2019-2020学年江西省赣州市经开区八年级(下)期末数学试卷(附答案详解)

2019-2020学年江西省赣州市经开区八年级（下）期末数
学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）
1.式子1
在实数范围内有意义，则x的取值范围是()
√x−1
A. x<1
B. x≤1
C. x>1
D. x≥1
2.若函数y=(k+1)x+2中，y的值随x值的增大而减小，则k的取值范围为()
A. k<0
B. k>0
C. k<1
D. k<−1
3.小红同学对数据24，48，23，24，5■，52进行统计分析，发现其中一个两位数的
个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是()
A. 平均数
B. 中位数
C. 方差
D. 众数
4.三个正方形的面积如图所示，则面积为A的正方形的边长为()
A. 164
B. 36
C. 8
D. 6
5.若定义：f(a,b)=(−a,b)，g(m,n)=(m,−n)，例如f(1,2)=(−1,2)，g(−4,−5)=
(−4,5)，则g(f(3,−4))的值为()
A. (3,−4)
B. (−3,4)
C. (3,4)
D. (−3,−4)
6.如图，有一块边长为2√2的正方形厚纸板ABCD，做成如图①所示的一套七巧板(点
O为正方形纸板对角线的交点，点E、F分别为AD、CD的中点，CE//BI，IH//CD)，将图①所示七巧板拼成如图②所示的“鱼形”，则“鱼尾”MN的长为()
A. 2
B. 2√2
C. 3
D. 3√2
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7.若两个最简二次根式√5与√2m−5能够合并，则m=______ ．
8. 一次函数y =3x −1与y =2x 图象的交点是(1,2)，则方程组{3x −y =12x =y
的解为______．
9. 某中学规定：学生的学期体育综合成绩满分为100分，其中，期中考试成绩占30%，
期末考试成绩占70%，小宁这个学期的期中、期末成绩(百分制)分别是80分、90分，则小宁这个学期的体育综合成绩是______分．
10. 如图，已知矩形ABCD ，P 、R 分别是BC 和DC 上的动
点，E 、F 分别是PA 、PR 的中点．如果DR =5，
AD =12，则EF 的长为______．
11. 如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC 的三个顶
点都在小正方形的格点上，点C 到AB 边的距离为
______．
12. 某市规定了每月用水不超过18立方米和超过18立方米两种不同的收费标准，该市
用户每月应交水费y(元)是用水x(立方米)的函数，其图象如图所示．已知小丽家3月份交了水费102元，则小丽家这个月用水量为______立方米．
三、解答题（本大题共11小题，共84.0分）
13. 计算题
(1)√18−4√12−√24÷√3；
(2)(√2+1)(√2−1)+(√3−2)2．
14.如图，用两个面积为200cm2的小正方形拼成一个大的正方形．
(1)则大正方形的边长是______；
(2)若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之
比为5：4.且面积为360cm2？
x−3的图象与x轴，y轴分
15.如图，已知一次函数y=1
2
别交于A，B两点．点C(−4,n)在该函数的图象上，连
接OC.求点A，B的坐标和△OAC的面积．
16.图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成
的.若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是多少？
17.如图，在四边形ABDC中，AB=AC，BD=DC，BE//DC，请仅用无刻度的直尺
按下列要求画图．
(1)在图1中，画一个以AB为边的直角三角形；
(2)在图2中，画一个菱形，要求其中一边在BE上．
18.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线
EF过点O分别交BC，AD于点E、F，G、H分别为
OB、OD的中点，求证：四边形GEHF是平行四边形．
19.在抗击新型冠状病毒疫情期间，某校学生主动发起为武汉加油捐款活动，为了了解
学生捐款金额(单位：元)，随机调查了该校的部分学生，根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问题：
(Ⅰ)本次接受调查的学生人数为______，图①中m的值为______；
(Ⅱ)求统计的这组学生捐款数据的平均数、众数和中位数；
(Ⅲ)根据统计的这组学生捐款数据的样本数据，若该校共有1800名学生，估计该校此次捐款总金额为多少元？
20.我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角
