才有张力？(g取10 m/s2)
【解析】已知 a、b 绳长均为 1 m，即 AC＝BC＝1 m，AO＝12AB＝0.8 m，如图 所示，在△AOC 中，cosθ＝AAOC＝01.8＝ 0.8，得 sinθ＝0.6，θ＝37°
小球做圆周运动的轨道半径 r＝OC＝AC·sinθ＝1×0.6 m＝0.6 m. b 绳被拉直但无张力时，小球所受的重力 mg 与 a 绳拉力 FTa 的合力 F 提供向心力，其受力分析如图所
F
x
=
m
a向
沿
切
向
的
分
力
F y = m a 切
三、质点做匀速圆周运动的条件 1．质点具有初速度． 2．质点受到的合外力始终与速度方向垂直．且 两者在同一平面内． 3．合外力 F 的大小保持不变，且 F＝man＝mω2r＝mvr2
设质点质量为m，做圆周 运动的半径为r，角速度为 ω，向心力为F，如图所示． (1)当F＝mω2r时，质点做 匀速ห้องสมุดไป่ตู้周运动； (2)当F＜mω2r时，质点做离心运动； (3)当F＝0时，质点沿切线做直线运动； (4)当F＞mω2r时，质点做向心运动．
【方法与知识感悟】解答临界问题的关键主要是找到 临界状态所对应的临界条件．常见的几种临界状态有：
(1)物体即将滑动的临界状态——达到最大静摩擦力；
(2)绳子是否绷紧的临界状态——绳子拉直，绳子的拉 力恰好为零；
(3)物体即将脱离轨道的临界状态——物体与轨道间的 弹力恰好为零．
题型四：竖直面内的圆周运动问题
【解析】由 an＝vr2知，只有线速度大小不变时，an 与 r 成反比，an－r 图线才是双曲线，由图象可知，甲的 线速度大小不变，AB 均错．由 an＝ω2r 知，只有角速度 大小不变时，an－r 图线才是一直线，由图象可知，乙的 角速度大小不变，C 错 D 对．本题正确答案为 D.
2．“飞车走壁”杂技表演比较受
【解析】(1)设小金属环沿棒运动的加速度为 a，滑
至 O 点用时为 t，由牛顿第二定律得 mgcosθ＝ma
由运动学公式得 x＝21at2
联立解得 t＝
2x
gcosθ.
(2)设小金属环离对称轴的距离为 r，由牛顿第二定
律和向心力公式得
mgcotθ＝mrω2，ω＝2πn
联立解得 r＝g4cπot2θn2.
【思路点拨】解答该题，应该弄清以下问题：(1)绳 子没有张力时A、B两物体由什么力来提供向心力？ (2)A、B处于什么状态时绳子绷紧？(3)A即将滑动的 临界条件如何？
【解析】(1)绳子没有拉力时，A、B均由静摩擦力提 供向心力，由牛顿第二定律可得：
fA＝mω2rA fB＝mω2rB
当物体B的静摩擦力达到最大静摩擦力时，绳子开始 出现张力，则有：
一、描述圆周运动的物理量
常用的有：线速度、角速度、周期、转速、频率、 向心加速度等．它们的比较见下表：
快慢 每点切线方向相同
Δ l 2πr Δt T
快慢
运动
Δ
2π
Δt
T
2πr
一周
v
1
圈数
T
方向
v2
指向圆心
r
v2
4πr
r
T2
二、匀速圆周运动和非匀速圆周运动
做圆周运动的物体，若在相等的时间里通过的圆弧长
(3)齿轮的齿数与半径成正比，即周长＝齿数×齿间距 (大小齿轮的齿间距相等).
(4)在齿轮传动中，大、小齿轮的转速跟它们的齿数 成反比．
2. 对公式 v＝rω 和 a＝vr2＝rω2 的理解 r一定时v与ω成正比
(1)v＝rωω一定时v与r成正比 v一定时ω与r成反比
(2)a＝vr2＝rω2vω一一定定时时a，与ar与成r反成比正比
_；自行车骑行速度的计算公
式v＝__ .
