高考数学专题05：临考强化2021年数学(文)小题综合限时提分专练(解析版)

专题05：临考强化文科数学解答题限时提分专练〔解析版〕
一、解答题
1．等差数列{}n a 中，公差0d >，1177S =，且2a ，61a -，11a 成等比数列． 〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕假设n T 为数列11n n a a +⎧
⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和，且存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立，
求实数λ的取值范围．
【答案】〔1〕1n a n =+；〔2〕1,16⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦
． 【分析】
〔1〕由题中条件，列出方程组求解，得出首项和公差，即可得出通项公式； 〔2〕根据裂项相消的方法，先求出n T ，得出()
2
22n n λ≤+，求出
()
2
22n n +的最大值，
即可得出结果. 【详解】
〔1〕由题意可得()()()12
1
111110117725110a d a d a d a d ⨯⎧
+=⎪⎨⎪+-=++⎩即157,(74)(75)36a d d d +=⎧⎨
-⋅+=⎩
又因为0d >，所以12,
1.
a d =⎧⎨
=⎩所以1n a n =+．
〔2〕∵()()11111
1212
n n a a n n n n +==-++++， ∴1111112334
12
n T n n =
-+-++
-=++()112222n n n -=++． ∵存在*N n ∈，使得10n n T a λ+-≥成立．
∴存在*
N n ∈，使得
()
()2022n
n n λ-+≥+成立． 即存在*
N n ∈，使得()
2
22n n λ≤
+成立．
∵()
()2
111
4244162224n
n n n =
≤=+⎛⎫+++ ⎪
⎝⎭
〔当且仅当2n =时取等号〕．
∴116λ≤
，即实数λ的取值范围是1,16⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦． 【点睛】 结论点睛：
裂项相消法求数列和的常见类型： 〔1〕等差型
111111n n n n a a d a a ++⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列； 〔2〕无理型
1n k n
k
n n k
+-=
++；
〔3〕指数型()1
1n
n n a a a a +-=-；
〔4〕对数型1
1log log log n a
a n a n n
a a a a ++=-. A 的过程中，通过大量实验获得了以下统计数据：
培养基质量x (克)
20 40 50 60 80 细菌A 的最大承载量Y (单位)
300
400
500
600
700
〔1〕建立Y 关于x 的回归直线方程，并预测当培养基质量为100克时细菌A 的最大承载量；
〔2〕研究发现，细菌A 的调整期一般为3小时，其在指数期的细菌数量y (单位)与细菌A 被植入培养基的时间t 近似满足函数关系30.8220t y -=⨯+，试估计在100克培养基上培养细菌A 时指数期的持续时间(精确到1小时).
参考数据：1021024=，1122048=，1224096=，1328192=.参考公式：回归方程
Y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：12
21
n
i i i n
i
i x Y nxY
b x
nx
==-=
-∑∑，a Y bx =-.
【答案】〔1〕回归直线方程为7150Y x =+，当培养基质量为100克时细菌A 的最大承载量为850(单位)；〔2〕10小时. 【分析】
〔1〕根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程，并由此求得预测值. 〔2〕根据题目所给函数关系式列方程，化简求得持续时间. 【详解】
〔1〕由题意可得，2040506080
505
x ++++=
=，
3004005006007005005
Y ++++==，
所以
5
12030040400505006060080700139000i i i x Y ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，
5
21
400160025003600640014500i
i x
==++++=∑，
所以1
2
12
213900055050014000
7145005502000
n
i i i n
i i x Y nxY
b x nx
==-⨯⨯=
=-⨯=
=--∑∑， 故500750150a Y bx =-=-⨯=，
所以Y 关于x 的回归直线方程为7150Y x =+，
当培养基质量为100克时细菌A 的最大承载量为7100150850Y =⨯+=(单位)； 〔2〕在100克培养基上培养细菌A 时，由〔1〕可知最大承载量为850单位， 又30.8220t y -=⨯+，即38500.8220t -=⨯+，化简可得321037.5t -=， 所以310t -≈，那么13t ≈，
所以在100克培养基上培养细菌A 时指数期的持续时间为10小时.
