物理解题方法：微元法习题一轮复习含答案解析

物理解题方法：微元法习题一轮复习含答案解析
一、高中物理解题方法：微元法
1．如图所示，某个力F ＝10 N 作用在半径为R ＝1 m 的转盘的边缘上，力F 的大小保持不变，但方向保持在任何时刻均与作用点的切线一致，则转动一周这个力F 做的总功为（ ）
A ．0
B ．20π J
C ．10 J
D ．10π J
【答案】B
【解析】 本题中力F 的大小不变，但方向时刻都在变化，属于变力做功问题，可以考虑把圆周分割为很多的小段来研究.当各小段的弧长足够小时，可以认为力的方向与弧长代表的位移方向一致，故所求的总功为W ＝F ·Δs 1＋F ·Δs 2＋F ·Δs 3＋…＝F (Δs 1＋Δs 2＋Δs 3＋…）＝F ·2πR ＝20πJ ，选项B 符合题意.故答案为B ．
【点睛】本题应注意，力虽然是变力，但是由于力一直与速度方向相同，故可以直接由W =FL 求出．
2．如图所示，两条光滑足够长的金属导轨，平行置于匀强磁场中，轨道间距0.8m L =，两端各接一个电阻组成闭合回路，已知18ΩR =,22ΩR =，磁感应强度0.5T B =，方向与导轨平面垂直向下，导轨上有一根电阻0.4Ωr =的直导体ab ，杆ab 以05m /s v =的初速度向左滑行，求：
（1）此时杆ab 上感应电动势的大小，哪端电势高？
（2）此时ab 两端的电势差。

（3）此时1R 上的电流强度多大？
（4）若直到杆ab 停下时1R 上通过的电量0.02C q =，杆ab 向左滑行的距离x 。

【答案】（1）杆ab 上感应电动势为2V ，a 点的电势高于b 点；（2）ab 两端的电势差为
1.6V （3）通过R 1的电流为0.2A ；（4）0.5m x =。