【思路点拨】掌握线速度、角速度、周期、转速之 间的关系和链条传动和同轴传动特点是解答这类题 的重要要素．
【解析】牙盘转动的角速度等于踏脚板转动的角 速度 ω＝2πn＝2πNt ，链条的线速度为 v＝ωr1＝2πNt r1， 设牙盘的半径为 r1、飞轮的半径为 r2、自行车后轮的
由以上三式解得损失的机械能为 0.2 J
【方法与知识感悟】解答竖直面内的圆周运动问题， 主要运用两个力学观点、抓住一个关键：
(1)动力学观点：在最高点和最低点由什么力提供向 心力；
(2)功能的观点：建立起最高点与最低点的速度关系；
(3)抓住一个关键：过最高点的临界条件．
竖直面内圆周运动中常见的两种模型
【答案】2πNt 自行车后轮的半径 R、牙盘齿数
m、飞轮齿数 n
Nm 2π tn R
【方法与知识感悟】1. 传动装置的特点
传动问题包括皮带传动(链条传动、齿轮传动、摩擦 传动)和同轴传动两类，其中运动学物理量遵循下列 规律．
(1)同轴转动的轮子或同一轮子上的各点的角速度大 小相等.
(2)皮带传动的两轮，皮带不打滑时，皮带接触处的 线速度大小相等.
v2 由mg＝m r 得v临＝
gr
轻绳模型
轻杆模型
(1)当 v＝0 时，FN＝mg，FN (1) 过 最 高 点 时 ， 为支持力，沿半径背离圆心
讨论 分析
v≥ gr，FN＋mg＝ (2)当 0＜v＜ gr时，mg－FN mvr2，绳、轨道对球产 ＝mvr2，FN 背离圆心，随 v
生弹力 FN
的增大而减小
示，由图可知小球的向心力为
F＝mgtanθ
根据牛顿第二定律得
F＝mgtanθ＝mrω2
题型二：匀速圆周运动的一般动力学问题
例2 如图所示，将一根光滑的细金 属棒折成“V”形，顶角为2θ，其对 称轴竖直，在其中一边套上一个质 量为m的小金属环P. (1)若固定“V”形细金属棒，小金属 环P从距离顶点O为x的A点处由静止自由滑下，则小金 属环由静止下滑至顶点O需多长时间？ (2)若小金属环P随“V”形细金属棒绕其对称轴以每秒 n转匀速转动时，则小金属环离对称轴的距离为多少？
【解析】(1)由牛顿第三定律可知，小球在 A、C 两 点所受轨道的弹力大小 NA＝FA，NC＝FC.
在 A 点由牛顿第二定律得：NA－mg＝mRv2A 解得 vA＝2 3 m/s
(2)在 C 点由牛顿第二定律得：NC＋mg＝mRv2c 对 A 至 C 的过程，由动能定理得：Wf－mg·2R＝12mv2c －12mv2A 对 A 至 C 的过程，由功能关系得：ΔE ＝ W 损 f
【答案】(1)
2x
gcotθ
gcosθ (2)4π2n2.
【方法与知识感悟】1.解答圆周运动的一般动力学问题， 实际就是牛顿第二定律问题，关键是找出是什么力来提 供向心力．基本思路如下：
(1)审清题意，确定研究对象．
(2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周 期、轨道平面、圆心、半径等．
题型一：传动问题
例1 小明同学在学习了圆周运动的知识后，设计了一
个课题，名称为：快速测量自行车的骑行速度．他的
设想是：通过计算踏脚板转动的角速度，推算自行车
的骑行速度．经过骑行，他得到如下数据：在时间t内
踏脚板转动的圈数为N，那么踏脚板转动的角速度ω＝
_
_；要推算自行车的骑行速度，还需要测量
的物理量有___
(3)分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心 力．无论是否为匀变速圆周运动，物体受到沿半径指向 圆心的合力一定为其向心力．
(4)据牛顿运动定律及向心力公式列方程．
(5)求解并讨论．
2．几种常见的匀速圆周运动的实例
(1)火车转弯问题
在平直轨道上匀速行驶的火车，
所受合外力为零，在火车转弯时，
什么力提供向心力呢？在火车转
弯处，让外轨高于内轨，如图所示，转弯时所需向 心力由重力和弹力的合力提供．若轨道水平，转弯 时所需向心力应由外轨对车轮的挤压力提供，而这 样对车轨会造成损坏．车速大时，容易出事故．
设车轨间距为 L，两轨高度差为 h，车转弯半径为 R， 质量为 M 的火车运行时应当有多大的速度？
根据三角形边角关系知 sinθ＝Lh，对火车的受力情 况分析得 tanθ＝MFg.