形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82=4×52=100，所以这个三角形是常态三角形．
(1)若△ABC三边长分别是2，√5和4，则此三角形常态三角形(填“是”或“不
是”)；
(2)若Rt△ABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为(请按从小到大排
列)；
(3)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为AB的中点，连接CD，若△BCD
是常态三角形，求△ABC的面积．
21.2020年新冠肺炎疫情发生以来，每天测体温成为一种制度，手持红外测温枪成为
紧俏商品.某经销店承诺对所有商品明码标价，绝不哄抬物价.如下表所示是该店甲、乙两种手持红外测温枪的进价和售价：
商品价格甲乙
进件(元/个)4001000
售价(元/个)4501100
该店有一批用38000元购进的甲、乙两种手持红外测温枪库存，预计全部销售后可获毛利润共4000元.[毛利润=(售价−进价)销售量]
(1)该店库存的甲、乙两种手持红外测温枪分别为多少个？
(2)根据销售情况，该店计划增加甲种手持红外测温枪的购进量，减少乙种手持红
外测温枪的购进量.已知甲种手持红外测温枪增加的数量是乙种手持红外测温枪减少的数量的3倍，进货价不变，而且用于购进这两种手持红外测温枪的总资金不超过40000元，则该店怎样进货，可使全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润．
22.如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、
F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
(1)证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；
(2)当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长
是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．
x+3分别交x、y轴于点B、23.在平面直角坐标系之中，点O为坐标原点，直线y=−3
4
x+3交于点C．
A，直线y=3x与直线y=−3
4
(1)如图1，求点C的坐标．
(2)如图2，点P(t,0)为C点的右侧x轴上一点，过点P作x轴垂线分别交AB、OC
于点N、M，若MN=5NP，求t的值．
(3)如图3，点F为平面内任意一点，是否存在y轴正半轴上一点E，使点E、F、
M、N围成的四边形为菱形，若存在，求出点E坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：依题意得：x−1>0，
解得x>1．
故选：C．
被开方数是非负数，且分母不为零，由此得到：x−1>0，据此求得x的取值范围．考查了二次根式的意义和性质．概念：式子√a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．注意：本题中的分母不能等于零．2.【答案】D
【解析】解：∵一次函数y=(k+1)x+2图象是函数值y随自变量x的值增大而减小，∴k+1<0，
解得，k<−1；
故选：D．
根据一次函数y=(k+1)x+2的增减性列出不等式k+1<0，通过解该不等式即可求得k的取值范围．
本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线y=kx+b(k≠0)中，当k>0时，y
随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小．
3.【答案】B
【解析】解：这组数据的平均数、方差和众数都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为24与48的平均数，与被涂污数字无关．
故选：B．
利用平均数、中位数、方差和众数的定义对各选项进行判断．
本题考查了方差：它也描述了数据对平均数的离散程度．也考查了中位数、平均数和众数的概念．
4.【答案】D
【解析】解：由勾股定理得，BC2=CD2−BD2=110−64=36，
即面积为A的正方形的边长=√36=6，
故选：D．
根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
5.【答案】B
【解析】解：g(f(3,−4))=g(−3，−4)=(−3，4)，
故选：B．
根据f(a,b)=(−a,b)，g(m,n)=(m,−n)，可得答案．
本题考查了点的坐标，利用f(a,b)=(−a,b)，g(m,n)=(m,−n)是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵等腰直角三角形ACD中，AD=CD=2√2，