3．如图，棱柱ABC A B C '''-的侧面BCC B ''是菱形，B C A B ''⊥，2AB BC ==，
AC =
(1)证明：平面AB C '⊥平面A BC ''；
(2)设E 是BC 上的点，且2EC EB =，假设60B BC A B B '''∠=∠=︒，求三棱锥
A BC E ''-的体积.
【答案】(1)证明见解析；22【分析】
(1)由题设条件，证得B C '⊥平面A BC ''，进而证得结论；
(2)先讨论A BC ''△的形状并求出其面积，结合(1)由比例法求出点E 到平面A BC ''的距离而得解. 【详解】
(1)因为侧面BCC B ''是菱形，所以B C BC ''⊥， 因B C A B ''⊥且A B
BC B ''=，那么B C '⊥平面A BC ''，而B C '⊂平面AB C '，
所以平面AB C '⊥平面A BC ''；
(2)依题意知侧面BCC B ''，ABB A ''均是菱形，又60B BC A B B '''∠=∠=︒，那么
23BC '=2B C '=，2A B '=，
而22AC =即22A C ''=那么222A B A C BC ''''+=，A BC ''△是直角三角形， 所以11
2222222
A BC S A
B A
C '''''=
⋅=⨯⨯=△， 因B C '⊥平面A BC ''，那么点C 到平面A BC ''的距离为
1
12
B C '=， 又2EC EB =，即点E 是平面A BC ''斜线段BC 上距离点B 较近的三分点， 点E 到平面A BC ''的距离h 是点C 到平面A BC ''的距离的
13
，那么13h =，
所以11122
223339
A BC E E A BC A BC V V S h ''''''--==⋅=⨯=
△. 【点睛】
三棱锥中，以任意一个面作底面的三棱锥体积都是相等的.
4．抛物线E ：22x py =〔0p >〕的焦点为F ，点P 在抛物线E 上，点P 的横坐标
为2，且2PF =，A ，B 是抛物线E 上异于O 的两点． 〔1〕求抛物线E 的标准方程；
〔2〕假设直线OA ，OB 的斜率之积为1
2
-
，求证：直线AB 恒过定点． 【答案】〔1〕24x y =；〔2〕证明见解析． 【分析】
〔1〕利用抛物线的焦点坐标，求出p ，然后求抛物线E 的方程；
〔2〕通过直线的斜率是否存在，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及斜率乘积关系，转化求解即可． 【详解】
〔1〕由题意得0,
2p F ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，设()0
2,P y ，022p
y =- 由点P 是E 上一点，所以4222p p ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
，得2
440p p -+=，即2p = 所以抛物线E 的标准方程为24x y = 〔2〕设2111,
4A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
由题可知12121
..44162
OA OB x x x x k k ===- 得128x x =-
可知直线AB 斜率存在 设直线AB 的方程为y kx m =+
2
4y kx m
x y
=+⎧⎨=⎩2440x k m ⇒--= 可得1248x x m =-=-，∴2m = 所以直线AB 过定点()0,2. 【点睛】
关键点点睛：设直线AB 的方程为y kx m =+，设2111,
4A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，直线与抛物线联立，利用根与系数的关系求出m 是解题的关键.
5．函数()(ln 1)x f x e k x =-+．
〔1〕设1x =是()f x 的极值点，求k 的值，并求()f x 的单调区间； 〔2〕证明：当0k e <<时，()0f x >．
【答案】〔1〕k e =，()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；〔2〕证明见解析． 【分析】
〔1〕由题意()01f '=求k 值，可直接判断()'f x 的单调性，进而确定()f x 的单调区间；
〔2〕由题设()ln 1x f x k x e k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
，而ln 1ln 1x x e x e x e k -->--，令
()ln 1x
e g x x e
=--利用导数研究()g x 的单调区间可得()0g x ≥，即可证结论.
