高考物理大一轮复习 第9章 磁场 第3节 匀强磁场中的临界、极值和多解问题课时规范训练

第3节 匀强磁场中的临界、极值和多解问题
课时规范训练 [基础巩固题组]
1．(多选)如图所示，宽d ＝4 cm 的有界匀强磁场，纵向范围足够大，磁场方向垂直纸面向里．现有一群正粒子从O 点以相同的速率沿纸面不同方向进入磁场，若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r ＝10 cm ，则( )
A ．右边界：－8 cm<y <8 cm 有粒子射出
B ．右边界：0<y <8 cm 有粒子射出
C ．左边界：y >8 cm 有粒子射出
D ．左边界：0<y <16 cm 有粒子射出
解析：选AD.根据左手定则，正粒子在匀强磁场中将沿逆时针方向转动，由轨道半径r ＝10 cm 画出粒子的两种临界运动轨迹，如图所示，则OO 1＝O 1A ＝OO 2＝O 2C ＝O 2E ＝10 cm ，由几何知识求得AB ＝BC ＝8 cm ，OE ＝16 cm ，因此答案为A 、D.
2．(多选)如图所示，有一垂直于纸面向外的有界匀强磁场，磁场的磁感应强度为B ，其边界为一边长为L 的正三角形(边界上有磁场)，A 、B 、C 为三角形的3个顶点．今有一质量为m 、电荷量为＋q 的粒子(不计重力)，以速度v ＝
3qBL
4m
从AB 边上的某点P 既垂直于AB 边又垂直于磁场的方向射入磁场，若该粒子能从BC 边上某点Q 射出，则( )
A ．P
B ≤2＋3
4L
B ．PB ≤1＋3
4L
C ．QB ≤
34
L D ．QB ≤1
2
L
解析：选AD. 由qvB ＝mv 2R ，得R ＝3
4
L .PB 最大时轨迹与AC 边相切，由几何知识得AP
＝
R
cos 30°－R ，BP ＝L －AP ＝2＋3
4
L ，A 正确，B 错误．QB 最大时粒子平行于AB 边从Q ′
点射出，此时Q ′B ＝R sin 60°＝12
L ，C 错误、D 正确．
3．(多选)如图所示，S 处有一电子源，可向纸面内任意方向发射电子，平板MN 垂直于纸面，在纸面内的长度L ＝9.1 cm ，中点O 与S 间的距离d ＝4.55 cm ，MN 与SO 直线的夹角为θ，板所在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B ＝2.0×10－4
T ，电子质量m ＝9.1×10
－31
kg ，电量e ＝－1.6×10
－19
C ，不计电子重力，电子源
发射速度v ＝1.6×106
m/s 的一个电子，该电子打在板上可能位置的区域的长度为l ，则( )
A ．θ＝90°时，l ＝9.1 cm
B ．θ＝60°时，l ＝9.1 cm
C ．θ＝45°时，l ＝4.55 cm
D ．θ＝30°时，l ＝4.55 cm
解析：选AD.电子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力：evB ＝mv 2R ，R ＝mv Be
＝4.55×10－2
m ＝4.55 cm ＝L
2，θ＝90°时，击中板的范围如图1，l ＝2R ＝9.1 cm ，选项A 正确．θ＝60°
时，击中板的范围如图2所示，l <2R ＝9.1 cm ，选项B 错误．θ＝30°，如图3所示l ＝R ＝4.55 cm ，当θ＝45°时，击中板的范围如图4所示，l >R (R ＝4.55 cm)，故选项D 正确、选项C 错误．
4．(多选)如图所示是半径为R 的一圆柱形匀强磁场区域的横截面，磁感应强度大小为
B ，方向垂直于纸面向外，磁场外有一粒子源，能沿一直线发射速度大小不等的在一定范围
内的同种带电粒子，带电粒子的质量为m ，电荷量为q (q >0)，不计重力，现粒子以沿正对
cO 中点且垂直于cO 方向射入磁场区域，发现带电粒子恰能从bd 之间飞出磁场．则( )
A ．从b 点飞出的带电粒子的速度最大
B ．从d 点飞出的带电粒子的速度最大
C ．从d 点飞出的带电粒子的运动时间最长
D ．从b 点飞出的带电粒子的运动时间最短
解析：选ACD.粒子在磁场中，受到洛伦兹力作用做匀速圆周运动，根据题意作出粒子运动轨迹如图所示．图中O b 为到达b 点的轨迹的圆心，O d 为到达d 点的轨迹的圆心，根据几何关系可知，r b >r d ，到达d 点转过的圆心角比到达b 点的圆心角大．根据r ＝mv
Bq
可知，b 的半径最大，d 的半径最小，所以从b 点飞出的带电粒子的速度最大，从d 点飞出的带电粒子的速度最小，A 正确，B 错误．周期T ＝2πm
Bq
，所以粒子运动的周期相等，而到达d 点转过
的圆心角最大，到达b 点转过的圆心角最小，所以从d 点飞出的带电粒子的运动时间最长，从b 点飞出的带电粒子的运动时间最短，C 、D 正确．