∴AC=4，
又∵AG=GO=OH=CH，
∴FI=EI=1，EF=2，
∴NM=2+1=3，
故选：C．
依据勾股定理即可得到AC的长，进而得出FI=EI=1，EF=2，即可得到“鱼尾”MN 的长．
本题主要考查了勾股定理以及等腰直角三角形的性质，掌握七巧板的结构特点是解决问题的关键．
7.【答案】5
【解析】解：∵最简二次根式√5与√2m−5能够合并，
∴2m−5=5，
解得，m=5，
故答案为：5．
根据同类二次根式的概念列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是同类二次根式的概念，二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
8.【答案】{x =1
y =2
【解析】解：∵一次函数y =3x −1与y =2x 的图象的交点是(1,2)，
∴方程组{3x −y =12x =y
的解为{x =1y =2． 故答案为：{x =1y =2
． 根据两函数交点即为两函数组成的方程组的解，从而求出答案．
本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 9.【答案】87
【解析】解：小宁这个学期的体育综合成绩是80×30%+90×70%=87(分)， 故答案为：87．
根据加权平均数的定义计算可得．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
10.【答案】6.5
【解析】解：∵∠D =90°，DR =5，AD =12，
∴AR =√AD 2+DR 2=13，
∵E 、F 分别是PA 、PR 的中点，
∴EF =12AR =6.5， 故答案为：6.5．
首先利用勾股定理计算出AR 的长，然后再根据三角形中位线定理计算出EF 的长即可． 此题主要考查了勾股定理和三角形的中位线，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
11.【答案】7√1313
【解析】解：∵S △ABC =3×3−12×1×2−12×2×3−12×1×3=72，AB =√22+32=√13，
∴点C 到AB 边的距离=2S △ABC AB =7√1313．
故答案为：7√1313
． 利用分割图形求面积法求出△ABC 的面积，利用勾股定理求出线段AB 的长，再利用三角形的面积公式可求出点C 到AB 边的距离．
本题考查了勾股定理以及三角形的面积，利用面积法求出点C 到AB 边的距离是解题的关键．
12.【答案】30
【解析】解：设当x >18时的函数解析式为y =kx +b ，
{18k +b =5428k +b =94，得{k =4b =−18
， 即当x >18时的函数解析式为y =4x −18，
∵102>54，
∴当y =102时，102=4x −18，得x =30，
故答案为：30．
根据题意和函数图象中的数据可以求得当x >18时对应的函数解析式，根据102>54可知，小丽家用水量超过18立方米，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
13.【答案】解：(1)原式=3√2−2√2−√8
=3√2−2√2−2√2
=−√2；
(2)原式=2−1+3+4−4√3=8−4√3．
【解析】(1)先化简各二次根式、计算二次根式的除法，再合并同类二次根式即可得；
(2)先利用平方差公式和完全平方公式计算，再计算加减可得．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
14.【答案】20cm
【解析】解：(1)大正方形的边长是√200×2=√400=20(cm)；
故答案为：20cm ；
(2)设长方形纸片的长为5xcm，宽为4xcm，
则5x⋅4x=360，
解得：x=√18=3√2，
则5x=15√2>20，
所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为360cm2．
(1)根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可；
(2)先求出长方形的边长，再判断即可．
本题考查了算术平方根，能够根据题意列出算式是解此题的关键．
15.【答案】解：在y=1
2x−3中，当y=0时，0=1
2
x−3，
∴x=6，
∴点A的坐标为(6,0)，∴OA=6，
当x=0时，y=−3，∴点B的坐标为(0,−3)，
把点C(−4,n)代入y=1
2x−3得n=1
2
×(−4)−3=−5，
∴点C的坐标为(−4,−5)，过点C作CD⊥x轴于点D，则CD=5，
∴S△OAC=1
2⋅OA⋅CD=1
2
×6×5=15．
【解析】对于一次函数解析式，分别令x与y为0求出对应y与x的值，确定出OA与OB的值，得到A、B两点的坐标，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
