凸函数的几个定义及关系

凸函数的几个定义及关系
摘要：凸函数是一重要的概念，它在许多学科里有重要的应用，在研究生入学试题中，也时有涉及.本文主要是概述凸函数的几种不同的定义及它们的关系.
关键词：凸函数；严格凸函数；等价
1.凸函数几种不同的定义
定义1.1.1（凸函数）设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x1，x2和任意实数λ∈（0，1），总有
f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2）（1.1）
则称f为I上的凸函数.
如果（1.1）中不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数[1].
现代数学多数采用这种定义，除此之外，还有其他形式的定义.
定义1.1.2f（x）在区间I上有定义，f（x）称为I上的凸函数，当且仅当：x1，x2∈I，有
fx1+x22≤f（x1）+f（x2）2（1.2）
如果（1.2）式中不等式改成严格不等式便是严格凸函数[2].
定义1.1.3f（x）在区间I上有定义，f（x）称为是凸函数，当且仅当x1，x2，……，xn∈I有
fx1+x2+……xnn≤f（x1）+f（x2）+……+f（xn）n（1.3）
如果（1.3）式中不等式改成严格不等式便是严格凸函数的定义[2].
定义1.1.4f（x）在区间I上有定义，当且仅当曲线y=f（x）的切线恒保持在曲线以下，则称f（x）为凸函数.若除切点之外，切线严格保持在去线的下方，则称f（x）为严格凸函数[3].
2.几个定义的关系
定理2.1.1定义1.1.2与定义1.1.3等价
证明1.定义1.1.2定义1.1.3
这里采用反向归纳法，其要点是：（1）证明命题对于自然数的某个子序列成立；（2）证明命题当n=k+1成立时，必对n=k也成立.
1由式（1.2）知式（1.3）当n=2时成立，现证n=4时式（1.3）成立
事实上，x1，x2，x3，x4∈I，由式（1.2），我们有
fx1+x2+x3+x44=x1+x22+x3+x422
≤fx1+x22）+f（x3+x422
≤f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）4
此即式（1.3）对n=4成立，一般来说，对任一自然数k，重复上面方法，应用（1.2）式k次，可知
fx1+x2+……+x2k2k≤f（x1）+f（x2）+……+f（x2k）2k
这说明式（1.3）对一切n=2k皆成立.
2[证明式（1.3）对n=k+1成立时，必对n=k也成立]记
A=x1+x2+……+xkk，则x1+x2+……+xk=kA，所以
A=x1+x2+……+xk+Ak+1
由式（1.3）对n=k+1成立，故
f（A）=fx1+x2+……+xk+Ak+1≤f（x1）+f（x2）+……+f（xk）+f（A）
k+1
不等式两边同乘以k+1，减去f（A），最后除以k，我们可以得到
fx1+x2+……+xkk≤f（x1）+f（x2）+……+f（xk）k
此式表示（1.3）对n=k成立.
1.定义1.1.3定义1.1.2显然
定理2.1.2若f（x）连续，则定义1.1.1、1.1.2、1.1.3等价
证明1（定义1.1.1定义1.1.2、1.1.3）在定义1中令λ=12，则由
式（1.1）得fx1+x22=f[λx1+（1-λ）x2]
≤λf（x1）+（1-λ）f（x2）
=f（x1）+f（x2）2（x1，x2∈I）
此式表明（1.2）式成立，所以定义1.1.1蕴涵定义1.1.2，而定义1.1.2、1.1.3等价，故定义1.1.1也蕴涵定义1.1.3
2（定义1.1.2、1.1.3定义1.1.1）设x1，x2∈I为任意两点，为了
证明式（1.1）对于任意实数λ∈（0，1）成立，我们先来证明：式
（1.1）当λ为有理数时则λ=mn∈（0，1），（m
f[λx1+（1-λ）x2]=fmnx1+1-mnx2
=fmx1+（n-m）x2n
=fx1+x1+…+x1mn+x2+x2+…x2n-mn、
≤f（x1）+f（x1）+…f（x1）mn+f（x2）+f（x2）+…+f（x2）n-mn =mf（x1）+（n-m）f（x2）n
=λf（x1）+（1-λ）f（x2）
λ为有理数的情况获证.
若λ∈（0，1）为无理数，则存在有理数λn∈（0，1），（n=1，2，…）使得λn→λ（当n→∞时）
从而由f（x）的连续性
f[λx1+（1-λ）x2]=f{limn→∞[λnx1+（1-λn）x2]}
=limn→∞f[λnx1+（1-λn）f（x2）]
对于有理数λn∈（0，1），（n=1，2，…），上面已证明有
f[λnx1+（1-λn）x2]≤λnf（x1）+（1-λn）f（x2）
f[λx1+（1-λ）x2]≤λf（x1）+（1-λ）f（x2）
即式（1.1）对任意无理数也成立λ∈（0，1）也成立.
这就证明了定义1.1.2、1.1.3蕴涵定义1.1.1.
注上述证明里可以看到从定义1.1.1定义1.1.2、1.1.3无需连续性，定义1.1.2、1.1.3定
义1.1.1才需要连续性，可见定义1.1.1强于定义1.1.2、1.1.3.。