【解析】
【详解】
（1）ab 棒切割产生的感应电动势为
0.50.85V 2V E BLv
根据右手定则知，电流从b 流向a ，ab 棒为等效电源，可知a 点的电势高于b 点； （2）电路中的总电阻
12
12820.4282R R R r R R ΩΩ＝＝＝
则电路中的总电流
2A 1A 2
E I R ＝＝ 所以ab 两端的电势差为 ab 210.4V 1.6V U E
Ir （3）通过R 1的电流为
11 1.6A 0.2A 8
ab U I R ＝＝＝ （4）由题意知，流过电阻1R 和2R 的电量之比等于电流之比，则有流过ab 棒的电荷量
1110.20.020.020.1C 0.2
I I q q q I --=+
=+⨯=总 ab 棒应用动量定理有： -BIL t m v ∆=∆或-BLv B
L t m v R ∆=∆ 两边求和得：
BLq mv =总或22B L x mv R
= 以上两式整理得：
q R x BL
=
总 代入数据解得： 0.5m x =
3．对于同一物理问题，常常可以从宏观与微观两个不同角度进行研究，找出其内在联系，从而更加深刻地理解其物理本质．在正方体密闭容器中有大量某种气体的分子，每个分子质量为m ，单位体积内分子数量n 为恒量．为简化问题，我们假定：分子大小可以忽略；分子速率均为v ，且与器壁各面碰撞的机会均等；分子与器壁碰撞前后瞬间，速度方向都与器壁垂直，且速率不变．
（1）求一个气体分子与器壁碰撞一次给器壁的冲量I 的大小；
（2）每个分子与器壁各面碰撞的机会均等，则正方体的每个面有六分之一的几率．请计算在Δt 时间内，与面积为S 的器壁发生碰撞的分子个数N ；
（3）大量气体分子对容器壁持续频繁地撞击就形成了气体的压强．对在Δt 时间内，与面积为S 的器壁发生碰撞的分子进行分析，结合第（1）（2）两问的结论，推导出气体分子对器壁的压强p 与m 、n 和v 的关系式．
【答案】（1）2I mv =（2） 1.6N n Sv t =
∆ （3）213
nmv 【解析】
（1）以气体分子为研究对象，以分子碰撞器壁时的速度方向为正方向
根据动量定理 2I mv mv mv -=--=-'
由牛顿第三定律可知，分子受到的冲量与分子给器壁的冲量大小相等方向相反 所以，一个分子与器壁碰撞一次给器壁的冲量为 2I mv =；
（2）如图所示，以器壁的面积S 为底，以vΔt 为高构成柱体，由题设条件可知，柱体内的分子在Δt 时间内有1/6与器壁S 发生碰撞，碰撞分子总数为
16
N n Sv t =⋅∆ （3）在Δt 时间内，设N 个分子对面积为S 的器壁产生的作用力为F
N 个分子对器壁产生的冲量 F t NI ∆=
根据压强的定义 F p S
= 解得气体分子对器壁的压强 213
p nmv = 点睛：根据动量定理和牛顿第三定律求解一个分子与器壁碰撞一次给器壁的冲量；以Δt 时间内分子前进的距离为高构成柱体，柱体内1/6的分子撞击柱体的一个面，求出碰撞分子总数；根据动量定理求出对面积为S 的器壁产生的撞击力，根据压强的定义求出压强；
4．同一个物理问题，常常可以宏观和微观两个不同角度流行研究，找出其内在联系，从而更加深刻地汇理解其物理本质.
(1)如图所示，正方体密闭容器中有大量运动粒子，每个粒子质量为m ，单位体积内粒子数量n 为恒量．为简化问题，我们假定：粒子大小可以忽略；其速率均为V ，且与器壁各面碰撞的机会均等，与器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与器壁垂直，且速率不变．利用所学力学知识．
a.求一个粒子与器壁碰撞一次受到的冲量大小I ；
b.导出器壁单位面积所受的大量粒子的撞击压力f 与m 、n 和v 的关系．(注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明)
(2)热爱思考的小新同学阅读教科书《选修3-3》第八章，看到了“温度是分子平均动能的标志，即a T aE =，(注：其中，a 为物理常量，a E 为分子热运动的平均平动动能)”的内容，他进行了一番探究，查阅资料得知：
第一，理想气体的分子可视为质点，分子间除了相互碰撞外，无相互作用力； 第二，一定质量的理想气体，其压碰P 与热力学温度T 的关系为0P n kT =，式中0n 为单位体积内气体的分子数，k 为常数.
请根据上述信息并结合第(1)问的信息帮助小新证明，a T aE =，并求出a ；
(3)物理学中有些运动可以在三维空间进行，容器边长为L ；而在某些情况下，有些运动被限制在平面(二维空间)进行，有些运动被限制在直线(一维空间)进行．大量的粒子在二维空间和一维空间的运动，与大量的粒子在三维空间中的运动在力学性质上有很多相似性，但也有不同．物理学有时将高维度问题采用相应规划或方法转化为低纬度问题处理．有时也将低纬度问题的处理方法和结论推广到高维度．我们在曲线运动、力、动量等的学习中常见的利用注意分解解决平面力学问题的思维，本质上就是将二维问题变为一维问题处理的解题思路．
若大量的粒子被限制在一个正方形容器内，容器边长为L ，每个粒子的质量为m ，单位面积内的粒子的数量0n 为恒量，为简化问题，我们简化粒子大小可以忽略，粒子之间出碰撞外没有作用力，气速率均为v ，且与器壁各边碰撞的机会均等，与容器边缘碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与容器边垂直，且速率不变.
a.请写出这种情况下粒子对正方形容器边单位长度上的力0f (不必推导)；
B ．这种情况下证还会有a T E ∝的关系吗?给出关系需要说明理由．
【答案】（1）a.2mv b. 22f nmv =（2）证明过程见解析；4a k =
（3）20012
f n mv ＝ ；关系不再成立．
【解析】
【分析】
【详解】
（1）a.一个粒子与器壁碰撞一次由动量定理：()2I mv mv mv =--=；
b.在∆t 时间内打到器壁单位面积的粒子数：N nv t =∆
由动量定理：f t NI ∆=
解得22f nmv =
（2）因单位面积上受到的分子的作用力即为气体的压强，则由（1）可知202p n mv = 根据P 与热力学温度T 的关系为P =n 0 kT ，
则2002=n v n m kT ， 即224=a a T mv E aE k k
== 其中4a k = （3）考虑单位长度，∆t 时间内能达到容器壁的粒子数 1×v ∆tn 0， 其中粒子有均等的概率与容器各面相碰，即可能达到目标区域的粒子数为014
v tn ∆ 由动量定理可得：()02
0012142
n v t mv p f n mv t t ∆∆∆∆＝＝＝ 此时因f 0是单位长度的受力，则f 0的大小不再是压强，则不会有a T E ∝关系.
5．为适应太空环境，航天员都要穿航天服．航天服有一套生命保障系统，为航天员提供合适的温度、氧气和气压，让航天员在太空中如同在地面上一样．假如在地面上航天服内气压为1atm ，气体体积为2L ，到达太空后由于外部气压低，航天服急剧膨胀，内部气体体积变为4L ，使航天服达到最大体积．若航天服内气体的温度不变，航天服视为封闭系统． ①求此时航天服内的气体压强，并从微观角度解释压强变化的原因．
②若开启航天服封闭系统向航天服内充气，使航天服内的气压变为0．9 atm ，则需补充1 atm 的等温气体多少升?
【答案】(1) P 2＝0.5 atm 航天服内，温度不变，气体分子平均动能不变，体积膨胀，单位体积内的分子数减少，单位时间撞击到单位面积上的分子数减少，故压强减小
(2) 1.6 L
【解析】
（1）对航天服内气体，开始时压强为p 1＝1atm ，体积为V 1＝2L ，到达太空后压强为p 2，气体体积为V 2＝4L ．
由玻意耳定律得：
p 1V 1＝p 2V 2
解得p 2＝0.5 atm
航天服内，温度不变，气体分子平均动能不变，体积膨胀，单位体积内的分子数减少，单位时间撞击到单位面积上的分子数减少，故压强减小
（2）设需补充1atm 气体V ′升后达到的压强为p 3＝0.9 atm ，取总气体为研究对象． p 1(V 1＋V ′)＝p 3V 2
解得V ′＝1.6 L…
综上所述本题答案是：(1) P 2＝0.5 atm 航天服内，温度不变，气体分子平均动能不变，体积膨胀，单位体积内的分子数减少，单位时间撞击到单位面积上的分子数减少，故压强减小
(2) 1.6 L
6．一定质量的理想气体经过等温过程由状态A 变为状态B ．已知气体在状态A 时压强为2×105 Pa ，体积为1m 3．在状态B 时的体积为2m 3．
(1)求状态B 时气体的压强；
(2)从微观角度解释气体由状态A 变为状态B 过程中气体压强发生变化的原因．
【答案】(1) 5B =110Pa P ⨯；(2) 气体分子的平均动能不变，气体体积变大，气体分子的密
集程度减小，气体的压强变小
【解析】
【分析】
【详解】
(1)气体由状态A 变为状态B 的过程遵从玻意耳定律，则有：A A B B P V P V =
解得状态B 的压强：5
B =110Pa P ⨯
(2)气体的压强与气体分子的平均动能和气体分子的密集程度有关，气体经过等温过程由状态A 变化为状态B ，气体分子的平均动能不变，气体体积变大，气体分子的密集程度减小，气体的压强变小．
7．如图所示，在光滑的水平桌面上放置一根长为l 的链条，链条沿桌边挂在桌外的长度为a ，链条由静止开始释放，求链条全部离开桌面时的速度。

