【好题】高中必修二数学下期中第一次模拟试卷(附答案)

【好题】高中必修二数学下期中第一次模拟试卷(附答案)
一、选择题
1．设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( )
A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．[]0,1
D ．16,25⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦ 2．已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记
0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）
A ．a b c <<
B ．c a b <<
C ．a c b <<
D ．c b a <<
3．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB V 为等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为43，则球O 的半径为( )
A ．3
B ．1
C ．2
D ．4
4．在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）
A ．12
B ．12-
C 3
D ．3 5．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，72PA =
，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．812π B ．
814π C ．65π D ．652π 6．已知圆M ：2220x y y =++与直线l ：350ax y a +-+=，则圆心M 到直线l 的最大距
离为（ ）
A ．5
B ．6
C ．35
D 417．从点(,3)P m 向圆22(2)(2)1x y +++=引切线，则切线长的最小值( )
A ．26
B ．5
C 26
D ．428．如图1，ABC ∆是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，T 为线段AC 的中点，G 是BC 的中点，AB
E ∆与BC
F ∆分别是以AB 、BC 为底边的等边三角形，现将ABE ∆与BCF ∆分别沿AB 与BC 向上折起（如图2），则在翻折的过程中下列结论可能正确的个
数为（ ）
图1 图2
（1）直线AE ⊥直线BC ；（2）直线FC ⊥直线AE ；
（3）平面//EAB 平面FGT ；（4）直线//BC 直线AE .
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
9．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )
A ．a
B ．2a
C ．2a
D ．22
a 10．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：
①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线 ③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线
以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．已知ABC V 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且2AB =，4AC =，5BC =三棱锥O ABC -的体积为43
，则球O 的表面积为（ ）
A ．22π
B ．743
π C ．24π D ．36π 12．已知平面αβ⊥且l αβ=I ，M 是平面α内一点，m ，n 是异于l 且不重合的两条直线，则下列说法中错误的是（ ）.
A ．若//m α且//m β，则//m l
B ．若m α⊥且n β⊥，则m n ⊥
C ．若M m ∈且//m l ，则//m β
D ．若M m ∈且m l ⊥，则m β⊥
二、填空题
13．设P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，则球O 的表面积为____________.
14．如图，在正方体1111—ABCD A B C D 中，M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，有以下四个结论：
①直线AM 与1CC 是相交直线；
②直线AM 与BN 是平行直线；
③直线BN 与1MB 是异面直线；
④直线AM 与1DD 是异面直线．
其中正确的结论的序号为________．
15．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB 、AD 、1AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作_________条.
16．直线10ax y ++=与连接A （4，5），B （-1，2）的线段相交，则a 的取值范围是___．
17．若直线l ：-3y kx =与直线23-60x y +=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________.
18．如上图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是棱1AB CC 、的中点，1MB P ∆的顶点P 在棱1CC 与棱11C D 上运动，有以下四个命题：
A ．平面1M
B P 1ND ⊥； B ．平面1MB P ⊥平面11ND A ；
C ．∆1MB P 在底面ABC
D 上的射影图形的面积为定值；
D ．∆1MB P 在侧面11D C CD 上的射影图形是三角形．其中正确命题的序号是__________.
19．直线10x y --=与直线20x ay --=互相垂直，则a =__________．
20．已知圆225x y +=和点()1,2A ，则过点A 的圆的切线方程为______
三、解答题
21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，//AB CD ，且
22,22CD AB BC ===，90ABC ∠=︒，M 为BC 的中点．
（1）求证：平面PDM ⊥平面PAM ；
（2）若二面角P DM A --为30°，求直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值．
22．如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，90B ∠=︒，将ABC ∆沿中位线DE 翻折得到如图（2）所示的空间图形，使二面角A DE C --的大小为02πθθ⎛
⎫<< ⎪⎝⎭
.
（1）求证：平面ABD ⊥平面ABC ；
（2）若3π
θ=，求直线AE 与平面ABC 所成角的正弦值.
