2017高考数学一轮总复习(文理科)配套课件：第九章 计数原理、概率与统计 热点专题突破六 概率与统

(0.010+0.015×2+0.025+0.005)×10+x=1,可得x=0.3,
所以频率分布直方图如图所示.
(2)平均分为=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71.
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热点专题突破六
第九章
概率与统计的综合问题
容易出现错误.
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第九章
热点专题突破六
概率与统计的综合问题
-18-
考点 4 离散型随机变量的分布列与统计、独立性检验相结合的问题
将离散型随机变量的分布列、期望和方差与统计、独立性检验相结合是常见题型,题型一
般是解答题,难度不大.掌握统计与随机变量的分布列的基础知识即可求解.
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第九章
热点专题突破六
概率与统计的综合问题
-13-
【解析】(1)讲课评价中成绩为 5 分的频率为 1-0.025-0.150-0.375-0.375=0.075,
12
故该学校参加评价活动的教师总人数为0.075=160.
(2)由条件可知,说课评价为 2 分的教师的频率为 1-0.200-0.375-0.250-0.075=0.1,
8
39
28
65
56
195
2
39
2×
28
65
8
+
39
+3×
56
+4
195
×
2
39
=
416
.
195
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第九章
热点专题突破六
概率与统计的综合问题
-5-
古典概型与分布列相结合问题的解法
(1)利用列举、列表以及排列组合计数基本事件;
(2)利用古典概型的概率公式求解概率;
(3)利用概率分布列的定义建立概率分布列,利用期望的定义式或者特殊分布列的期望公
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第九章
概率与统计的综合问题
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典例4 (2015·西北师大附中诊断)某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”,每班50
人,吴老师采用A,B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教学实验.为了解教学效果,期末考试
后,分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出的茎叶图如下:记成绩不低于90分者
(3)若从60名学生中随机抽取2人,抽到的学生成绩在[40,70)记0分,在[70,100]记1分,用X表示
抽取结束后的总记分,求X的分布列和数学期望.
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概率与统计的综合问题
-10-
【参考答案】(1)设分数在[70,80)内的频率为x,根据频率分布直方图,则有
考点 3 互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率与统计相结合的问题
互斥事件是不能同时发生的两个事件,对立事件是必有一个发生的互斥事件,相互独立事
件则是满足 P(AB)=P(A)P(B)的事件 A 和 B,不同事件与统计的结合要注意在利用统计知
识求解频数、频率的同时,根据事件之间的关系选择相应的概率公式.
3
+5
C 26
×
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-8-
考点 2 分布列与统计图表相结合的问题
统计中频率分布直方图、
茎叶图等统计图表经常与分布列相结合,此时需要从图表中提取
相应的量,如从直方图或者茎叶图中得出某一段的频数,再求解概率分布.
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C 18 C 37
P(X=1)= C 4
15
2C 8 C 27来自P(X=2)= 4C 15
C 38 C 17
P(X=3)=
C 415
C 48 C 07
P(X=4)= C 4
15
=
1
39
8
= 39,
=
=
=
28
;
65
56
195
2
.
39
;
故 X 的分布列为
故
,
1
EX=0× 39 + 1
×
X
0
1
2
3
4
P
1
39
故所求概率为C 4 +C4
7
8
=
35
70+35
=
1
.
3
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热点专题突破六
第九章
概率与统计的综合问题
-4-
4 ,
(2)该兴趣小组共有 15 人,任意选出 4 名同学的方法总数是C15
选出男生的人数 X=0,1,2,3,4.
则 P(X=0)=
C 08 C 47
C 415
故说课评价为 2 分教师人数为 160×0.1=16.
由条件可知,这 16 人中总分为 4 分的有 4 人,总分为 5 分的有 12 人.
设从这 16 人中任选 2 人,得分总和为 X,则 X 的可能值为 8 分,9 分,10 分.
则
C 24
P(X=8)= C 2
16
=
则 X 的分布列为
所以数学期望
(2)若设选出男生的人数为X,求X的分布列和EX.
【解题思路】(1)利用组合计数基本事件,代入古典概型的概率公式求解;(2)
利用二项分布的概率公式求解概率分布,最后利用期望的定义式求解.
【参考答案】(1)若 4 人全是女生,共C74 =35 种情况;
若 4 人全是男生,共有C84 =70 种情况;
C 47
-17-
复杂事件的概率求法与注意事项
求某些较复杂的事件的概率,通常有两种方法:一种将所求事件的概率化成一些彼此互斥
的事件的概率和;二是先求此事件的对立事件的概率.若用直接法求某一事件的概率较为
复杂时,第二种方法常可使概率的计算得到简化.如果采用第一种方法,一定要将事件分拆
成若干互斥的事件,不能重复和遗漏,如果采用第二种方法,一定要找准其对立事件,否则
P(A1)=P(ξ=1)=
P(A2)=P(ξ=2)=
C 13 C 13
C 26
C 23
C 26
=
6
3
= 5,
1
,
5
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概率与统计的综合问题
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所以 ξ 的分布列为
所以
1
Eξ=0× 5 +
ξ
0
1
2
P
1
5
3
5
1
5
3
5
1× +2×
1
=1.