16.【答案】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则
x2=122+52=169
所以x=13
所以“数学风车”的周长是：(13+6)×4=76．
【解析】由题意∠ACB 为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC 延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．
本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题． 17.【答案】解：(1)如图，Rt △AOB 即为所求；
(2)如图，菱形BFCD 即为所求．
【解析】(1)在图1中，画一个以AB 为边的直角三角形即可；
(2)在图2中，画一个菱形，要求其中一边在BE 上即可．
本题考查了作图−复杂作图、菱形的判定，解决本题的关键是掌握菱形的判定方法． 18.【答案】证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴BO =DO ，AD =BC 且AD//BC ．
∴∠ADO =∠CBO ．
又∵∠FOD =∠EOB ，
在△FOD 和△EOB 中
{∠FDO =∠EBO DO =BO ∠FOD =∠EOB
∴△FOD≌△EOB(ASA)．
∴FO =EO ．
又∵G 、H 分别为OB 、OD 的中点，
∴GO =HO ．
∴四边形GEHF 是平行四边形．
【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．
利用全等证明OE =OF ，根据线段之间的等量关系及平行四边形的性质证出OG =OH ，故可证明四边形GEHF 是平行四边形．
19.【答案】50 30
【解析】解：(Ⅰ)8+12+15+10+5=50(人)，
m%=1−16%−24%−20%−10%=30%，
故答案为：50，30；
(Ⅱ)这组数据的平均数是：20×16%+25×24%+30×30%+35×20%+
40×10%=29.2，
众数是30，中位数是30；
(Ⅲ)1800×29.2=52560(元)，
答：该校此次捐款总金额为52560元．
(Ⅰ)根据条形统计图中的数据，可以计算出本次调查的人数，再根据扇形统计图中的数据，可以得到m的值；
(Ⅱ)根据条形统计图中的数据，可以得到这组数据的平均数、众数和中位数；
(Ⅲ)根据求得的平均数，可以得到该校此次捐款总金额为多少元．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、平均数、众数和中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】解：(1)是
(2)√2：√3：√5
(3)∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为AB的中点，△BCD是常态三角形，∴当AD=BD=DC，CD2+BD2=4×62时，
解得：BD=DC=6√2，
则AB=12√2，
故AC=√(12√2)2−62=6√7，
×6×6√7=18√7．
则△ABC的面积为：1
2
当AD=BD=DC，CD2+BC2=4×BD2时，
解得：BD=DC=2√3，
则AB=4√3，
故AC=2√3，
×6×2√3=6√3．
则△ABC的面积为：1
2
故△ABC 的面积为18√7或6√3． 【解析】 【解答】 解：(1)∵22+42=4×(√5)2=20，
∴△ABC 三边长分别是2，√5和4，则此三角形是常态三角形．
故答案为：是；
(2)∵Rt △ABC 是常态三角形，
∴设两直角边长为：a ，b ，斜边长为：c ，
则a 2+b 2=c 2，a 2+c 2=4b 2，
则2a 2=3b 2，
故a ：b =√3：√2，
∴设a =√3x ，b =√2x ，
则c =√5x ，
∴此三角形的三边长之比为：√2：√3：√5．
故答案为：√2：√3：√5；
(3)见答案
【分析】
(1)直接利用常态三角形的定义判断即可；
(2)利用勾股定理以及结合常态三角形的定义得出两直角边的关系，进而得出答案；
(3)直接利用直角三角形的性质结合常态三角形的定义得出BD 的长，进而求出答案． 此题主要考查了勾股定理以及新定义，正确应用勾股定理以及直角三角形的性质是解题关键．
21.【答案】解：(1)设该店库存的手持红外线测温枪中甲种有x 个，乙种有y 个， {400x +1000y =38000(450−400)x +(1100−1000)y =4000
， 解得{x =20y =30
， 答：该店库存手持红外线测温枪中甲种有20个，乙种有30个；
(2)设乙种手持红外测温枪减少m 个，则甲种手持红外测温枪增加3m 个，
400(20+3m)+1000(30−m)≤40000，
解得m≤10，
设全部销售后获得的毛利润为W元，
W=(450−400)(20+3m)+(1100−1000)(30−m)=50m+4000，
