7.2.2+复数的乘、除运算-高一数学同步教材精品课件(人教A版2019必修第二册)

(2)n 可推广到整数集.
(3)4k(k∈Z)是 i 的周期.
(4)与 i 有关的几个结论:
1+
1-
(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i, 1- =i,1+ =-i.
例题剖析
例2.计算( + ) ÷ ( − ).
解： + ÷ − =
=
+
−
(+)(+)
第 七 章 复数
7.2.2 复数的乘、除运算
人教A版2019必修第二册
教学目标
1.掌握复数的乘法和除法运算.
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
3.通过复数代数形式的乘法、除法的学习,培养学生的数学运算素养.
PART.01
复习导入
温故知新
(a + bi) + (c + di )=(a + c)+(b + d)i.
=
= .
例题剖析
练习：已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i 与 2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2= ( D
A．5－4 i B．5＋4 i
C．3－4 i D．3＋4 i
解：由题意：a=2，b=1
（a+bi）²=（2+i）²
=2²+4i+i²
=4+4i-1
=3+4i
)
例题剖析
练习：计算下列各题： (1－2i)(3＋4i) (－2＋i)
(−)(+)
=
−++
+
=
−+=ຫໍສະໝຸດ −
+

例题剖析
练习：已知复数 z 满足(1+2i)z=4+3i(i 为虚数单位),求 z 及−.
解：因为(1+2i)z=4+3i,
4+3i (4+3i)(1-2i)
所以 z=1+2i= 5 =2-i.
−
2-i (2-i)2 3-4i 3 4
②平方差公式：(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R).
PART.03
复数除法运算
概念讲解
探究：类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆
算．复数除法的法则如何运算？
（a bi）
（a bi）（c di）
c di
(a ,b , c , d∈R ,c-di≠0)
= + + −
= − + +
多项式相乘
把 i2 换成－1
合并同类项
概念讲解
定
义
复数的乘法法则
设 = + , = + , , , ∈ 是任意两个复数，那么它们的积
∙ = + + = + + +
−
.
()
> .类似(1)，可得 +
±
−( −)


−± −
；②当∆<



=±
−( −)


.
时， =
−± −( −)
.

.
概念讲解
在复数范围内,实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法
(1)求根公式法:
①当Δ≥0 时,x=
方法：分子分母同乘以分母的共轭复数。
3、最后的结果要复数的代数形式。
概念讲解
知识拓展:
虚数单位 i 的乘方
计算复数的乘积要用到复数单位 i 的乘方,i 有如下性质:
i4n+1=i;i4n+2=-1;i4n+3=-i;i4n=1.
特别提醒:(1)上述公式说明 i 的幂具有周期性,且最小正周期是 4.
PART.02
复数的乘法运算
概念讲解
探究：复数的乘法具体该如何运算？能否类比实数中多项式的运算得到复数乘法运
算法则？
设 = + , = + , , , ∈ 是任意两个复数
则 ∙ = + +
= + + +
（a + bi）×（c - di）
=
（c + di）×（c - di）
分子分母同乘以分母的共轭复数，
从而使分母“实数化”
（ac + bd）+（bc - ad）i
=
c2 + d 2
分子,分母运用乘法进行化简
ac + bd bc - ad
= 2
+ 2
i
2
2
c +d c +d
化为复数的代数形式
概念讲解
定
= ca+cb i+adi－bd =(ac－bd)+(ad +cb )i
所以 z1·z2=z2·z1 (交换律)
同理易得：(z1·z2)·z3= z1·(z2·z3) (结合律)
z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3 (分配律)
概念讲解
定
义
复数乘法的运算律
∀ , , ∈ ,有 =
对于()，当∆= − < 时，一元二次方程 + + = 无实数根。利用求
解一元二次方程的“根本大法”--配方法，类似于()，就能在复数范围内求得()中
方程的根
例题剖析
解：(1) 因为( ) = (− ) = −，
所以方程 + = 的根为 = ± .
所以 =2+i,所以−=
z 2+i
=
5
=
5
= - i.
55
PART.04
典例分析
例题剖析
例3.在复数范围内解下列方程：
(1) + = ；
(2) + + = ，其中, , ∈ ，且 ≠ ，∆= − < .
分析：利用复数的乘法容易得到()中方程的根。
- ±
2 -4ac
;
2
- ± -( 2 -4ac)i
②当Δ<0 时,x=
2
.
(2)利用复数相等的定义求解:
设方程的根为 x=m+ni(m,n∈R),将此代入方程 ax2+bx+c=0(a≠0),化简后利用复数
相等的定义求解.
归纳总结
反思
感悟
在复数范围内,实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法
义
复数除法法则
+
+
−
+ ÷ + =
=
+

+
+
+
其中， , , , ∈ 且 + ≠
注意：1、 两个复数的商是一个确定的复数；
2、复数除法的实质即分母“实数化”，类似于无理数的分母有理化；
解：原式=（3+4i-6i-8i²）（-2+i）
=（11-2i）（-2+i）
=-22+11i+4i-2i²
=-20+15i
归纳总结
反思
感悟
复数的乘法运算
1、两个复数代数形式乘法的一般方法
①首先按多项式的乘法展开.
②再将i2换成－1.
③然后再进行复数的加、减运算.
2、常用公式
①完全平方公式：(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R).
设z1 = a+bi, z2 = c+di, z3 = e+fi . (a、 b、c、d、 e、f∈R)
则z1·z2= (a+bi) ( c+d i ) = ac+ad i+abi +bdi2
= ac+ad i+cbi－bd =(ac－bd)+(ad +cb )i
而z2·
z1= ( c+di ) (a+bi) = ca+cb i+adi +bdi2
= − + +
注意： 1、两个复数的积是一个确定的复数；
2、当z1，z2 ∈R时，复数的积就是实数的积；
3、两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在结果中把i2换成﹣1，
并且把实部与虚部分别合并即可。
概念讲解
思考：复数的乘法是否满足交换律、结合律？乘法对加法满足分配律吗?
(1)求根公式法:
①当Δ≥0 时,x=
- ±
2 -4ac
;
2
- ± -( 2 -4ac)i
②当Δ<0 时,x=
2
.
(2)利用复数相等的定义求解:
设方程的根为 x=m+ni(m,n∈R),将此代入方程 ax2+bx+c=0(a≠0),化简后利用复数
相等的定义求解.
PART.05
课堂小结
课堂小结
=
+ = +
例题剖析
例1.计算：(1)( + )( − )；
解：(1) + −
= −

(2)( + )
(2) ( + )
= + +
= − −
= + −




(2)将方程 + + = 的二次项系数化为，得 + + = .
配方，得( +
由∆<
−
) =
，即(


−( −)
，知
()
=
所以原方程的根为 =
①当∆≥ 时， =
−∆
()

−


+ ) =

−( −)
复数的
加法
复数的
减法
(a + bi)-(c + di) = (a - c)+(b - d) i.
与多项式的加减法运算律类似
复数的
加减法
的运算
律
……
复数的
加减法
的几何
意义
复数的加减法可以按照向量的加减法来进行
问题提出
前面学习了复数的加法、减法运算，根据多项式的乘法、除法运算法
则猜测复数的乘法、除法满足何种运算法则?