23．如图，在三棱台DEF ABC -中，2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点．
（Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；
（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ,,AB BC CF DE ⊥=，
45BAC ∠=o ，求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小．
24．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ,,E F 是线段AB 上的两点,且
DE AB ⊥,CF AB ⊥,12AB =,5AD =,42BC =,4DE =.现将△ADE ,△CFB 分别沿DE ,CF 折起,使两点,A B 重合于点G ,得到多面体CDEFG （1）求证：平面DEG ⊥平面CFG ;（2）求多面体CDEFG 的体积
25．已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ． （1）求圆1C 的圆心坐标；
（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．
26．如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA ＝BD ＝2，AD ＝2，PA ＝PD ＝5，E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点．
（1）证明：EF ∥平面PAB ；
（2）若二面角P －AD －B 为60°．
①证明：平面PBC ⊥平面ABCD ；
②求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
圆O 外有一点P ，圆上有一动点Q ，OPQ ∠在PQ 与圆相切时取得最大值．如果OP 变
长，那么OPQ ∠可以获得的最大值将变小．因为sin QO OPQ PO
∠=，QO 为定值，即半径，PO 变大，则sin OPQ ∠变小，由于(0,)2
OPQ π
∠∈，所以OPQ ∠也随之变小．可以得知，当60OPQ ∠=︒，且PQ 与圆相切时，2PO =，而当2PO >时，Q 在圆上任意移动，60OPQ ∠<︒恒成立．因此，P 的取值范围就是2PO …，即满足2PO …，就能保证一定存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，否则，这样的点Q 是不存在的．
【详解】
由分析可得：22200PO x y =+ 又因为P 在直线l 上，所以00(36)x y =--
要使得圆C 上存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，则2PO …
故22220
000103634PO x y y y ==+-+… 解得0825y 剟，0605
x 剟 即0x 的取值范围是6[0,]5，
故选：B ．
【点睛】
解题的关键是充分利用几何知识，判断出2PO …，从而得到不等式求出参数的取值范围． 2．B
解析：B
【解析】
由()f x 为偶函数得0m =,所以
0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.
考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据题意作出图形，欲求球的半径r ．利用截面的性质即可得到三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r 的方程，即可求出r ，从而解决问题．
【详解】
解：根据题意作出图形：
设球心为O ，球的半径r ．
SC OA ⊥Q ，SC OB ⊥，SC ∴⊥平面AOB ，
三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和．
2343123S ABC S ABO C ABO V V V r r ---∴=+=⨯⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥三棱锥， 2r ∴=．
故选：C ．
【点睛】
本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定将三棱锥S ABC -的体积看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，属于中档题．
4．A
解析：A
【解析】
如图，分别取,,,BC CD AD BD 的中点,,,M N P Q ，连,,,MN NP PM PQ ，
则,MN BD NP AC P P ，
∴PNM ∠即为异面直线AC 和BD 所成的角（或其补角）．
又由题意得PQ MQ ⊥，11,22
PQ AB MQ CD ==. 设2AB BC CD ===，则2PM =
又112,222
MN BD NP AC ==== ∴PNM ∆为等边三角形，
∴60PNM =︒∠，
∴异面直线AC 与BD 所成角为60︒，其余弦值为
12
．选A ． 点睛：
用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值．
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据题意可知，该四棱锥的外接球即为其所在长方体的外接球，根据公式即可求得.
【详解】
根据题意，为方便说明，在长方体中找出该四棱锥如图所示：
由图可知在长方体中的四棱锥P ABCD -完全满足题意，
故该四棱锥的外接球即是长方体的外接球， 故外接球半径2
22722294R ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==， 故该球的表面积为28144
S R ππ==
. 故选：B .
【点睛】 本题考查四棱锥外接球的问题，关键的步骤是将问题转化为求长方体的外接球. 6．A
解析：A
【解析】
【分析】
计算圆心为()0,1M -，350ax y a +-+=过定点()3,5N -，最大距离为MN ，得到答案.
【详解】
圆M ：2220x y y =++，即()2
211x y ++=，圆心为()0,1M -， 350ax y a +-+=过定点()3,5N -，故圆心M 到直线l 的最大距离为5MN =. 故选：A .