∴W随着m的增大而增大，
∴当m=10时，W取得最大值，此时W=4500，20+3m=50，30−m=20，
答：该店用不超过40000元购进甲种手持红外测温枪50个，乙种手持红外测温枪20个时，全部销售后获得的毛利润最大，最大毛利润为4500元．
【解析】(1)根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得该店库存的甲、乙两种手持红外测温枪分别为多少个；
(2)根据题意，可以设乙种手持红外测温枪减少m个，则甲种手持红外测温枪增加3m 个，然后即可得到利润关于m的函数关系式，再根据用于购进这两种手持红外测温枪的总资金不超过40000元，可以得到m的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到该店怎样进货，可使全部销售后获得的毛利润最大，并求出最大毛利润．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
22.【答案】解：(1)如图，连接AC，
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，
∴∠BAC=60°，
∵△AEF是等边三角形，
∴∠EAF=60°，
∴∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，
∴∠1=∠3，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD为等边三角形，
∴∠4=60°，AC =AB ，
∴在△ABE 和△ACF 中，
{∠1=∠3AB =AC ∠ABC =∠4
，
∴△ABE≌△ACF(ASA)．
∴BE =CF ；
(2)四边形AECF 的面积不变，△CEF 的周长发生变化．理由如下：
由(1)得△ABE≌△ACF ，
则S △ABE =S △ACF ，
故S 四边形AECF =S △AEC +S △ACF =S △AEC +S △ABE =S △ABC ，是定值，
作AH ⊥BC 于H 点，则BH =2，
S 四边形AECF =S △ABC =12BC ⋅AH =12BC ⋅√AB 2−BH 2=4√3．
△CEF 的周长=CE +CF +EF =CE +BE +EF =BC +EF =BC +AE
由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时，边AE 最短． 故△AEF 的周长会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，△CEF 的周长会最小=4+√AB 2−BH 2=4+2√3．
【解析】
(1)(1)先求证AB =AC ，进而求证△ABC 、△ACD 为等边三角形，得∠4=60°，AC =AB 进而求证△ABE≌△ACF ，即可求得BE =CF ；
(2)根据△ABE≌△ACF 可得S △ABE =S △ACF ，故根据S 四边形AECF =S △AEC +S △ACF =S △AEC +S △ABE =S △ABC 即可解题；由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时，边AE 最短．△AEF 的周长会随着AE 的变化而变化，求出当AE 最短时，△CEF 的周长即可．
本题考查了菱形的性质；三角形全等的判定与性质；垂线段的性质等，综合性较强，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵直线y =3x 与直线y =−34x +3交于点C ．
∴{y =−34x +3y =3x
， 解得{x =45y =95
， ∴C(45,95)，
(2)如图：
设P(t,0)，则N(t,−3
4
t+3)，M(t,3t)．
∴MN=3t−(−3
4t+3)=15
4
t−3；NP=−3
4
t+3．
∵MN=5NP．
∴15
4
t−3=5(−
3
4
t+3).
解得t=2.4．
(3)由(2)知，当t=2.4时，M(12
5,36
5
)，N(12
5
,6
5
)，MN=6，
情况1，以MN为对角线，作MN的垂直平分线交y轴正半轴于点E，∴MT=NT=3，ET=TF=2.4．
∴E1(0,21 ).
情况2：以MN为边，点E在点M的下面，E2M=MN=6，作E2Y⊥MN，解得MY=6√21
5
，
∴E2(0,36
5−6
5
√21)．
情况3：以MN为边，点E在点M的上面E3M=MN=6．作E2W⊥MN，解得MW=6√21
5
，
∴E3(0,36
5+6√21
5
)E4(0,6
5
+6
5
√21)．
【解析】(1)将两个函数表达式组成方程组即可求点C坐标．
(2)设出点坐标，找到M、N坐标，用两点间的距离公式即可求．
(3)分类讨论MN是对角线还是边，利用棱形性质求解．
本题综合考查了求一次函数图像交点，两点间的距离公式，菱形的性质，数形结合；正确利用分类讨论思想是求解本题的关键．。