2022年 高一数学竞赛模拟练习参考答案及评分标准文档版配套精选

2021年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准
〔考试时间：5月8日上午8：30－11：00〕
一、选择题〔每题6分，共36分〕
1．假设集合，，，那么集合〔〕
A．B．
C．D．
【答案】 D
【解答】依题意，，。

由，知；，知或。

所以，或，即。

2．直线：与直线：〔〕相互垂直，垂足为，为坐标原点，那么线段的长为〔〕A．B．2 C．D．
【答案】 D
【解答】由知，，结合，得，。

∴方程为，即；方程为：，即。

由，得。

因此，，线段长为。

3．如图，在三棱锥中，，均为等边三角形，且。

那么二面角的余弦值为〔〕A．B．C．D．
【答案】 B
【解答】如图，取中点，中点，连结，，，。

不妨设，那么由条件知，，。

〔第3题〕∴，。

∴。

又，故是二面角的平面角。

在中，由，，，
得，。

∴二面角的余弦值为。

4．假设函数〔，且〕的值域为，那么实数的取值范围为〔〕
A．B．C．D．
【答案】 A
【解答】∵时，函数的值域为，
∴时，，即时，。

∴，且时，恒成立。

∴，的取值范围为。

5．如图，在四面体中，、、两两互相垂直，且。

那么在该四面体外表上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为〔〕
A．B．C．D．
【答案】 D
【解答】如图，设〔在上，在上，在上〕。

由，，，，知，，。

〔第5题〕∴在面内与点距离为的点形成的曲线段〔图中弧〕长为。

同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为。

又在面内与点距离为的点形成的曲线段长为。

在面内与点距离为的点形成的曲线段〔图中弧〕长为。

∴四面体外表上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为。

6．是定义在上的函数，假设，且对任意，满足，，那么〔〕
A．2021 B．2021 C．2021 D．2021
【答案】 C
【解答】∵对任意，满足，
∴。

又。

因此，，。

∴，。

∴。

二、填空题〔每题6分，共36分〕
7．实数，满足，记的最大值为，最小值为，那么。

【答案】72
【解答】设，由知，。

因此，点在以为圆心，3为半径的圆上。

又，设，那么。

∵，。

∴，，。

注：此题也可以三角换元法。

由，设，，代入后求最值。

8．过直线上一点作圆：的切线、，、为切点。

假设直线、关于直线对称，那么线段的长为。

【答案】
【解答】由切线、关于直线关于对称，以及切线、关于直线对称知，直线与直线与重合或垂直。

由点不在直线上知，与直线垂直。

设，那么，。

∴，。

9．正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，为侧面的内心，那么四棱锥的体积为。

【答案】
【解答】如图，取中点，连结，由条件知在中，，。

∴在线段上，且。

∴。

∴。

10．是偶函数，时，〔符号表示不超过的最大整数〕，假设关于的方程〔〕恰有三个不相等的实根，那么实数的取值范围为。

【答案】
【解答】作出函数与的草图〔如下图〕。

易知直线恒过点，是方程的一个根。

从图像可知，
当，即时，两个函数的图像恰有三个不同的交点。

∴的取值范围为。

11．方程〔〕的正整数解为。

〔写出所有可能的情况〕
【答案】，
【解答】依题意，。

∴，，。

由，知，因此，。

∴，，2，3。

假设，那么，，。

将，代入题中方程，得，。

假设，那么，。

由知，不存在。

假设，那么。

所以，，又，因此，，5，6，7。

经验证只有符合。

将，代入题中方程，得，。

∴符合条件的正整数解有或。

12．，，，那么的最小值为。

【答案】6
【解答】设，，，那么，，。

且，，。

∴，，。

∴
当且仅当，，，即，，，即，时等号成立。

〔如，，即，，时等号成立〕。

∴的最小值为6。

三、解答题〔第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，总分值78分〕
13．，。

〔1〕假设函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围；
〔2〕假设函数在区间上的最小值为，求实数的值。

