人教B版高中数学选修1-1同步练习 第3章 3.1.2 瞬时速度与导数

3.1.2 瞬时速度与导数
学习目标 1.理解从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.2.了解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数.3.掌握函数在某一点处的导数的定义．
知识点一 瞬时变化率 1．物体运动的瞬时速度
设物体运动的路程与时间的关系是s ＝f(t),当t 0到t 0＋Δt 时,当Δt 趋近于0时,函数f(t)在t 0到t 0＋Δt 的平均变化率f (t 0＋Δt )－f (t 0)
Δt 趋近于常数,这个常数称为t 0时刻的瞬时速度．
2．函数的瞬时变化率
设函数y ＝f(x)在x 0附近有定义,当自变量在x ＝x 0附近改变Δx 时,函数值相应地改变Δy＝f(x 0＋Δx)－f(x 0),如果当Δx 趋近于0时,平均变化率f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx 趋近于一个常数l,则常数l 称为函数f(x)在点
x 0的瞬时变化率． 知识点二 函数的导数 1．函数f(x)在x ＝x 0处的导数
函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数,记作f ′(x 0)或0|x x y '＝,即f ′(x 0)＝lim Δx→0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx . 2．导函数定义
如果f(x)在开区间(a,b)内每一点x 导数都存在,则称f(x)在区间(a,b)可导,这样,对开区间(a,b)内每个值x,都对应一个确定的导数f ′(x),于是在区间(a,b)内f ′(x)构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数y ＝f(x)的导函数．记为f ′(x)(或y x ′、y ′)．
3．函数y ＝f(x)在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x)在点x ＝x 0处的函数值,即f ′(x 0)＝()0|x x f x '＝.
1．函数在某一点处的导数即是函数在该点处的瞬时变化率．( √ )
2．平均变化率刻画函数在区间上的变化的快慢,瞬时变化刻画的是函数在某一点处的变化情况．( √ ) 3．f(x)在x ＝x 0处的导数就是导数f ′(x)在x ＝x 0处的函数值．( √ )
题型一 求函数在某一点处的导数 例1 求y ＝x 2
在点x ＝1处的导数．
解 Δy＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2
, Δy Δx ＝2Δx＋(Δx )2
Δx
＝2＋Δx , ∴lim Δx→0 Δy Δx ＝lim Δx→0
(2＋Δx)＝2,∴y ′|x ＝1＝2. 反思感悟 求函数y ＝f(x)在点x 0处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；
(3)取极限,得导数f ′(x 0)＝lim Δx→0 Δy
Δx . 跟踪训练1 (1)若lim Δx→0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝k, 则lim Δx→0 f (x 0＋2·Δx )－f (x 0)Δx 等于( ) A ．2k B ．k
C.12k D ．以上都不是
答案 A
解析 lim Δx→0 f (x 0＋2·Δx )－f (x 0)
Δx , ＝2lim 2Δx→0
f (x 0＋2·Δx )－f (x 0)
2·Δx
＝2k.
(2)求y ＝2x 2
＋4x 在点x ＝3处的导数．
解 Δy＝2(3＋Δx)2
＋4(3＋Δx)－(2×32
＋4×3) ＝2(Δx)2
＋16Δx ,Δy Δx ＝2Δx＋16,
lim Δx→0Δy Δx ＝lim Δx→0 (2Δx＋16)＝16, 所以y ′|x ＝3＝16.
题型二 求物体运动的瞬时速度
例2 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t 2
＋t ＋1表示,求物体在t ＝1 s 时的瞬时速度． 解 ∵Δs Δt ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt
＝(1＋Δt )2
＋(1＋Δt )＋1－(12
＋1＋1)Δt
＝3＋Δt ,
∴lim Δt→0 Δs
Δt ＝lim Δt→0 (3＋Δt)＝3. ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为3, 即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为3 m/s. 引申探究
1．若本例的条件不变,试求物体的初速度． 解 ∵Δs Δt ＝s (0＋Δt )－s (0)Δt
＝(0＋Δt )2
＋(0＋Δt )＋1－1Δt
＝1＋Δt ,
∴lim Δt→0 Δs
Δt ＝lim Δt→0 (1＋Δt)＝1. ∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为1, 即物体的初速度为1 m/s.
2．若本例的条件不变,试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 解 设物体在t 0时刻的瞬时速度为9 m/s, ∵
Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)
Δt
＝2t 0＋1＋Δt.
∴lim Δt→0 Δs Δt ＝lim Δt→0 (2t 0＋1＋Δt)＝2t 0＋1. 则2t 0＋1＝9,∴t 0＝4.
则物体在4 s 时的瞬时速度为9 m/s.