【点睛】
本题考查了点到直线距离的最值问题，确定直线过定点()3,5N -是解题的关键.
7．A
解析：A
【解析】
【分析】
设切线长为d ,则2222
(2)51(2)24d m m =++-=++再利用二次函数的图像和性质求函数的最小值得解.
【详解】
设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++, min d ∴=
故选:A.
【点睛】
本题主要考查圆的切线问题,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 8．C
解析：C
【解析】
【分析】
（1）翻折时使得平面ABE ⊥平面ABC ，由面面垂直的性质定理得出BC ⊥平面ABE ，从而使得（1）有可能；
（2）翻折时使得点E 、F 两点重合，利用勾股定理可证得此时AE CE ⊥，即AE FC ⊥；
（3）翻折时使得平面ABE 和平面BCF 同时与平面ABC 垂直，利用面面垂直的性质定理、直线与平面平行的判定定理以及面面平行的判定定理可证明出平面//EAB 平面FGT ；
（4）利用反证法，可推出//BC AE 不成立.
【详解】
（1）翻折时，若平面ABE ⊥平面ABC ，由于ABC ∆是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，
则BC AB ⊥，又Q 平面ABE I 平面ABC AB =，BC ⊂平面ABC ，BC ∴⊥平面ABE ，
AE ⊂Q 平面ABC ，此时AE BC ⊥；
（2）设AB BC a ==，则AC =，且有AE CF a ==，
翻折时，若点E 、F 重合，则AE CE a ==，222AE CE AC ∴+=，此时，
AE CE ⊥，
即AE FC ⊥；
（3）如下图所示：
翻折时，若平面ABE 和平面BCF 同时与平面ABC 垂直，
取AB 的中点D ，连接DE 、FG 、GT 、FT .
ABE ∆Q 是等边三角形，且D 为AB 的中点，DE AB ⊥∴.
Q 平面ABE ⊥平面ABC ，平面ABE I 平面ABC AB =，DE ⊂平面ABE . DE ∴⊥平面ABC ，同理可证FG ⊥平面ABC ，//DE FG ∴，
DE ⊄Q 平面FGT ，FG ⊂平面FGT ，//DE ∴平面FGT .
G Q 、T 分别为BC 、AC 的中点，//AB GT ∴，
AB ⊄Q 平面FGT ，GT ⊂平面FGT ，//AB ∴平面FGT .
DE AB D =Q I ，∴平面//EAB 平面FGT ；
（4）假设AE 与BC 可能平行，BC AB ⊥Q ，则AE AB ⊥，事实上60BAE ∠=o ， 即AE 与AB 不垂直，假设不成立，因此，AE 与BC 不可能平行.
因此，可能正确命题的个数为3.
故选：C.
【点睛】
本题考查的是线面位置关系的判定，判断时要熟悉线面、面面平行与垂直的判定、性质定理，考查推理能力，属于中等题.
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求HI 的长度即可.
【详解】
解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点，
则ABEG 四点共面，
且平面1//A BGE 平面1B HI ，
又1//B F Q 面1A BE ，
F ∴落在线段HI 上，
Q 正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，
112
2HI CD a ∴==，
即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是2
2
a ． 故选D ．
【点睛】
本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案． 【详解】
把平面展开图还原原几何体如图：
由正方体的性质可知，BM 与ED 异面且垂直，故①错误；
CN 与BE 平行，故②错误；
连接BE ，则BE CN P ，EBM ∠为CN 与BM 所成角，连接EM ，可知BEM ∆为正三角形，则60EBM ∠=︒，故③正确；
由异面直线的定义可知，DM 与BN 是异面直线，故④正确． ∴正确命题的个数是2个． 故选：B ． 【点睛】
本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
由已知可得三角形ABC 为直角三角形，斜边BC 的中点O '就是ABC V 的外接圆圆心，利用三棱锥O ABC -的体积，求出O 到底面的距离，可求出球的半径，然后代入球的表面积公式求解． 【详解】
在ABC V 中，∵2AB =，4AC =，25BC =得AB AC ⊥， 则斜边BC 的中点O '就是ABC V 的外接圆的圆心， ∵三棱锥O ABC -的体积为
43
， 114
24323
OO '⨯⨯⨯⨯=，解得1OO '=，221(5)6R =+=， 球O 的表面积为2424R ππ=． 故选C ．
【点睛】
本题考查球的表面积的求法，考查锥体体积公式的应用，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据已知条件和线面位置关系一一进行判断即可. 【详解】
选项A ：一条直线平行于两个相交平面，必平行于两个面交线，故A 正确； 选项B ：垂直于两垂直面的两条直线相互垂直，故B 正确； 选项C ：M m ∈且//m l 得m α⊂且//m β，故C 正确；
选项D ：M m ∈且m l ⊥不一定得到m α⊂，所以,m l 可以异面，不一定得到m β⊥. 故选：D . 【点睛】
本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系的判定，掌握线面、线线之间的判定定理和
性质定理是解决本题的关键，是基础题.
