2025年冀教版九年级下册数学期末复习阶段拔尖专训10 概率与其他知识的综合

（1）设 − + 的值为.当 = 2时，求的值；
【解】∵ = 4 2 + 5 + 6， = −3 2 − − 2，
= 2 + 4，∴ = − + = (4 2 + 5 + 6) − (−3 2 −
− 2) + ( 2 + 4) = 4 2 + 5 + 6 + 3 2 + + 2 + 2 + 4
∴ − + 的结果不为常数.同理
− + = −6 2 − 2 − 8，结果不为常数.∵ − + = (
4 2 + 5 + 6) − ( 2 + 4) + (−3 2 − − 2) = 4 2 + 5 + 6
− 2 − 4 − 3 2 − − 2 = 4，
由（1）得 − + = 8 2 + 10 + 8，结果不是常数，同理
− + = 8 2 + 10 + 8，结果不是常数.∵ − + =
(−3 2 − − 2) − (4 2 + 5 + 6) + ( 2 + 4) = −3 2 − −
2 − 4 2 − 5 − 6 + 2 + 4 = −6 2 − 2 − 8，
6.如图，电路图上有3个开关1 ，2 ，3 和2个小灯泡1 ，2 ，
同时闭合开关1 ，2 ，3 可以使小灯泡1 ，2 发光.对于“小
灯泡发光”这个事件，下列结论错误的是(
（第6题）
)
A.闭合开关1 ，2 ，3 中的任意1个，灯泡1 发光是不可能事件
B.闭合开关1 ，2 ，3 中的任意2个，灯泡2 发光是随机事件
−
2
−
有增根的概率为(
(−1)
1
5
B.
B
1
2
C.
)
1
3
D.
返回
类型3 概率与函数的综合
3.[2024潍坊模拟] 从1，−2，3这三个数中随机抽取两个不同
的数，分别记作和.若点的坐标记作(, )，则点在双
曲线 =
1
6
− 上的概率是__.
3

返回
1
2
1
3
4.有4张正面分别标有数−1，0， ，− 的不透明卡片，它们
2
1
1
甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 .
2
2
游戏是公平的.
返回
10.小明、小华两名同学相约打羽毛球.为了决定谁先发球，
两人一起设计了一个游戏：在一个口袋中装有四个小球，分
别标有数−1，−2，3，4，小球除上面的数不同外其余都相
同.小明从口袋中随机摸出一个小球，记下数后放回摇匀，小
华再从中随机摸出一个小球，若两球上的数之积小于或等于
= 8 2 + 10 + 8.
当 = 2时， = 8 × 22 + 10 × 2 + 8 = 32 + 20 + 8 = 60.
（2）将三张硬纸片背面向上，打乱顺序后，在背面分别标
上①，②，③，摆成如图所示的一个式子，请用画树形图法
或列举法求出能使运算结果为常数的概率.
【解】画树形图如图.
−4，则小明先发球，否则小华先发球，请用列举或画树形图
4
返回
类型4 概率与几何的综合
5.如图，▱的对角线，相交于点
，现给出四个条件：① = ；
②∠ = 90∘ ；③ = ；④ ⊥ .
从中任意选择两个，能判定▱是正方
（第5题）
形的概率是( D )
A.
1
3
1
2
B.
1
6
C.
2
3
D.
返回
类型5 概率与其他学科的综合
除上面的数不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀
后从中任取一张，将卡片上的数字记为，另有一个被均匀
分成4份的转盘，上面分别标有数−1，0，−4，−5，转动转
盘，指针所指的数记为（若指针指在分割线上，则重新转
一次），则点(, )落在抛物线 = 2 2 − 2 − 4与轴所围
1
成的区域内（不含边界）的概率是__.
∴ − + 的结果为常数.同理 − + = 4,结果也为常
数.由树形图可知一共有6种等可能结果，其中运算结果为常
2
6
1
3
数的有2种，∴ 运算结果为常数的概率为 = .
返回
类型2 概率与方程、不等式的综合
2.对于不等式组൞
3

+A.146−1=
+2
3
1
≥ −1,

−
3
>
1的所有整数解，关于的方程
3
5
瓶液体中，则滴入后只有一瓶呈现红色的概率是__.
返回
类型6 概率与游戏公平性的综合
9.甲、乙两人玩摸球游戏：一个不透明的袋子中装有相同大
小的3个球，球上分别标有数字1，2，3.首先，甲从袋子中随
机摸出一个球，然后，乙从剩下的球中随机摸出一个球，比
较球上的数字，较大的获胜.
（1）求甲摸到标有数字3的球的概率；
C.闭合开关1 ，2 ，3 中的任意2个，灯泡1 发光是必然事件
√
D.闭合开关1 ，2 ，3 中的任意2个，灯泡1 ，2 发光的概率
相同
返回
7.《石灰吟》有四句古诗如下：①烈火焚烧若等闲；②要留
清白在人间；③粉骨碎身浑不怕；④千锤万凿出深山.这四句
古诗的顺序被打乱了，小荣想把这四句古诗调整为正确位置，
1
3
【解】由题意得甲摸到标有数字3的球的概率为 .
（2）这个游戏公平吗？请说明理由.
【解】游戏公平.理由如下：列举所有可能如下表：
甲
乙
1
1
2
(1,2)
3
(1,3)
2
3
(2,1)
(3,1)
(3,2)
(2,3)
由表可知共有6种等可能结果，其中甲获胜的结果有3种，乙
获胜的结果有3种，∴
1
2
∵ =
1
,∴
1
则她第一次就调整正确的概率是___.
24
返回
8.无色酚酞溶液是一种常用的酸碱指示剂，广泛应用于检验溶
液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸性溶液不变色，遇中性溶
液也不变色，遇碱性溶液变红色，现有五瓶缺失标签的无色液
体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、弱酸性柠檬水溶液、火
碱溶液，从这五瓶中同时取出两瓶，将酚酞溶液分别滴入这两
阶段拔尖专训10 概率与其他知识的
综合
温馨提示：点击
答案呈现
进入讲评
1
2 B
1
3
4 1
4
3
5 D
6 C
1
7 24
3
8 5
9
10
11
类型1 概率与数式的综合
1.[2024承德校级月考] 三张硬纸片上分别写有一个代数式，
分别是 = 4 2 + 5 + 6， = −3 2 − − 2， = 2 + 4.