【详解】
〔1〕由题意，()f x 的定义域为(0,)+∞且()x
k f x e x
'=-
． 由题意知：()01f '=，即0e k -=，
∴0k e =>，易知()'f x 是增函数，又()01f '=，
∴当(0,1)x ∈时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>． 故()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞．
〔2〕证明：当0k e <<时，()ln 1x f x k x e k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
，那么ln 1ln 1x x
e x e x e k -->--．
令()ln 1x e g x x e =--，那么1
()x e g x e x '=-，易知()'g x 在(0,)+∞上单调递增且
(1)0g '=．
∴当(0,1)x ∈时，()0g x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，即有min ()(1)0g x g ==， ∴()0g x ≥，故当0k e <<时，()0f x >恒成立． 【点睛】 关键点点睛：
〔1〕利用极值点求参数，结合导数确定单调区间.
〔2〕由求()'
f x 解析式并作变形，构造()ln 1x
e g x x e
=--利用导数求证()0g x ≥，
进而证明结论.
选做题〔在第六题和第七题中任选一道〕
6．在平面直角坐标系中，曲线1C
的参数方程为2cos x y α
α=⎧⎪⎨=⎪⎩
〔α为参数〕，以坐标原
点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C
的极坐标方程为
cos 14πθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭．
〔1〕写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；
〔2〕点(0,1)P -，曲线1C 与曲线2C 相交于,A B 两点，求11
PA PB
+． 【答案】〔1〕22
+=143
x y ，10x y --=；
〔2〕32. 【分析】
〔1〕将极坐标方程利用两角和的余弦公式展开，利用极直互化公式得到2C 的直角坐标方程，利用同角三角函数的平方关系消去参数的值，得到1C 的普通方程；
〔2〕写出以P 为基点的直线2C 的参数方程，代入1C 的普通方程，利用参数的几何意义，结合韦达定理运算. 【详解】
〔1〕∵cos ,sin x y ρθρθ==，
cos()=cos sin 14
π
θρθρθ+
-=,
2C 的直角坐标方程为10x y --=，1C 的普通方程为22
+=143
x y
；
(2)2C
的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪
⎨
⎪=-⎪⎩
(t 为参数)， 将曲线2C 的参数方程代入1C
的普通方程，整理得27160t --=.
令12=,PA t PB t =
，由韦达定理1212+16=7t t t t ⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
﹣,
那么有121224
++=7
PA PB t t t t =-=
=
, 1216
7PA PB t t ⋅==，
+113==2
PA PB PA PB PA PB +⋅. 【点睛】
此题考查参数方程，普通方程，极坐标方程之间的互化，考查直线的参数方程的应用，关键是要掌握直线参数方程中参数的几何意义. 7．函数()413f x x x =-+--． 〔1〕解不等式()1f x ≤；
〔2〕方程()20f x kx +-=解集非空，求k 的取值范围． 【答案】〔1〕192
2x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭；〔2〕()1,2,2⎡⎫
-∞-+∞⎪⎢⎣⎭．
【分析】
〔1〕先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集， 〔2〕先将函数化为分段函数，而动直线过定点，结合图像可得k 的取值范围. 【详解】
〔1〕不等式()1f x ≤，即1431x x -+--≤
所以1221x x ≤⎧⎨-≤⎩或1401x <<⎧⎨≤⎩或4
281x x ≥⎧⎨
-≤⎩
解得
112
x ≤≤或14x <<或942x ≤≤
所以不等式()1f x ≤的解集为：192
2x
x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭
〔2〕方程()20f x kx +-=解集非空等价于114kx x x +=-+-有解， 即函数1y kx =+和函数14y x x =-+-的图像有交点，
52114314254x
x y x x x x x -≤⎧⎪
=-+-=<<⎨⎪-≥⎩
画出14y x x =-+-的图像，直线1y kx =+恒过点()0,1P ，
即直线1y kx =+绕点P 旋转时，与函数图象14y x x =-+-有交点时斜率的取值范围，
如图，当直线1y kx =+过点B 时刚好满足条件，当旋转到斜率为2-，刚好不满足条件， ∵1
2
BP k =
∴k 的取值范围为()1,2,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭
【点睛】
此题考查解含绝对值的不等式和解决不等式有解问题，解题的关键是利用数形结合转化为图像有交点，属于中档题.。