二、填空题
13．【解析】【分析】利用条件两两垂直且把三棱锥扩展为正方体球的直径即是正方体的体对角线长由球的表面积公式求解【详解】先把三棱锥扩展为正方体则正方体的体对角线的长为所以球的半径为所以球的表面积为【点睛】本 解析：3π
【解析】 【分析】
利用条件PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===把三棱锥P ABC -扩展为正方体，球的直径即是正方体的体对角线长，由球的表面积公式求解． 【详解】
先把三棱锥P ABC -,所以球的半径为
所以球的表面积为2
4π3π2⎛⎫
⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
．
【点睛】
本题主要考查了球的体积公式：3
43
V r π=
球（其中r 为球的半径）及长方体的体对角线长
公式：l =,,a b c 分别是长方体的长、宽、高）．
14．③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为四边不共面所以直线与是异面直线所以①错误的；同理直线与也是异面直线直线与是异面直线直线与是异面直线所以②是错误的；③是正确的④是正确的故填③④考点：空间中直
解析：③④ 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：因为1,,,A M C C 四边不共面，所以直线AM 与1CC 是异面直线，所以①错误的；同理，直线AM 与BN 也是异面直线，直线BN 与1MB 是异面直线，直线AM 与
1DD 是异面直线，所以②是错误的；③是正确的,④是正确的，故填③④．
考点：空间中直线与直线的位置关系的判定．
15．【解析】【分析】将小正方体扩展成4个小正方体根据直线夹角的定义即可判断出符合条件的条数【详解】解：设ABCD ﹣A1B1C1D1边长为1第一条：AC1是满足条件的直线；第二条：延长C1D1到C1且D1
解析：4
【解析】 【分析】
将小正方体扩展成4个小正方体，根据直线夹角的定义即可判断出符合条件的条数． 【详解】
解：设ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1边长为1． 第一条：AC 1是满足条件的直线；
第二条：延长C 1D 1到C 1且D 1C 2＝1，AC 2是满足条件的直线； 第三条：延长C 1B 1到C 3且B 1C 3＝1，AC 3是满足条件的直线； 第四条：延长C 1A 1到C 4且C 4A 12=
，AC 4是满足条件的直线．
故答案为4． 【点睛】
本题考查满足条件的直线条数的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查分类与整合思想，是基础题．
16．或【解析】【分析】判断直线恒过定点P （0-1）计算PAPB 的斜率再利用数形结合求a 的取值范围【详解】解：由直线ax+y+1=0的方程判断直线恒过定点P （0-1）如图所示计算且或则或即实数a 的取值范围
解析：3
2
a ≤-或3a ≥ 【解析】 【分析】
判断直线0ax by c ++=恒过定点P （0，-1），计算PA 、PB 的斜率，再利用数形结合求a 的取值范围． 【详解】
解：由直线ax+y+1=0的方程，判断直线恒过定点P （0，-1），如图所示，
计算513402PA k +=
=-，21
310
PB k +==--- 且PA k k ≥或PB k k ≤， 则PA a k ≤-或PB a k ≥-， 即实数a 的取值范围是：3
2
a ≤-或3a ≥． 故答案为：3
2
a ≤-或3a ≥． 【点睛】
本题考查直线的斜率与直线方程的应用问题，是基础题．