【答案】22()l a g v l
-=【解析】
【分析】
【详解】 链条从图示位置到全部离开桌面的过程中，原来桌面上的那段链条下降的距离为2
l a -，挂在桌边的那段链条下降的距离为l a -，设链条单位长度的质量为m '，链条总的质量为m lm '=，由机械能守恒定律得：
21()()22
l a m l a g
m ag l a lm v -'''-+-= 解 22()l a g v l
-=
点评：根据重力势能的减少量等于链条动能的增加量列方程，不需要选取参考平面。

8．对于同一物理问题，常常可以从宏观与微观两个不同角度进行研究，找出其内在联系，可以更加深刻地理解其物理本质。

（1）单个微小粒子撞击巨大物体的力是局部而短促的脉冲，但大量粒子撞击物体的平均效果是均匀而持续的力。

我们假定单位体积内粒子数量为n ，每个粒子的质量为m ，粒子运动速率均为v 。

如果所有粒子都垂直物体表面运动并与其碰撞，利用所学力学知识，导出物体表面单位面积所受粒子压力f 与m 、n 和v 的关系。

（2）实际上大量粒子运动的速率不尽相同。

如果某容器中速率处于100~200m/s 区间的粒子约占总数的10%，而速率处于700~800m/s 区间的粒子约占总数的5%，论证：上述两部分粒子，哪部分粒子对容器壁的压力f 贡献更大。