5．如图所示，在x 轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B .在xOy 平面内，从原点O 处沿与x 轴正方向成θ角(0<θ<π)以速率v 发射一个带正电的粒子(重力不计)．则下列说法正确的是( )
A ．若v 一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
B ．若v 一定，θ越大，则粒子在离开磁场的位置距O 点越远
C ．若θ一定，v 越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大
D ．若θ一定，v 越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
解析：选A.由左手定则可知，带正电的粒子向左偏转．若v 一定，θ越大，粒子在磁场中运动的偏转角越小，则运动的时间越短，选项A 正确．若v 一定，θ＝90°时，粒子离开磁场的位置距O 点最远，选项B 错误．若θ一定，粒子在磁场中运动的周期与v 无关，粒子在磁场中运动的角速度与v 无关，粒子在磁场中运动的时间与v 无关，选项C 、D 错误．
6．(多选)如图所示，在半径为R 的圆形区域内有匀强磁场，磁感应强度为B ，方向垂直于圆平面(未画出)．一群比荷为q
m
的负离子以相同速率v 0(较大)由P 点在纸平面内向不同方向射入磁场中发生偏转后，又飞出磁场，则下列说法正确的是(不计重力)( )
A ．离子飞出磁场时的动能一定相等
B ．离子在磁场中运动半径一定相等
C ．由Q 点飞出的离子在磁场中运动的时间最长
D ．沿PQ 方向射入的离子飞出时偏转角最大
解析：选BC.射入磁场的离子比荷相等，但质量不一定相等，故射入时初动能可能不等，又因为洛伦兹力对离子不做功，故这些离子从射入到射出动能不变，故飞出磁场时的动能可能不等，A 错误．离子在磁场中偏转的半径为r ＝mv
qB
，由于比荷和速度都相等，磁感应强度
B 为定值，故所有离子的偏转半径都相等，B 正确．各离子在磁场中做圆周运动的周期T ＝
2πm
qB
也相等，根据几何知识，在半径相同的圆内，较长的弦对应较大的圆心角，所以从Q 点射出的离子偏转角最大，在磁场内运动的时间最长，C 正确．沿PQ 方向射入的离子不可能从Q 点射出，故偏转角不是最大，D 错误．
[综合应用题组]
7．如图所示，内圆半径为r 、外圆半径为3r 的圆环区域内有垂直纸面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场．圆环左侧的平行板电容器两板间电压为U ，靠近M 板处静止释放质量为
m 、电荷量为q 的正离子，经过电场加速后从N 板小孔射出，并沿圆环直径方向射入磁场，
不计离子的重力，忽略平行板外的电场．求：
(1)离子从N 板小孔射出时的速率； (2)离子在磁场中做圆周运动的周期；
(3)要使离子不进入小圆区域，电压U 的取值范围．
解析：(1)设离子射入匀强磁场时的速率为v ，由动能定理得qU ＝12
mv 2
，解得v ＝
2qU
m
.
(2)设离子在磁场中做圆周运动的半径为R ，离子所受洛伦兹力提供向心力，由牛顿第
二定律可得qvB ＝m v 2
R
，
运动周期T ＝2πR v ，联立解得T ＝2πm
qB
.
(3)若离子恰好不进入小圆区域，设离子与小圆相切时轨道半径为R 0，此时轨迹如图所示．
由几何关系得R 2
0＋(3r )2
＝(R 0＋r )2
，解得R 0＝4r .
需满足的条件为R ≤R 0，又qvB ＝m v 2R ，qU ＝12mv 2.联立解得U ≤8qr 2B
2
m
.
答案：(1)
2qU
m
(2)2πm qB (3)U ≤8qr 2B 2
m
8．如图所示，M 、N 、P 为很长的平行边界面，M 、N 与M 、P 间距分别为l 1、l 2，其间分别有磁感应强度为B 1和B 2的匀强磁场区，磁场Ⅰ和Ⅱ方向垂直纸面向里，B 1≠B 2，有一带正电粒子的电荷量为q ，质量为m ，以某一初速度垂直边界N 及磁场方向射入MN 间的磁场区域．不计粒子的重力．求：
(1)要使粒子能穿过磁场Ⅰ进入磁场Ⅱ，粒子的初速度v 0至少应为多少？
(2)若粒子进入磁场Ⅰ的初速度v 1＝2qB 1l 1
m
，则粒子第一次穿过磁场Ⅰ所用时间t 1是多
少？
(3)粒子初速度v 为多少时，才可恰好穿过两个磁场区域．
解析：(1)设粒子的初速度为v 0时恰好能进入磁场Ⅱ，则进入磁场Ⅱ时速度恰好沿M 边
界，所以半径为r ＝l 1，由B 1qv 0＝m v 20
r ，解得v 0＝B 1ql 1m
.
(2)粒子在磁场Ⅰ中运动，则有B 1qv 1＝m v 21
r 1
，
解得r 1＝2l 1.
设粒子在磁场Ⅰ中做匀速圆周运动(轨迹如图甲)对应的圆心角为α，则有sin α＝l 1
r 1
＝12，所以α＝π6
. 所以第一次穿过Ⅰ磁场所用时间为
t 1＝
α2πT ＝112×2πm B 1q ＝πm 6B 1q
.
