数学---江苏南京市2017届高三上学期期中试卷

江苏南京市2017届高三上学期期中试卷
一、 填空题（每题5分，计70分）
1. 命题“02,02<->∃x x ”的否定是___ ___.
3．某班委会3名男生与2名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是 .
4. 某研究性学习课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了9名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 ．
5. 在如下图所示的算法中，输出的i 的值是 ．
6. 某中学为了解学生数学课程的学习情况，从高二学生的某次数学限时训练成绩中随机抽取部分学生的考试成绩进行统计分析，得到如下的样本频率分布直方图，若在样本中成绩在[80,90]的学生有20人，则样本中成绩在[60,70)内的人数为 .
7.阅读下面的流程图,若输入a =6,b=2,则输出的结果是 ．
8.函数x x x f ln 8)(2
-=的单调递减区间为 ．
9.过抛物线y 2=ax 的焦点作直线交抛物线于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，如果x 1+ x 2=8且AB=12，则a = .
10.与椭圆
124
4922=+x y 共焦点，准线为516
±=y 的双曲线的渐近线方程为 .
12.若在区间[0，4]上任取一个数m ，则函数mx x x x f +-=2
33
)(是R 上的单调增函数的
概率是 .
13.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，)(x f '为其导函数，且0)3(=f .当0>x 时，有
0)
()(2
<-'x
x f x f x 恒成立，则不等式0)(>x xf 的解集是 ． 14.在平面直角坐标系xoy 中，直线b x y +=2是曲线x a y ln 2=的切线，则当0>a 时，实数b 的最小值是 .
第II 卷 解答题（共90分）
二、解答题（第15、16、17题每题14分，第18、19、20题每题16分，计90分）
15.命题p :实数x 满足⎩⎨⎧≥-+≤--0
820
622x x x x ,命题q :实数x 满足)0(3><<a a x a ．
(1)若2=a ，且q p ∧为真，求实数x 的取值范围； (2)若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
17．某工厂生产某种产品，每月的成本C （单位：万元）与月产量x （单位：吨）满足函数 关系式C =2+x ，每月的销售额Q （单位：万元）与月产量x 满足关系式
⎪⎩⎪⎨⎧
≥<<+-+=6
,1160,48
2x x x k x Q ，已知当月产量为2吨时，月利润为2.5万元．(其中：利润=销售额-成本) （1）求k 的值；
（2）当月产量为多少吨时，每月的利润可以达到最大，并求出最大值.
18．设函数0,ln 5)(2
≠+-=a x a x x x f . （1）若3-=a ，求)(x f 在[1,4]上的最值；
（2）若)(x f 在定义域内既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围.
19．如图，过点（3
1,2）且离心率为12的椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的左、右顶点坐标分
别为B A 、，若有一点P 在椭圆上，且异于点B A 、，直线BP AP 、与其右准线分别交于点N M 、.
(1)求该椭圆的方程；
(2)若点H 为AP 的中点，当点P 运动时,直线AP 与直线OH 斜率之积是否为定值，若是定值求出该定值，若不是定值，说明理由；
(3)当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．
20．已知函数1-)(2
3
cx bx x x f ++=在点x =0处的切线与直线x+2y-1=0垂直. (1)求实数c 的值； (2)设2
1
)()(x
x f x g +=
，若函数)(x g 在),0(+∞上没零点，求实数b 的取值范围； (3)若对任意的]2,1[∈x ，均存在]2,1(∈t ，使得x x f t et 2)(4ln -≤--，试求实数b 的取值范围.
参考答案
17．解：
（1）因为当月产量为2吨时，月利润为2.5万元，带入得k=9 ------- 6分 （2）设利润为y(万元)
当60<<x 时，48
9
2+-+
=x x y x --2
4108
9
8≤+-+
-=x x 当且仅当x=5时取等号.
当6≥x 时，39211≤-=--=x x y
又因为4>3,所以当月产量为5吨时，月利润最大为4万元
19．
解：（1）由题可求得椭圆方程为22
143
x y += ……………………………….4分 (2)设点P 为()00,x y ， 0
02
AP y k x =
+，由因为H 为AB 的中点，O 为AB 的中点，所以OM 平行于BP ，所以002OH BP
y k k x ==-，所以2
00020003
2244
AP OH y y y k k x x x ⋅=⋅==-+--. 所以直线AP 与直线OH 的斜率之积为定值3
4
-
…………………………..10分 (3)由（2）得直线AP 的方程为y=(2)AP k x +,所以点M(4,6AP k ),同理可求点N(4,2BP k ). 所以以MN 为直径的圆的方程为()2
(4)6(2)AP BP x y k y k -+--=0.由AP BP k k ⋅=3
4
-
圆方程---------------10分
------14分
可化简为22(4)9(62)0AP BP x y k k y -+--+=,令y=0,则x=1或7，
所以圆恒过定点（1,0），（7,0） ………………………………16分。