度相等，就是匀速圆周运动，否则是非匀速圆周运
动，两种运动线速度大小都用公式v＝
Δl
2π • r ＝
Δt
t
计算．关于两种运动的性质、加速度、向心力比较如
下表：
大小不 变而方向时刻变化
大小和方向都变化
法向加速度 切向加速度
v2
m
r
m r 2
m
r(2π T
)2
m
r(2 π f
)2
圆心
不指向
沿 半 径 的 分 力
的方向是水平指向圆心的 F＝mgtan α.
③周期特点：圆锥摆的周期等于摆长为圆锥摆高的
单摆的周期，即 T＝2π
hg＝2π
Lcos g
α
，L 为圆锥
摆的摆长．摆长不同的圆锥摆，只要圆锥高度相同，周
期就相同．
题型三：匀速圆周运动中的临界问题
例3 如图所示，匀速转动的水 平圆盘上，沿半径方向放置着
两个用细线相连的小物体A、B， 它们的质量均为m，它们到转 轴的距离分别为rA＝20 cm，rB＝30 cm，A、B与盘面间的 最大静摩擦力均为重力的0.4倍，试求：(g取10 m/s2) (1)当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度ω0； (2)当A开始滑动时，圆盘的角速度ω； (3)当A物体即将滑动时，烧断细线，A、B状态如何？
(2)当 v＜ gr时，不能 (3)当 v＝ gr时，FN＝0
过最高点，在到达最 (4)当 v＞ gr时，FN＋mg＝
高点前小球已经脱离 了圆轨道
mvr2，FN 指向圆心并随 v 的
增大而增大
在最 取竖直向下的正方向 取竖直向下为正方向
高点
的 FN －v2
图线
1．甲、乙两球做匀速圆周运动， 它们的an－r图象如图所示，由 图象可知(甲为双曲线的一支) ( D) A．甲球运动时，线速度大小变小 B．甲球运动时，角速度大小保持不变 C．乙球运动时，线速度大小变小 D．乙球运动时，角速度大小保持不变
半径为 R，自行车飞轮边缘与链条有相同的线速度， 则飞轮的转动角速度为 ω′＝rv2＝2πNtrr21，后轮与飞轮 有相同的角速度，自行车的骑行速度为后轮边缘的线 速 的度 齿数v′为＝n，ω′则Rrr21＝＝2mnπ，Ntrr2所1R以.若v牙′盘＝的2π齿Ntr数r21R为＝m2π、Ntn飞mR轮.
青少年的喜爱，简化后的模型如
图所示，表演者沿表演台的侧
壁做匀速圆周运动．若表演时
杂技演员和摩托车的总质量不变，摩托车与侧壁间
沿侧壁倾斜方向的摩擦力恰好为零，轨道平面离地
面的高度为H，侧壁倾斜角度α不变，则下列说法中
正确的是(
B)
A．摩托车做圆周运动的H越高，向心力越大
B．摩托车做圆周运动的H越高，线速度越大
因为 θ 角很小，所以 sinθ≈tanθ，故Lh＝MFg，所
以向心力 F＝LMh g，又因为 F＝MRv2，所以车速 v＝
ghR L.