17．【解析】若直线与直线的交点位于第一象限如图所示：则两直线的交点应在线段上（不包含点）当交点为时直线的倾斜角为当交点为时斜率直线的倾斜角为∴直线的倾斜角的取值范围是故答案为
解析：(,)62
ππ
【解析】
若直线:3l y kx =-与直线2360x y +-=的交点位于第一象限，如图所示：
则两直线的交点应在线段AB 上（不包含,A B 点）, 当交点为()0,2A 时，直线l 的倾斜角
为
2π，当交点为()3,0B 时，斜率(03330k -==-l 的倾斜角为6π ∴直线的倾斜角的取值范围是,62ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
．
故答案为,62ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭ 18．【解析】由正方体的几何性质对4个命题进行判断对于A 当动点P 与点重合时以等腰三角形与不垂直所以不能得出平面A 为假命题；对于B 易证所以平面所以平面⊥平面故B 为真命题；对于C 在底面上的射影图形的面积为定值 解析：BC
【解析】
由正方体的几何性质对4个命题进行判断，对于A ，当动点P 与点1D 重合时，MNP ∆以等腰三角形，PM 与1ND 不垂直，所以不能得出平面11MB P ND ⊥，A 为假命题；对于B ，易证11111ND MB MB A D ⊥⊥，，所以1MB ⊥平面11ND A ，所以平面1MB P ⊥平面
11ND A ，故B 为真命题；对于C ，∆ 1MB P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值，
因为1MB P ∆在底面ABCD 的射影是三角形，底边是MB ，点P 在底面的射影在CD 上，到
MB 的距离不变，若正方体棱长为a 时，则射影面积为
2
14
a 为定值，所以C 为真命题；对于D ，当P 点与点1C 重合时，则点1B 与点P 的投影重合，此时∆ 1MB P 在侧面11D C CD 上的射影图形是线段，不是三角形，故D 是假命题。

真命题有BC.
点睛：本题主要考查面面之间的关系以及投影的概念，属于中档题，解决本题的关键是对正方体中的点线面之间的关系有比较透彻的了解，对其中的空间位置比较熟悉。

19．【解析】【分析】根据直线垂直的条件计算即可【详解】因为直线与直线互相垂直所以解得故填【点睛】本题主要考查了两条直线垂直的条件属于中档题 解析：1-
【解析】 【分析】
根据直线垂直的条件计算即可. 【详解】
因为直线10x y --=与直线20x ay --=互相垂直， 所以110a ⨯+= 解得1a =-.故填1-. 【点睛】
本题主要考查了两条直线垂直的条件，属于中档题.
20．【解析】【分析】先由题得到点A 在圆上再设出切线方程为利用直线和圆相切得到k 的值即得过点A 的圆的切线方程【详解】因为所以点在圆上设切线方程为即kx-y-k+2=0因为直线和圆相切所以所以切线方程为所以 解析：25x y +=
【解析】
【分析】
先由题得到点A 在圆上，再设出切线方程为2(1),y k x -=-利用直线和圆相切得到k 的值，即得过点A 的圆的切线方程. 【详解】
因为22125+=，所以点()1,2A 在圆上，设切线方程为2(1),y k x -=-即kx-y-k+2=0,
1
2k =
∴=-，
所以切线方程为11
2022
x y --++=， 所以切线方程为25x y +=，
故答案为：25x y += 【点睛】
（1）本题主要考查圆的切线方程的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=
的距离d =
.
