中考数学复习专题三圆的证明与计算试题(含答案)

专题三 圆的证明与计算
类型一 切线的判定
判定某直线是圆的切线，首先看是否有圆的半径过直线与圆的交点，有半径则证垂直；没有半径，则连接圆心与切点，构造半径证垂直．
(2016·黄石)如图，⊙O 的直径为AB ，点C 在圆周上(异于A ，B)，AD⊥CD， (1)若BC ＝3，AB ＝5，求AC 的值；
(2)若AC 是∠DAB 的平分线，求证：直线CD 是⊙O 的切线．
【分析】 (1)根据直径所对的圆周角为直角，利用勾股定理求AC 的长；(2)连接OC ，利用AC 是∠DAB 的平分线，证得∠OAC＝∠CAD，再结合半径相等，可得OC∥AD，进而结论得证．
1．(2016·六盘水)如图，在⊙O 中，AB 为直径，D ，E 为圆上两点，C 为圆外一点，且∠E＋∠C＝90°. (1)求证：BC 为⊙O 的切线；
(2)若sin A ＝3
5
，BC ＝6，求⊙O 的半径．
2．(2017·济宁)如图，已知⊙O 的直径AB ＝12，弦AC ＝10，D 是BC ︵
的中点，过点D 作DE⊥AC，交AC 的延长线于点E.
(1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)求AE 的长．
类型二 切线的性质
已知某条直线是圆的切线，当圆心与切点有线段连接时，直接利用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；当圆心与切点没有线段相连时，则作辅助线连接圆心与切点，再利用切线的性质解题．
(2016·资阳)如图，在⊙O 中，点C 是直径AB 延长线上一点，过点C 作⊙O 的切线，切点为D ，连接BD.
(1)求证：∠A＝∠BDC；
(2)若CM 平分∠ACD，且分别交AD ，BD 于点M ，N ，当DM ＝1时，求MN 的长．
【分析】 (1)连接OD ，由切线的性质可得∠CDB＋∠ODB＝90°，由AB 是直径，可得∠ADB＝90°，进而可得∠A＋∠ABD＝90°，进而求得∠A＝∠BDC；(2)由角平分线及三角形外角性质可得∠A＋∠ACM＝∠BDC ＋∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，再根据勾股定理求得MN 的长．
3．(2016·南平)如图，PA ，PB 是⊙O 切线，A ，B 为切点，点C 在PB 上，OC∥AP，CD⊥AP 于点D. (1)求证：OC ＝AD ；
(2)若∠P＝50°，⊙O 的半径为4，求四边形AOCD 的周长(精确到0.1，参考数据sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，t an 50°≈1.19)．
4．(2017·长沙)如图，AB 与⊙O 相切于点C ，OA ，OB 分别交⊙O 于点D ，E ，CD ︵＝CE ︵
. (1)求证：OA ＝OB ；
(2)已知AB ＝43，OA ＝4，求阴影部分的面积．
类型三 圆与相似的综合
圆与相似的综合主要体现在圆与相似三角形的综合，一般结合切线的判定及性质综合考查，求线段长或半径．一般的解题思路是利用切线的性质构造角相等，进而构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求出所求线段或半径．
(2016·荆门)如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的弦，点F 是DA 延长线的一点，AC 平分∠FAB 交⊙O 于点C ，过点C 作CE⊥DF，垂足为点E.
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径．
【分析】 (1)连接CO，证得∠OCA＝∠CAE，由平行线的判定得到OC∥FD，再证得OC⊥CE即可；(2)连接BC，由圆周角定理得到∠BCA＝90°，再证得△ABC∽△ACE，根据相似三角形的性质即可求得半径．
5．(2017·德州)如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC的中点．以AC为直径的⊙O交AB于点E.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE的长．
6．(2017·黄冈)如图，已知MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN.
求证：(1)DE是⊙O的切线；
(2)ME2＝MD·MN.
7．(2016·丹东)如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD 的延长线于点E.
(1)求证：∠BDC＝∠A；
(2)若CE＝4，DE＝2，求AD的长．
参考答案
【例1】 (1)∵AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上， ∴∠ACB＝90°， ∴AC＝AB 2
－BC 2
＝4. (2)如图，连接OC ，
∵AC 平分∠DAB， ∴∠OAC＝∠CAD.
∵OA＝OC ，∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠OCA＝∠CAD， ∴OC∥AD.
∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.
∵OC 是⊙O 的半径，∴直线CD 是⊙O 的切线． 【变式训练】
1．(1)证明：∵∠A 与∠E 所对的弧都是BD ︵
， ∴∠A＝∠E.
∵∠E＋∠C＝90°，∴∠A＋∠C＝90°，
∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝90°.即AB⊥BC. ∵AB 是直径，∴BC 为⊙O 的切线．
(2)解：∵sin A ＝BC AC ＝3
5，BC ＝6，∴AC＝10.
在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2
－BC 2
＝8，
∴AO＝1
2
AB ＝4，即⊙O 的半径是4.
2．(1)证明：如图，连接OD.∵D 是BC ︵的中点，∴BD ︵＝DC ︵
， ∴∠BOD＝∠BAE，∴OD∥AE.
∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°. ∴OD⊥DE，
∴DE 是⊙O 的切线．
(2)解：如图，过点O 作OF⊥AC 于点F.