2．圆锥摆 圆锥摆是运动轨迹在水平面内的一种典 型的匀速圆周运动，此类模型的特点是：
①运动特点：物体做匀速圆周运动， 轨迹和圆心在水平面内；
②受力特点：物体所受的重力与弹力 (拉力或支持力)的合力充当向心力，合力
例4 如图甲，ABC为竖直放置的半径为0.1 m的半圆 形轨道，在轨道的最低点和最高点A、C各安装了一 个压力传感器，可测定小球在轨道内侧通过这两点 时对轨道的压力FA和FC.质量为0.1 kg的小球，以不 同的初速度v冲入ABC轨道．(g取10 m/s2)(最后结果 可用根式表示)
(1)若FA＝13 N，求小球滑经A点时的速度vA; (2)若FC和FA的关系图线如图乙所示且FA＝13 N，求 小球由A滑至C的过程中损失的机械能．
代入数据得：ω0＝3.65rad/s
(2)绳子出现张力后，A、B均由摩擦力与绳子拉力的 合力提供向心力，则有：
fA－T＝mω2rA T＋kmg＝mω2rB
当fA＝kmg时，A即将滑动，代入上述两式得：
ω＝4rad/s
(3)由第(2)问中的两式可知，烧断细线，A所受的摩 擦力足够提供向心力，故A仍然随圆盘一起做匀速 圆周运动，而B所受的最大静摩擦力不足以提供做 圆周运动所需的向心力，故B做离心运动．
C．摩托车做圆周运动的H越高，向心力做功越多
D．摩托车对侧壁的压力随高度H变大而减小
【解析】由图可求得圆周运动的半径 R＝Hcotα， 向心力 F＝mgtanα，A 错，又依 mgtanα＝Hmcovt2α，∴v
＝ gH，B 对，向心力不做功，C 错，对侧壁的压力 FN
＝comsgα，D 错．
3．如图所示，把一个质量m＝1 kg的物 体通过两根等长的细绳与竖直杆上A、B 两个固定点相连接，绳a、b长都是1 m， AB长度是1.6 m，求直杆和球旋转的角速度为多少时， b绳上才有张力？(g取10 m/s2)
【解析】已知 a、b 绳长均为 1 m，即 AC＝BC＝1 m，AO＝12AB＝0.8 m，如图 所示，在△AOC 中，cosθ＝AAOC＝01.8＝ 0.8，得 sinθ＝0.6，θ＝37°
小球做圆周运动的轨道半径 r＝OC＝AC·sinθ＝1×0.6 m＝0.6 m. b 绳被拉直但无张力时，小球所受的重力 mg 与 a 绳拉力 FTa 的合力 F 提供向心力，其受力分析如图所
F
x
=
m
a向
沿
切
向
的
分
力
F y = m a 切
三、质点做匀速圆周运动的条件 1．质点具有初速度． 2．质点受到的合外力始终与速度方向垂直．且 两者在同一平面内． 3．合外力 F 的大小保持不变，且 F＝man＝mω2r＝mvr2
设质点质量为m，做圆周 运动的半径为r，角速度为 ω，向心力为F，如图所示． (1)当F＝mω2r时，质点做 匀速ห้องสมุดไป่ตู้周运动； (2)当F＜mω2r时，质点做离心运动； (3)当F＝0时，质点沿切线做直线运动； (4)当F＞mω2r时，质点做向心运动．
【方法与知识感悟】解答临界问题的关键主要是找到 临界状态所对应的临界条件．常见的几种临界状态有：
(1)物体即将滑动的临界状态——达到最大静摩擦力；
(2)绳子是否绷紧的临界状态——绳子拉直，绳子的拉 力恰好为零；
(3)物体即将脱离轨道的临界状态——物体与轨道间的 弹力恰好为零．
题型四：竖直面内的圆周运动问题
【解析】由 an＝vr2知，只有线速度大小不变时，an 与 r 成反比，an－r 图线才是双曲线，由图象可知，甲的 线速度大小不变，AB 均错．由 an＝ω2r 知，只有角速度 大小不变时，an－r 图线才是一直线，由图象可知，乙的 角速度大小不变，C 错 D 对．本题正确答案为 D.
2．“飞车走壁”杂技表演比较受
【解析】(1)设小金属环沿棒运动的加速度为 a，滑
至 O 点用时为 t，由牛顿第二定律得 mgcosθ＝ma
由运动学公式得 x＝21at2
联立解得 t＝
2x
gcosθ.
(2)设小金属环离对称轴的距离为 r，由牛顿第二定
律和向心力公式得
mgcotθ＝mrω2，ω＝2πn
联立解得 r＝g4cπot2θn2.
【思路点拨】解答该题，应该弄清以下问题：(1)绳 子没有张力时A、B两物体由什么力来提供向心力？ (2)A、B处于什么状态时绳子绷紧？(3)A即将滑动的 临界条件如何？
【解析】(1)绳子没有拉力时，A、B均由静摩擦力提 供向心力，由牛顿第二定律可得：
fA＝mω2rA fB＝mω2rB
当物体B的静摩擦力达到最大静摩擦力时，绳子开始 出现张力，则有：