三、解答题
21．（1）详见解析；（2
）30
． 【解析】 【分析】
（1）在直角梯形ABCD 中，由条件可得222AD AM DM =+，即DM AM ⊥．再由
PA ⊥面ABCD ，得DM PA ⊥，利用线面垂直的判定可得DM ⊥平面PAM ，进一步得到平面PDM ⊥平面PAM ；
（2）由（1）知，,PM DM AM DM ⊥⊥，则PMA ∠为二面角P DM A --的平面角
为30°，求得tan301PA AM =⋅︒=．以A 为坐标原点，分别以,,AE AB AP 所在直线为
,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出PC u u u r 的坐标及平面PDM 的一个法向量，由PC u u u r
与n r 所成角的余弦值可得直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值． 【详解】
（1）证明：在直角梯形ABCD 中，由已知可得，1,2,2AB CD BM CM ====
可得2
2
3,6AM DM ==，
过A 作AE CD ⊥，垂足为E ，则1,22DE AE ==29AD =， 则222AD AM DM =+，∴DM AM ⊥． ∵PA ⊥面ABCD ， ∴DM PA ⊥，
又PA AM A =I ，∴DM ⊥平面PAM ， ∵DM ⊂平面PDM ， ∴平面PDM ⊥平面PAM ；
（2）解：由（1）知，,PM DM AM DM ⊥⊥，则PMA ∠为二面角P DM A --的平面角为30°，
则tan301PA AM =⋅︒=．
以A 为坐标原点，分别以,,AE AB AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,1P ，(22,1,0)D -，2,1,0)C ，(2,1,0)M ，
(22,1,1),(22,1,1),(2,1,1)PC PD PM =-=--=-u u u r u u u u r
．
设平面PDM 的一个法向量为(,,)n x y z =，
由20
20
n PD x y z n PM x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩u u u v v u u u u v v ，取1x =，得2321,22n ⎛= ⎝⎭r ．
∴直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值为：
||230
|cos ,|30||||106
PC n PC n PC n ⋅<>===⋅⋅u u u r r
u u u r r u u u r r ．
【点睛】
向量法是求立体几何中的线线角、线面角、面面角时常用方法. 22．（1）证明见解析；（26
【解析】
【分析】
（1）证明DE ∥BC ，DE ⊥平面ABD ，可得BC ⊥平面ABD ，由面面垂直的判定定理即可证出平面ABD ⊥平面ABC ；
（2）取BD 的中点O ，所以AO BD ⊥，由（1）可知平面ABD ⊥平面BCDE ，所以
AO ⊥平面BCDE ，所以以O
为原点建立如图所示空间直角坐标系，则(00A ,
，()1,0,0B ，()1,4,0C ，()1,2,0E -，设平面ABC 的法向量为(),,m x y z =u r
，利用空间向
量法求解即可. 【详解】
（1）由题意可知DE 为ABC V 的中位线，所以//DE BC BC ， 因为90B =o ∠，所以BC AB ⊥，所以DE AB ⊥，
因为图（2）所示的空间图形是由ABC V 沿中位线DE 翻折得到的， 所以DE AD ⊥，DE BD ⊥，又AD BD D =I ， 所以DE ⊥平面ABD ，所以BC ⊥平面ABD ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以平面ABD ⊥平面ABC ；
（2）由（1）可知二面角A DE C --的平面角即为ADB ∠，所以3
π
θ∠==ADB ，
因为AD BD =，所以ABD △为等边三角形，
如图取BD 的中点O ，所以AO BD ⊥，由（1）可知平面ABD ⊥平面BCDE ，
Q 平面ABD ⋂平面BCDE BD =，AO ⊂平面ABD ，
所以AO ⊥平面BCDE ，所以以O 为原点建立如图所示空间直角坐标系， 设图1等腰直角ABC V 中4AB =，则图2中2AD BD AB ===，
则(00A ,
，()1,0,0B ，()1,4,0C ，()1,2,0E -，
所以(1,0,AB =uu u r
，(1,4,=u u u r AC
，(1,2,=-u u u r
AE ，
设平面ABC 的法向量为(),,m x y z =u r
，
所以有00m AB m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v
，即040
x x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩
，取)
m =u r ，
设直线AE 与平面ABC 所成的角为α，
所以sin cos ,4m AE m AE m AE
α⋅=<>==⋅u r u u u r u r u u u r u u r u u u u r ，
所以直线AE 与平面ABC
【点睛】
本题主要考查面面垂直的判定定理以及空间中直线与平面所成角的求法，解题时要会用法向量求线面角.