(3)设粒子速度为v 时，粒子在磁场Ⅱ中的轨迹恰好与P 边界相切，轨迹如图乙所示．
由Bqv ＝m v 2R 可得R 1＝mv B 1q ，R 2＝mv
B 2q
.
由图得sin θ＝l 1R 1＝
qB 1l 1
mv
.
粒子在磁场Ⅱ中运动有R 2－R 2sin θ＝l 2， 解得v ＝
qB 1l 1＋qB 2l 2
m
. 答案：(1)
B 1ql 1m (2)πm 6B 1q (3)qB 1l 1＋qB 2l 2
m
9．如图所示，以O 为原点建立平面直角坐标系Oxy ，沿y 轴放置一平面荧光屏，在y ＞0,0＜x ＜0.5 m 的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小B ＝0.5 T ．在原点O 放一个开有小孔的粒子源，粒子源能同时放出比荷为q
m
＝4.0×106
C/kg 的不同速率的正离子束，沿与x 轴成30°角从小孔射入磁场，最后打在荧光屏上，使荧光屏发亮，入射正离子束的速率在0到最大值v m ＝2.0×106
m/s 的范围内，不计离子之间的相互作用，也不计离子的重力．
(1)求离子从粒子源放出到打到荧光屏上所用的时间； (2)求离子打到荧光屏上的范围；
(3)实际上，从O 点射入的正离子束有一定的宽度，设正离子将在与x 轴成30°～60°角内进入磁场，则某时刻(设为t ＝0时刻)在这一宽度内向各个方向射入各种速率的离子，经过5π3
×10－7
s 时这些离子可能出现的区域面积是多大？
解析：(1)离子在磁场中运动的周期为：
T ＝
2πm qB
＝π×10－6
s
由几何关系知，能够打到荧光屏上的离子从粒子源放出到打到荧光屏上转过的圆心角α都相等
α＝2π3
离子从粒子源放出到打到荧光屏所用时间
t ＝
α2πT ＝π
3
×10－6 s (2)由qvB ＝mv 2r ，r ＝mv qB
，
则r m ＝
mv m
qB
＝1 m 离子在磁场中运动最大轨道半径r m ＝1 m
由几何关系知，最大速度的离子刚好沿磁场边缘打在荧光屏上，如图，所以OA 1长度为：
y ＝2r m cos 30°＝ 3 m
即离子打到荧光屏上的范围为：
y ＝0到y ＝ 3 m
(3)经过时间t ＝5π3×10－7
s 离子转过的圆心角
φ＝2πT t ＝π3
与x 轴成60°方向入射的离子，在t ＝5π3×10－7
s 刚好打在y 轴上，与x 轴成30°方
向入射的离子，在t ＝5π3×10－7
s 都到达线段OC 1，所以在t ＝0时刻与x 轴成30°～60°
内进入磁场的正离子在t ＝
5π3
×10－7
s 时刻全部出现在以O 为圆心的扇形OA 2C 1范围内，如图，则离子可能出现的区域面积：S ＝πr 2
m 12＝π12
m 2＝0.26 m
2
答案：(1)π3
×10－6s (2)y ＝0到y ＝ 3 m (3)0.26 m 2
10．如图所示，在半径为R ＝
mv 0
Bq
的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，圆形区域右侧有一竖直感光板，圆弧顶点P 有一速度为v 0的带正电粒子平行于纸面进入磁场，已知粒子的质量为m ，电荷量为q ，粒子重力不计．
(1)若粒子对准圆心射入，求它在磁场中运动的时间；
(2)若粒子对准圆心射入，且速率为3v 0，求它打到感光板上时速度的垂直分量； (3)若粒子以速度v 0从P 点以任意角射入，试证明它离开磁场后均垂直打在感光板上． 解析：(1)设带电粒子进入磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r ，由牛顿第二定律得
Bqv 0＝m v 20
r
r ＝R
带电粒子在磁场中的运动轨迹为四分之一圆周，轨迹对应的圆心角为π
2，如图甲所示，
则
t ＝π2R v 0＝πm 2Bq
(2)由(1)知，当v ＝3v 0时，带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为3R ，其运动轨迹如图乙所示，
由几何关系可知∠PO 2O ＝∠OO 2J ＝30°，所以带电粒子离开磁场时偏转角为60°.v ⊥＝
v sin 60°＝32
v 0
(3)由(1)知，当带电粒子以v 0射入时，带电粒子在磁场中的运动轨道半径为R .设粒子
射入方向与PO 方向之间的夹角为θ，带电粒子从区域边界S 射出，带电粒子的运动轨迹如图丙所示．
因PO 3＝O 3S ＝PO ＝SO ＝R 所以四边形POSO 3为菱形 由图可知：PO ∥O 3S ，v 0′⊥SO 3， 故v 0′⊥PO
因此，带电粒子射出磁场时的方向为水平方向，与入射的方向无关． 答案：(1)πm 2Bq (2)3
2
v 0 (3)见解析。