【标准】高中数学第二章解析几何初步学业分层测评22圆与圆的位置关系北师大版必修2

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【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第二章解析几何初步学业分层测评22 圆与圆的位置关系北师大版必修2
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．圆O1：x2＋y2＋2x＋4y＋3＝0与圆O2：x2＋y2－4x－2y－3＝0的位置关系是( ) A．内切B．外切
C．相交D．相离
【解析】圆O1：(x＋1)2＋(y＋2)2＝2，圆O2：(x－2)2＋(y－1)2＝8，∴|O1O2|＝＝3＝r1＋r2.
【答案】 B
2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的笔直平分线的方程为( )
A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
【解析】圆x2＋y2－2x－5＝0化为标准方程是(x－1)2＋y2＝6，其圆心是(1,0)；圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0化为标准方程是(x＋1)2＋(y－2)2＝9，其圆心是(－1,2)．线段AB 的笔直平分线就是过两圆圆心的直线，验证可得A正确．
【答案】 A
3．圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0公共弦长为( )
A. B.
C．2 D．2
【解析】x2＋y2＝50与x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x＋y－15＝0，圆x2＋y2＝50的圆心(0,0)到2x＋y－15＝0的距离d＝3，因此，公共弦长为2＝2.
【答案】 C
4．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为( ) A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x±4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x±4)2＋(y－6)2＝36
【解析】设圆心坐标为(a，b)，∵半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2
＝1内切，结合图形(图略)可得b＝6，又两圆内切，则两圆圆心的距离为半径之差，＝5解得a＝±4，故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.
【答案】 D
5．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A．(x－5)2＋(y－7)2＝25
B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C．(x－5)2＋(y－7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
【解析】设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则＝4－1，
∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.
【答案】 D
二、填空题
6．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为________．
【解析】由
得或
【答案】(－1,0)和(0，－1)
7．已知两圆相交于两点A(1,3)和B(m,1)，且两圆的圆心都在直线x－y＋＝0上，则m ＋c的值是________．
【解析】由条件知，两点A(1,3)和B(m,1)的笔直平分线方程就是直线x－y＋＝0，∴AB的中点在直线x－y＋＝0上，
即－2＋＝0，
即m＋c＝3.
【答案】 3
8．已知圆O的方程是x2＋y2－2＝0，圆O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0.由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________．
【解析】圆O的圆心为O(0,0)，半径r＝；⊙O′的圆心为O′(4,0)，半径r′＝.设点P(x，y)，由切线长(用勾股定理表示切线长)相等得x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6，即x＝，这就是动点P的轨迹方程．
【答案】x＝
三、解答题
9．求圆心为(2,1)且与已知圆x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线经过点(5，－2)的圆的方程．
【解】 设所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r2，
即x2＋y2－4x －2y ＋5－r2＝0
①， 已知圆的方程为x 2＋y 2－3x ＝0 ②，
②－①得公共弦所在直线的方程为x ＋2y －5＋r 2＝0，又此直线经过点(5，－2)，∴5
－4－5＋r 2＝0，∴r 2＝4，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.
10．求过两圆x 2＋y 2－4＝0和x 2－4x ＋y 2＝0的交点，且圆心在直线x －3y －6＝0上的圆的方程.
【导学号：】
【解】 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＝0，
得⎩⎨⎧ x ＝1，
y ＝3或⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝－3，
因为点(1, 3)和(1，－3)都在直线x ＝1上，
故过这两个点的圆的圆心在x 轴上，
又圆心在直线x －3y －6＝0上，
∴圆心为(6,0)，半径r ＝6－12＋32＝28， ∴圆的方程为(x －6)2＋y 2＝28.
法二：设所求圆的方程为：
x 2＋y 2－4＋λ(x 2＋y 2－4x )＝0(λ≠－1)．
整理得：x 2＋y 2－4λ1＋λx －41＋λ
＝0， ∵圆心⎝
⎛⎭⎪⎫2λ1＋λ，0在直线x －3y －6＝0上， ∴2λ1＋λ
－6＝0， 解得λ＝－32
， ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－12x ＋8＝0.
[能力提升]
1．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是( )
A ．5
B ．1
C ．35－5
D ．35＋5 【解析】 圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0，即(x －4)2＋(y －2)2＝9，圆心为C 1(4,2)；
圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，两圆相离，|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝35－5.
【答案】 C
2．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝( ) A．4 B．4 2
C．8 D．8 2
【解析】∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，
∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．
设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，
则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，
即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，
整理得x2－10x＋17＝0，
∴a＋b＝10，ab＝17，
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，
∴|C1C2|＝a－b2＋a－b2＝32×2＝8.
【答案】 C
3．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．
【解析】
曲线化为(x－6)2＋(y－6)2＝18，其圆心C1(6,6)到直线x＋y－2＝0的距离为d＝|6＋6－2|
2
＝5 2.过点C1且垂直于x＋y－2＝0的直线为y－6＝x－6，即y＝x，所以所求的
最小圆的圆心C2在直线y＝x上，如图所示，圆心C2到直线x＋y－2＝0的距离为52－32
2
＝2，则圆C2的半径长为 2.设C2的坐标为(x0，y0)，则|x0＋y0－2|
2
＝2，解得x0＝2(x0
＝0舍去)，所以圆心坐标为(2,2)，所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.
【答案】(x－2)2＋(y－2)2＝2
4．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4.
(1)若直线l1过定点A(1,0)，且与圆C相切，求l1的方程；
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x＋y－2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程．
【解】(1)①若直线l1的斜率不存在，即直线是x＝1，符合题意；②若直线l1的斜率存在，
设直线l1为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.
由题意知，圆心(3,4)到已知直线l 1的距离等于半径2，即|3k －4－k |k 2＋1
＝2，解得k ＝34，即直线是3x －4y －3＝0.
综上，所求直线l 1的方程为x ＝1或3x －4y －3＝0.
(2)依题意，设D (a,2－a )，
又已知圆C 的圆心(3,4)，r ＝2，
由两圆外切，可知|CD |＝5，
∴ a －32＋2－a －42＝5，
解得a ＝3或a ＝－2，∴D (3，－1)或D (－2,4)，
∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝9或(x ＋2)2＋(y －4)2
＝9.
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