【答案】（1）2f nmv =；（2）速率处于700~800m/s 区间的粒子对容器壁的压力f 贡献更大
【解析】
【分析】
本题考查碰撞过程中的动量定理和压强与压力的公式推导
【详解】
（1）在时间t 内射入物体单位面积上的粒子数为
N nvt =
由动量定理得
Nmv ft =
可推导出
2f nmv =
（2）设炉子的总数为N 总，故速率处于 100~200m/s 区间的粒子数
n 1=N 总×10%
它对物体表面单位面积的压力
f 1= n 1mv 12= N 总×10%×mv 12
同理可得速率处于700～800m/s 区间的粒子数
n 2=N 总×5%
它对物体表面单位面积的压力
f 2= n 2mv 22= N 总×5%×mv 22
故
22
1122
2210%10150==5%57510N mv f f N mv ⨯⨯⨯⨯⨯⨯<总总 故是速率大的粒子对容器壁的压力f 贡献更大。

9．如图所示，有两根足够长的平行光滑导轨水平放置，右侧用一小段光滑圆弧和另一对竖直光滑导轨平滑连接，导轨间距1m L =。

细金属棒ab 和cd 垂直于导轨静止放置，它们的
质量m 均为1kg ，电阻R 均为0.25Ω。

cd 棒右侧1m 处有一垂直于导轨平面向下的矩形匀强磁场区域，磁感应强度1T B =，磁场区域长为s 。

以cd 棒的初始位置为原点，向右为正方向建立坐标系。

现用向右的水平变力F 作用于ab 棒上，力随时间变化的规律为(0.51)N F t =+，作用4s 后撤去F 。

撤去F 之后ab 棒与cd 棒发生弹性碰撞，cd 棒向右运动。

金属棒与导轨始终接触良好，导轨电阻不计，空气阻力不计，重力加速度210m/s g =，求：
(1)撤去力F 的瞬间，ab 棒的速度大小；
(2)若1m s =，求cd 棒滑上右侧竖直导轨，距离水平导轨的最大高度h ；
(3)若可以通过调节磁场右边界的位置来改变s 的大小，求cd 棒最后静止时的位移x 与s 的关系。

【答案】(1)8m/s ；(2)1.8m ；(3)见解析
【解析】
【分析】
【详解】
(1)4 s 内的平均作用力
(0)(4)2N 2
F F F +=
= 由动量定理得 F t =mv 1
所以
v 1=8 m/s
(2)ab 棒与cd 棒质量相等，发生弹性碰撞后，ab 棒静止，cd 棒速度为v 1，设cd 棒离开磁场时的速度为v 2，由动量定理得
21BIL t mv mv -∆=-
2BLs q I t R
=∆=
所以 22126m/s 2B L s v v mR
=-= 上升的高度
22 1.8m 2v h g
== (3)分三种情况：如果s 足够大，cd 棒在磁场内运动的距离为d ，则
10BIL t mv -∆=-
2BLd q I t R
=∆=
即 12224m mRv d B L
== ①s ≥4m 时，cd 棒不能穿出磁场，停在磁场内，位移为
x =d +1m=5 m
②当2m ≤s <4 m 时，cd 棒穿过磁场后经竖直轨道返回，若仍没有穿过磁场，cd 棒的位移为
x =2s -d +1 m =2s -3 m
③当0<s <2 m 时，cd 棒返回后穿过磁场，与ab 棒发生弹性碰撞后静止。

cd 棒的位移为
x =0 m
10．从微观角度来看，气体压强的大小跟两个因素有关：一个是气体分子的平均动能，一个是分子的密集程度．如图所示，可以用豆粒做气体分子的模型，演示气体压强产生的机理．为了模拟演示气体压强与气体分子的平均动能的关系，应该如下操作：
________________________________________________；
为了模拟演示气体压强与气体分子密集程度的关系，应该如下操作：
________________________________________________．
【答案】将相同数量的豆粒先后从不同高度在相同时间内连续释放，使它们落在台秤上 将不同数量的豆粒先后从相同高度在相同时间内连续释放，使它们落在台秤上．
【解析】
为了模拟演示气体压强与气体分子的平均动能的关系，应控制分子的密集程度，即将相同数量的豆粒先后从不同高度在相同时间内连续释放，使它们落在台秤上；为了模拟演示气体压强与气体分子密集程度的关系，应控制分子的平均动能相同，将不同数量的豆粒先后从相同高度在相同时间内连续释放，使它们落在台秤上．。