23．（Ⅰ）略；（Ⅱ）60o 【解析】
试题分析：（Ⅰ）思路一：连接,DG CD ，设CD GF O ⋂=，连接OH ，先证明
//OH BD ，从而由直线与平面平行的判定定理得//BD 平面HDF ；思路二：先证明平面//FGH 平面ABED ，再由平面与平面平行的定义得到//BD 平面HDF .
（Ⅱ）思路一：连接,DG CD ，设CD GF O ⋂=，连接OH ，证明,,GB GC GD 两两垂直, 以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -，利用空量向量的夹角公式求解；思路二：作HM AC ⊥于点M ，作MN GF ⊥于点N ，连接NH ，证明MNH ∠即为所求的角，然后在三角形中求解. 试题解析：
（Ⅰ）证法一：连接,DG CD ，设CD GF O ⋂=，连接OH ， 在三棱台DEF ABC -中，
2,AB DE G =为AC 的中点
可得//,DF GC DF GC = 所以四边形DFCG 为平行四边形 则O 为CD 的中点 又H 为BC 的中点 所以//OH BD
又OH ⊂平面,FGH BD ⊂平面,FGH 所以//BD 平面FGH ．
证法二：
在三棱台DEF ABC -中，
由2,BC EF H =为BC 的中点
可得//,,BH EF BH EF =
所以四边形BHFE 为平行四边形
可得//BE HF
在ABC ∆中，G 为AC 的中点，H 为BC 的中点，
所以//GH AB
又GH HF H ⋂=，所以平面//FGH 平面ABED
因为BD ⊂平面ABED
所以//BD 平面FGH
（Ⅱ）解法一：
设2AB =，则1CF =
在三棱台DEF ABC -中，
G 为AC 的中点 由12
DF AC GC ==， 可得四边形DGCF 为平行四边形，
因此//DG CF
又FC ⊥平面ABC
所以DG ⊥平面ABC
在ABC ∆中，由,45AB BC BAC o
⊥∠=，G 是AC 中点，
所以,AB BC GB GC =⊥
因此,,GB GC GD 两两垂直,
以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -
所以())()
()0,0,0,2,0,0,2,0,0,0,1G B C D 可得()
22,0,2,122H F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 故()22,2,1GH GF ⎫==⎪⎪⎝⎭
u u u r u u u r 设(),,n x y z r =是平面FGH 的一个法向量，则
由0,{0,
n GH n GF ⋅=⋅=u u u r r u u u r r 可得0{20x y z +=+= 可得平面FGH 的一个法向量(1,2n r =-
因为GB uuu r 是平面ACFD 的一个法向量，)
2,0,0GB =u u u r 所以21cos ,222GB n GB n GB n ⋅===⋅u u u r r u u u r r u u u r r 所以平面与平面所成的解（锐角）的大小为60o
解法二：
作HM AC ⊥于点M ，作MN GF ⊥于点N ，连接NH
由FC ⊥平面ABC ，得HM FC ⊥
又FC AC C ⋂=
所以HM ⊥平面ACFD
因此GF NH ⊥
所以MNH ∠即为所求的角
在BGC ∆中,12//,,22MH BG MH BG =
= 由GNM ∆∽GCF ∆ 可得,MN GM FC GF
= 从而66MN =
由MH ⊥平面,ACFD MN ⊂平面ACFD
得,MH MN ⊥ 因此tan 3HM MNH MN
∠==所以60MNH ∠=o
所以平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小为60o .
考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角的求法；3、空间向量在解决立体几何问题中的应用.