5
(2)设“从 6 个球中任意取出 2 个球,恰好取到一个新球”为事件 B,则
热点专题突破六
概率与统计的综合问题
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-2-
考点 1 分布列与古典概型的综合问题
有关古典概型与分布列结合的题型是高考考查概率的一个重要题型,已成为高考考查的
热点,分布列与古典概型的综合题,很多都与排列组合相结合,利用排列组合知识计算基本
解法2:P()=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=
0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09.
故P(A)=1-P()=0.91.
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第九章
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概率与统计的综合问题
的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区
到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.
T(分钟)
25
30
35
40
频数(次)
20
30
40
10
【解题思路】利用频数、频率、概率之间的关系求解,再利用互斥事件的概率计算.
【参考答案】(1)由统计结果可得T的频率分布为
以频率估计概率得T的分布列为
T(分钟)
频率
25 30 35 40
T 25
30
35
40
P 0.2 0.3 0.4 0.1
0.2 0.3 0.4 0.1
从而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟).
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-16-
(2)设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立,且与T的分布列相同.
1
, (
20
C 14 C 112
C 216
=
2
, (
5
+ 9 × + 10 ×
11
=9.5.
20
= 9) =
X
8
9
10
P
1
20
2
5
11
20
1
EX=8×
20
2
5
= 10) =
C 212
C 216
=
11
.
20
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典例2 (2015·梅州一模)某校从参加某次知识竞赛的同学中,选取60名同学将其成绩(百
分制)(均为整数)分成6组后,得到部分频率分布直方图(如图),观察图形中的信息,回答下
列问题.
(1)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图;
(2)从频率分布直方图中,估计本次考试的平均分;
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典例3 (2015·陕西高考)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路畅通状况有关,对
其容量为100的样本进行统计,结果如下:
(1)求T的分布列与数学期望ET;
(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟
为“成绩优秀”.
(1)在乙班样本的20个个体中,从不低于80分的成绩中随机抽取2个,记
随机变量ξ为抽到“成绩优秀”的个数,求ξ的分布列及数学期望Eξ;
(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表,通过计算并查下表判断有多
2
P
46
295
144
295
21
59
所以 X 的分布列为
46
C 224
144
105
354
C 124 C 136
C 260
=
144
295
, ( =
6
故 EX=0× 295 + 1 × 295 + 2 × 295 = 295 = 5.
分布列与统计图表相结合问题的解题技巧
从统计图表中挖掘出相关信息,如直方图中各组的频数、频率以及样本容量的关系,并且
式计算期望.
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【变式训练】
深圳市某校中学生篮球队假期集训,集训前共有6个篮球,其中3个是新球(即没有用过的球),3个是旧
球(即至少用过一次的球).每次训练,都从中任意取出2个球,用完后放回.
(1)设第一次训练时取到的新球个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望;
-11-
(3)学生成绩在[40,70)的有 0.4 × 60=24 人,在[70,100] 的有 0.6 ×
60=36 人,并且 X 的可能取值
是 0,1,2, 所 以 P(X=0)=
C 236
105
21
2) = C 2 = 295 = 59.
60
C 260
=
46
295
, ( = 1) =
X
0
1
所有教师说课评价与讲课评价成绩的频率分布情况如下图所示(参加评价的每个教师两种评价都参加了),
其中讲课评价成绩为5分的有12人.
(1)求该学校参加评价活动的教师总人数;
(2)若在说课评价为2分的教师中,讲课评价也为2分的有4人,其余讲
课评价均为3分.若从说课评价为2分的教师中选取2人进行座谈,
求这2人说课评价与讲课评价总分的分布列及数学期望.
“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件 A0B+A1B+A2B,而事件
A0B,A1B,A2B 互斥,
所 以
C 12 C 14
C 26
1
+
5
P(A0B+A1B+A2B)=P(A0B)+P(A1B)+P(A2B)=
×
C 11 C 15
C 26
=
3
25
+
8
25
+
1
15
=
38
.
75
1
5
×
C 13 C 13
设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘
教授在路途中的时间不超过70分钟”.
解法1:P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+
P(T1=40,T2≤30)=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.
(2)求第二次训练时恰好取到一个新球的概率.
【解析】(1)由题意知 ξ 的所有可能取值为 0,1,2.
设“第一次训练时取到 i 个新球(即 ξ=i)”为事件 Ai(i=0,1,2).
因为集训前共有 6 个篮球,其中 3 个是新球,3 个是旧球,
C 23
1
所以 P(A0)=P(ξ=0)=C 2 = 5,
事件,代入古典概型的概率公式,再结合概率分布列、期望等,此类问题即可解决.
第二页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
第九章
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概率与统计的综合问题
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典例1 (2015·蚌埠质检)从某兴趣小组的7名女生,8名男生中,随机一次挑选出4
名去参加体育达标测试.
(1)若选出的4名同学是同一性别,求全为女生的概率;
在分布列中加以应用.
第十一页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
第九章
热点专题突破六
概率与统计的综合问题
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【变式训练】
在2015年教师节来临之际,某学校计划为教师颁发一定的奖励,该学校计划采用说课评价与讲课评价相结合
的方式来决定教师获得奖励的等级.已知说课评价和讲课评价的成绩都分为1分,2分,3分,4分,5分,共5个等级.