《3.3垂径定理》(浙教版).docx

《3・3垂径定理》
♦教材分析
本节是《圆》这一章的重要内容，也是本章的基础。

它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧Z间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性。

同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。

所以它在教材屮处于非常重要的位置。

【知识与能力目标】
1.通过实验观察，讣学生理解圆的轴対称性；
2.学握垂径定理，理解其探索和证明过程；
3.能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题.
【过程与方法目标】
在研究过程屮，进一步体验“实验一归纳一猜想一证明”的方法；在解题过程中，注重发散思维的培养，同一个问题会从不同的角度去分析解决.
【情感态度价值观目标】
通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱.
【教学重点】
使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论.
【教学难点】
对垂径定理的探索和证明，在解决问题时想到用垂径定理.
教师准备：圆规，三角尺，PPT课件，多媒体
学生准备：圆规，三角尺，练习本
♦教学过程
一、温故知新
1、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？
2、我们所学的圆是不是中心对称图形呢?
思考：
活动：探究圆的轴对称性•如图（1）,若将OO沿直径AB对折，观察两部分是否重合? 让
学生用自己進备好的圆形纸片
亲自实验，教师引导学生努力发现：
1.圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴.
2.如图，仞是（DO的一条弦，做直径使CD LAB,垂足为£
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
3、引入新知：如图（2）,左图中AB 是的弦，直径CQ 与弦AB 相交，那么沿直径 CD 所在的直线折叠之后，图形可以重合吗？右图中，是O0的弦，直径CD 丄AB,垂足 为E 此时再沿直径CD 所在直线折輕，图形可以重合吗？（重合，说明此图也是轴对称图 形，称这种处于特殊位置的直径称为垂直于弦的直径），引出本节课研究的内容.
猜想，证明，形成垂径定理
1、 提问：继续观察图（2）的右图，根据圆的对称性，把圆沿直径CD 所在的直线折叠 之后，圆中的线段和弧会出现怎样的位置关系？同时出现怎样的数量关系？
2、 猜想：可能出现的位置关系是：
线段AE 和线段BE 重合，弧4C 和弧重合，弧AD 和弧3D 重合.
可能出现的数量关系是：
AE = BE, AC = BC, AD = BD
3、证明：
利用等腰三角形三线合一的性质或者三角形全等的知识来证明线段AE 与线段BD 相等, 利用圆的对称性证明对应弧相等•板书：
4、引导学生归纳总结垂径定理的文字表述，板书：
垂直于眩的直径平分眩，并且平分眩所对的两条弧.
（二）分析垂径定理的条件和结论
1、 再次明确垂径定理的条件和结论加深学生的印象.
2、 利用反例、变式图形对定理进一步引中，揭示定理的本质属性，以加深学生对定理 CD 是圆0的直径1 CD 丄AB,垂足为E ） AE = BD AC = BC AD=BD c
本质的了解.
练习：在下列图形中，能使用垂径定理的图形有哪些?
3、引申定理：定理中垂直于弦的直径可以是直径、半径，也可以是过圆心的直线或线段.
(三)例题
例1已知：如图(3),在＜30中，弦A3的长为8cm,
圆心。

到AB的距离为3cm.
求：的半径.
变式(1)：如图(3),在＜30屮，圆心O到弦的距离
为3cm, (DO的半径为5cm.
求：弦AB的长为多少？
4、OO 的半径为1 Ocm,眩AB〃CD, AB=16, CD=12,贝ij AB、CD 间的距离是________
总结：在圆有关的问题时，常常构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理相结合的方法来解决.
例:1：在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，油面宽AB=600mm,求油的最大
深度.
练习：
1.如图，在OO中，弦43的长为8cm,圆心O到43的距离为3cm,求G）O的半径.
2已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，
大圆的眩AB交小圆于C、Q两点.
3、已知：OO中弦AB〃CD.
命军决问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37. 4m,拱高（弧的中点到弦的距离）为7. 2m,你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
三、小结
1、这节课我们学习了哪些主要内容?
2、应用垂径定理要注意那些问题?
3、解决问题的思路是什么？
略。