【答案】〔1〕依题意，。

由在区间上为单调函数，知在区间上是单调函数，且。

∴或。

………… 4分
∴或。

∴实数的取值范围是。

……………………… 8分〔2〕。

设，那么，。

设，……………………… 12分
那么时，的最小值为。

由，得，符合要求。

时，的最小值为。

由，得，不符合要求，舍去。

时，的最小值为。

由，得，符合要求。

综合，得或。

…………………………… 16分
14．〔〕。

〔1〕假设在区间内有两个不同的实数根，求实数的取值范围；
〔2〕假设时，恒成立，求实数的取值范围。

【答案】〔1〕依题意，有。

…………… 4分
解得。

∴的取值范围为。

……………………… 8分
〔2〕∵时，恒成立，
∴时，，即恒成立。

∴时，恒成立。

……………………… 12分
设，那么，。

由在上为增函数，知的值域为。

∴，即的取值范围为。

……………………… 16分
另解：由〔1〕知，，总有两个不相等的实根。

设方程的两根为，〔〕。

∴时，恒成立。

………………… 12分
∴，。

解得，。

∴的取值范围为。

………………………… 16分
15．如图，圆的圆心在坐标原点，过点的动直线与圆相交于，两点。

当直线平行于轴时，直线被圆截得的线段长为。

〔1〕求圆的方程；
〔2〕在平面直角坐标系内，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？假设存在，求出点的坐
标；假设不存在，请说明理由。

【答案】〔1〕设圆半径为，依题意有。

∴，圆方程为。

…………… 4分
〔第15题〕〔2〕设符合条件的点存在。

当直线平行于轴时，，由此可得。

又此时、关于轴对称，因此，点在轴上。

设。

当轴时，，。

由，得，或〔舍去〕。

〔当，时，同理可得〕
因此，假设点存在，那么点只能为。

……… 8分
下面证明点符合要求。

当直线斜率不存在或为0时，由前面讨论可知点符合要求。

当直线斜率存在且不为0时，设方程为。

由，得。

设，，那么，。

∴。

∴。

…………………………… 12分
∴平分，由角平分线性质定理知，。

综上可知，符合条件的点存在，其坐标为。

……………………… 16分
16．如图，、分别为的外心、内心，连结并延长交的外接圆于点。

、分别在的边、上，且满足。

〔1〕求证：；
〔2〕求证：。

【证明】〔1〕依题意，为弧的中点，。

连结，由为的内心知，，
∴。

∴。

……………… 4分
〔2〕设与的交点为，那么由以及平分，知为中点，且。

〔第16题〕设与的交点为，那么为中点，且。

∴、、、四点共圆，。

………………… 8分
连结，由为弧的中点知，。

又，。

∴。

………………… 12分
∴。

结合，。

因此，。

∴。

……………… 16分
17．集合，求最大的正整数，使得存在集合的元子集，满足集合中任何一个数都不等于其余任意两个不同数的积。

【解答】设为集合的一个元子集。

考虑集合的以下43个子集〔每个子集中恰有3个数〕：
，，，…，，。

假设，那么由知，集合一定包含上述43个子集中的某一个。

由此可知，集合中存在互不相同的三个数，，〔〕，使得。

因此，集合不满足：集合中任何一个数都不等于其余任意两个不同数的积。

所以，当集合元素个数多于1973，即时，集合不满足题意要求。

所以，。

…………………………… 5分
另一方面，令〔从集合删去2，3，4，…，44这43个数〕。

设，〔〕是中任意两个不同的数。

假设，那么，不可能等于中第3个不同于1和的数。

…………… 10分
假设，那么，，显然它不在集合中。

因此，集合满足：集合中任何一个数都不等于其余任意两个不同数的积。

可见，存在集合的一个1973元子集，满足集合中任何一个数都不等于其余任意两个不同数的积。

所以，正整数的最大值为1973。

……………………………… 14分。