24．：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）16
【解析】
【分析】
【详解】
（Ⅰ）证明：因为,DE EF CF EF ⊥⊥，所以四边形平面CDEF 为矩形，
由5,4GD DE ==，42,4GC CF == 得223GE GD CF =-=224GF GC CF =-=，
所以5EF =，在EFG V 中 ，
有222EF GE FG =+，所以EG GF ⊥又因为,CF EF CF FG ⊥⊥，
得CF ⊥平面EFG ， 所以CF EG ⊥，所以EG ⊥平面CFG ，即平面DEG ⊥平面CFG ;
（Ⅱ）：在平面EGF 中，过点G 作GH EF ⊥于点H ， 则125
EG GF GH EF ⋅==
因为平面CDEF ⊥平面EFG ，
得GH ⊥平面CDEF ，1163
CDEF CDEF V S GH =⋅=
25．（1）()3,0；（2）2
23953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；（3）存在，252577k -≤≤或34
k =±
． 【解析】
【分析】 （1）通过将圆1C 的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l 的方程为y=kx ，通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C 的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论
【详解】
（1）由22650x y x +-+=得()2234x y -+=， ∴ 圆1C 的圆心坐标为()3,0；
（2）设(),M x y ，则
∵ 点M 为弦AB 中点即1C M AB ⊥， ∴11⋅=-C M AB k k 即13y y x x
⋅=--， ∴ 线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
； （3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫
⎪⎝⎭为圆心32r =为半径的部分圆弧EF （如下图所示，不包括两端点），且5253E ⎛ ⎝⎭
，525,33F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，又直线L ：()4y k x =-过定点()4,0D ，
当直线L 与圆L 22340232
1k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
=+得34k =±，又2023
57554DE DF k k ⎛- ⎝⎭=-=-=-，结合上图可知当332525,44k ⎡⎧⎫∈-⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦U 时，直线L ：()4y k x =-与曲线L 只有一个交点．
考点：1.轨迹方程；2.直线与圆相交的位置关系；3.圆的方程
26．（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②
1111． 【解析】
试题分析：（1）要证明//EF 平面PAB ，可以先证明平面//EF MA ，利用线面平行的判定定理，即可证明//EF 平面PAB ；（2）①要证明平面PBC ⊥平面ABCD ，可用面面垂直的判定定理，即只需证明PB ⊥平面ABCD 即可；②由①BE ⊥平面PBC ，所以FEB ∠为直线EF 与平面PBC 所成的角，由3PB =ABP ∠为直角，即可计算,AM EF 的长度，在Rt EBF ∆中，即计算直线EF 与平面PBC 所成的角的正弦值． 试题解析：（1）证明：如图，取PB 中点M ，连接MF ，AM ．
因为F 为PC 中点，故MF ∥BC 且MF ＝12
BC ．由已知有BC ∥AD ，BC ＝AD ． 又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE 且MF ＝AE ，故四边形AMFE 为平行四边形， 所以EF ∥AM ．又AM ⊂平面PAB ，而EF ⊄平面PAB ，所以EF ∥平面PAB ．
（2）①证明：如图，连接PE ，BE ．
因为PA ＝PD ，BA ＝BD ，而E 为AD 中点，故PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，
所以∠PEB 为二面角P －AD －B 的平面角．
在△PAD 中，由PA ＝PD 5AD ＝2，可解得PE ＝2．
在△ABD 中，由BA ＝BD 2，AD ＝2，可解得BE ＝1．
在△PEB 中，PE ＝2，BE ＝1，∠PEB ＝60°，由余弦定理，可解得PB 3
从而∠PBE ＝90°，即BE ⊥PB ．
又BC∥AD，BE⊥AD，从而BE⊥BC，因此BE⊥平面PBC．
又BE⊂平面ABCD，所以平面PBC⊥平面ABCD．
②连接BF．由①知，BE⊥平面PBC，所以∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角．由PB＝3及已知，得∠ABP为直角．
而MB＝1
2
PB＝
3
2
，可得AM＝
11
，故EF＝
11
．
又BE＝1，故在Rt△EBF中，sin∠EFB＝BE
EF
＝
211
．
所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为211 11
．
考点：直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质；直线与平面所成角的求解．
【方法点晴】本题主要考查了直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面所成角的求解，熟练掌握线面位置关系的判定定理与性质定理是解答基础，同时根据题设条件确定直线与平面所成的角是解答的关键，本题的第二问的解答中，根据BE⊥平面PBC，可以确定FEB
∠为直线EF与平面PBC所成的角，可放置在
Rt EBF
∆中，即计算直线EF与平面PBC所成的角的正弦值．。