∵AC＝10，
∴AF＝CF ＝12AC ＝1
2×10＝5.
∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，
∴四边形OFED 是矩形， ∴FE＝OD ＝1
2AB ＝6，
∴AE＝AF ＋FE ＝5＋6＝11. 【例2】 (1)如图，连接OD ，
∵CD 是⊙O 的切线， ∴∠ODC＝90°，
∴∠BDC＋∠ODB＝90°. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠A＋∠ABD＝90°. ∵OB＝OD ，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠A＋∠ODB＝90°，∴∠A＝∠BDC. (2)∵CM 平分∠ACD，∴∠DCM＝∠ACM. ∵∠A＝∠BDC，
∴∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM. 即∠DMN＝∠DNM.
∵∠ADB＝90°，DM ＝1，∴DN＝DM ＝1， ∴MN＝DM 2
＋DN 2
＝ 2. 【变式训练】
3．(1)证明：∵PA 是⊙O 的切线，A 为切点， ∴OA⊥PA，即∠OAD＝90°. ∵OC∥AP，
∴∠COA＝180°－∠OAD＝180°－90°＝90°. ∵CD⊥PA，∴∠CDA＝∠OAD＝∠COA＝90°， ∴四边形AOCD 是矩形，∴OC＝AD.
(2)解：∵PB 切⊙O 于点B ，∴∠OBP＝90°. ∵OC∥AP，∴∠BCO＝∠P＝50°. 在Rt △OBC 中，sin ∠BCO＝OB
OC ，OB ＝4，
∴OC＝
4
sin 50°
≈5.22，
∴矩形OADC 的周长为2(OA ＋OC)＝2×(4＋5.22)≈18.4. 4．(1)证明：如图，连接OC.
∵AB 与⊙O 相切于点C ， ∴∠ACO ＝90°. ∵CD ︵＝CE ︵，
∴∠AOC＝∠BOC， ∴∠A＝∠B， ∴OA＝OB.
(2)解：由(1)可知△OAB 是等腰三角形， ∴BC＝12AB ＝23，∴sin ∠COB＝BC OB ＝32
，
∴∠COB＝60°，∴∠B＝30°，
∴OC＝12OB ＝2，∴S 扇形OCE ＝60π×4360＝2π3，
S △OCB ＝1
2×23×2＝23，
∴S 阴影＝S △OCB －S 扇形OCE ＝23－
2π3
. 【例3】 (1)如图，连接CO ， ∵OA＝OC ，∴∠OCA＝∠OAC.
∵AC 平分∠FAB，∴∠OAC＝∠FAC， ∴∠OCA＝∠FAC，∴OC∥FD.
∵CE⊥FD，∴CE⊥OC.
∵OC 是⊙O 的半径，∴CE 是⊙O 的切线． (2)如图，连接BC ，
在Rt △ACE 中，AC ＝AE 2
＋EC 2
＝ 5. ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BCA＝90°， ∴∠BCA＝∠CEA.
∵∠CAE＝∠BAC，∴△ACE∽△ABC， ∴
CA AB ＝AE AC ，即5AB ＝1
5
，∴AB＝5， ∴AO＝1
2AB ＝2.5即⊙O 的半径是2.5.
【变式训练】
5．(1)证明：如图，连接OE ，CE.
∵AC 是⊙O 的直径，∴∠AEC＝∠BEC＝90°.
∴ED＝1
2
BC ＝DC ，∴∠1＝∠2.
∵OE＝OC ，∴∠3＝∠4，
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠OED＝∠ACD. ∵∠ACD＝90°，∴∠OED＝90°，即OE⊥DE. 又∵E 是⊙O 上一点， ∴DE 是⊙O 的切线．
(2)解：由(1)知∠BEC＝90°.
在Rt △BEC 与Rt △BCA 中，∠B 为公共角， ∴△BEC∽△BCA， ∴
BE BC ＝BC BA
， 即BC 2
＝BE·BA.
∵AE∶EB＝1∶2，设AE ＝x ，则BE ＝2x ，BA ＝3x. 又∵BC＝6，∴62
＝2x·3x.∴x＝6，即AE ＝ 6. 6．证明：(1)∵ME 平分∠DMN，∴∠OME＝∠DME. ∵OM＝OE ，∴∠OME＝∠OEM， ∴∠DME＝∠OEM，∴OE∥DM. ∵DM⊥DE，∴OE⊥DE.
∵OE 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线． (2)如图，连接EN ，
∵DM⊥DE，MN 为⊙O 的直径， ∴∠MDE＝∠MEN＝90°， ∵∠NME＝∠DME， ∴△MDE∽△MEN， ∴
ME MD ＝MN ME
， ∴ME 2
＝MD·MN.
7．(1)证明：如图，连接OD ，
∴∠ODC＝90°.
即∠ODB＋∠BDC＝90°.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
即∠ODB＋∠ADO＝90°.
∴∠BDC＝∠ADO.
∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A.
(2)解：∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，
∴DB∥EC，∴∠DCE＝∠BDC.
∵∠BDC＝∠A，∴∠A＝∠DCE.
又∵∠E＝∠E，∴△AEC∽△CED，
∴CE
DE
＝
AE
CE
，∴CE2＝DE·AE，即16＝2(2＋AD)．∴AD＝6.。