导数必会题型(含答案)

1．曲线y ＝2x －x 3在x ＝－1处的切线方程为( )
A ．x ＋y ＋2＝0
B ．x ＋y －2＝0
C ．x －y ＋2＝0
D ．x －y －2＝0
解析：∵y ＝2x －x 3
，
∴y ′＝2－3x 2
，y ′|x ＝－1＝2－3＝－1.
于是，它在点(－1，－1)处的切线方程为y ＋1＝－(x ＋1)， 即x ＋y ＋2＝0. 答案：A
2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(1)＝( )
A ．－1
B ．－2
C ．1
D ．2
解析：f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1，得f ′(1)＝2f ′(1)＋2， ∴f ′(1)＝－2. 答案：B
3．．下列图象中有一个是函数f (x )＝13
x 3＋ax 2＋(a 2
－1)x ＋1(a ∈R，a ≠0)的导函数f ′(x )
的图象，则f (－1)＝( )
图1
A.13 B ．－13 C.53 D ．－53
解析：f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2
－1)，∵a ≠0， ∴其图象为最右侧的一个．
由f ′(0)＝a 2
－1＝0，得a ＝±1. 由导函数f ′(x )的图象可知，a <0，
故a ＝－1，f (－1)＝－13－1＋1＝－1
3
.
答案：B
4．当a ＞1时，函数y=log a x 和y=(1-a)x 的图像只可能是( )
答案：B
5.函数f(x)=log 3
1 (5-4x-x 2
)的单调减区间为( )
A.(-∞，-2)
B.［-2，+∞］
C.(-5，-2)
D.［-2，1］
答案;C
6. a=log 0.50.6，b=log
20.5，c=log
3
5，则( )
A.a ＜b ＜c
B.b ＜a ＜c
C.a ＜c ＜b
D.c ＜a ＜b
答案;B
7．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________．
解析：设P (x 0，y 0)(x 0<0)，由题意知：y ′|0
x x ＝＝3x 2
0－10＝2，
∴x 20
＝4. ∴x 0＝－2，y 0＝15. ∴P 点的坐标为(－2,15)． 答案：(－2,15)
8．函数y ＝－1
2x
2－ln x 的递增区间是________．
解析：∵y ′＝1x 3－1x ＝1－x
2
x
3，定义域为(0，＋∞)，当x ∈(0,1)，y ′>0.∴函数的递增
区间为(0,1)．
答案：(0,1)
9、已知函数x ax x x f 3)(23--=．若)(x f 在∈x [1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围
解：0323)(2
>--='ax x x f ．∵ x ≥1． ∴ )1(23x
x a -<
， 当x ≥1时，
)1
(23x
x -是增函数，其最小值为
0)11(2
3
=-．∴ a ＜0（a ＝0时也符合题意）． ∴ a ≤0．
10．已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f （e ）=2（e=2．71828…是自然
对数的底数）。

（I ）求实数b 的值；
（II ）求函数f （x ）的单调区间；
解：（I ）由()22,f e b ==得
（II ）由（I ）可得()2ln .f x ax ax x =-++ 从而'()ln .f x a x =
0a ≠因为，故：
（1）当0,a >时由f'(x)>0得x>1,由f'(x)<0得0<x<1; （2）当0,'()001,'()0 1.a f x x f x x <><<<>时由得由得 综上，当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞， 单调递减区间为（0，1）；
当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为（0，1）， 单调递减区间为(1,)+∞。

11．已知函数32()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈．
（Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间；
（Ⅰ）解：当1t =时，322()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+-
(0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =-
（Ⅱ）解：22()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2
t x t x =-=或
因为0t ≠，以下分两种情况讨论：
（1）若0,,t
t t x <<-则
当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：
所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ⎛
⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭的单调递减区间是,2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭。

（2）若0,t
t t >-<
则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：
所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t
t f x ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭的单调递减区间是,.2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭
12. 函数21
()ln ,()(0)2
f x x
g x ax bx a ==+≠ 若2,()()()a
h x f x g x =-=-时函数在
其定义域内是增函数，求b 的取值范围
解:2()
ln ,()(0,)h x x x bx h x =+-+∞ 且函数定义域为 知
1
()20(0,)h x x b x x '=
+-≥∈+∞对恒成立，11
2,0,2b x x x x x
∴≤+>∴+≥ ，
b ∴≤13. 设函数f (x ) ＝ x 2＋bln(x ＋1),若对定义域的任意x ，都有f (x )≥f (1)成立，求实
数b 的值
解：（1）由x + 1＞0得x ＞ – 1∴f(x)的定义域为( - 1，+ ∞),对x ∈( - 1，+ ∞),都有f(x)≥f(1)，∴f(1)是函数f(x)的最小值，故有f /
(1) = 0,
,02
2,12)(/=+∴++
=b
x b x x f 解得b= - 4。