反思感悟 (1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本题的常见问题． (2)求运动物体瞬时速度的三个步骤
①求时间改变量Δt 和位移改变量Δs＝s(t 0＋Δt)－s(t 0)． ②求平均速度v ＝
Δs
Δt
. ③求瞬时速度,当Δt 无限趋近于0时,Δs
Δt
无限趋近于的常数v 即为瞬时速度,即v ＝s ′(t 0)．
跟踪训练2 一质点M 按运动方程s(t)＝at 2
＋1做直线运动(位移单位：m,时间单位：s),若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s,求常数a 的值．
解 质点M 在t ＝2时的瞬时速度即为函数在t ＝2处的瞬时变化率． ∵质点M 在t ＝2附近的平均变化率
Δs Δt ＝s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝a (2＋Δt )2
－4a Δt
＝4a ＋aΔt ,
∴lim Δt→0 Δs
Δt ＝4a ＝8,即a ＝2. 题型三 导数的实际意义
例3 一条水管中流出的水量y(单位：m 3
)是时间x(单位：s)的函数y ＝f(x)＝x 2
＋7x ＋15(0≤x ≤8)．计算2 s 和6 s 时,水管流量函数的导数,并说明它们的实际意义．
解 在2 s 和6 s 时,水管流量函数的导数为f ′(2)和f ′(6),当x ＝2时,Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx
＝(2＋Δx )2
＋7(2＋Δx )＋15－(22
＋7×2＋15)
Δx
＝4Δx＋(Δx )2＋7Δx Δx
＝Δx＋11,
所以f ′(2)＝lim Δx→0 Δy
Δx ＝lim Δx→0 (Δx＋11)＝11, 即在2 s 时的水流速度为11 m 3
/s. 同理可得在6 s 时的水流速度为19 m 3
/s.
在2 s 与6 s 时,水管流量函数的导数分别为11与19.它说明在2 s 时附近,水流大约以11 m 3
/s 的速度流出,
在6 s 时附近,水流大约以19 m 3
/s 的速度流出．
反思感悟 导数实质上就是瞬时变化率,它描述物体的瞬时变化,例如位移s 关于时间t 的导数就是运动物体的瞬时速度,气球体积V 关于半径r 的导数就是气球的瞬时膨胀率．
跟踪训练3 服药后,人体血液中药物的质量浓度y(单位：μg/mL)关于时间t(单位：min)的函数为y ＝f(t),假设函数y ＝f(t)在t ＝10和t ＝100处的导数分别为f ′(10)＝1.5和f ′(100)＝－0.60,试解释它们的实际意义．
解 f ′(10)＝1.5表示服药后10 min 时,血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5 μg/(mL·min)． f ′(100)＝－0.6表示服药后100 min 时,血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6 μg/(mL·min)．
1．如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2
)(s 的单位为m,t 的单位为s),那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( ) A ．－4.8 m/s B ．－0.88 m/s C ．0.88 m/s D ．4.8 m/s
答案 A
解析 物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数,利用导数的定义即可求得． 2．设函数f(x)可导,则lim Δx→0f (1＋3Δx )－f (1)
3Δx
等于( )
A ．f ′(1)
B ．3f ′(1)
C.1
3 f ′(1) D ．f ′(3)
答案 A
解析 lim Δx→0f (1＋3Δx )－f (1)
3Δx
＝f ′(1)．
3．函数f(x)在x 0处可导,则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)
h ( ) A ．与x 0,h 都有关
B ．仅与x 0有关,而与h 无关
C ．仅与h 有关,而与x 0无关
D ．与x 0,h 均无关 答案 B
4．设函数f(x)在点x 0附近有定义,且有f(x 0＋Δx)－f(x 0)＝aΔx＋b(Δx)2
(a,b 为常数),则( ) A ．f ′(x)＝a B ．f ′(x)＝b C ．f ′(x 0)＝a
D ．f ′(x 0)＝b
考点 函数在某一点处的导数 题点 根据定义求函数在某点处的导数 答案 C
解析 f ′(x 0)＝lim Δx→0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
＝lim Δx→0 (a ＋b·Δx)＝a. 5．已知函数f(x)＝a
x 在x ＝1处的导数为－2,则实数a 的值是________．
答案 2
解析 f ′(1)＝lim Δx→0 a
1＋Δx －a Δx ＝lim Δx→0 －a
1＋Δx ＝－a. 由题意知,－a ＝－2,∴a ＝2.
利用导数的定义求导数三步曲
(1)作差求函数的增量Δy＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)； (2)作比求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；
(3)取极限,得导数f ′(x 0)＝lim Δx→0 Δy
Δx . 简记为一差,二比,三极限．
一、选择题
1．一质点的运动方程为s＝5－3t2,若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6,则该质点在t＝1时的瞬时速度是( )
A．－3 B．3 C．6 D．－6
答案 D
解析由平均速度和瞬时速度的关系可知,质点在t＝1时的瞬时速度为s′＝lim
Δt→0
(－3Δt－6)＝－6. 2．设函数f(x)＝ax＋3,若f′(1)＝3,则a等于( )
A．2 B．－2 C．3 D．－3
答案 C
解析∵f′(1)＝lim
Δx→0f(1＋Δx)－f(1)
Δx
＝lim
Δx→0a(Δx＋1)＋3－(a＋3)
Δx
＝a,
又∵f′(1)＝3,∴a＝3.
3．若可导函数f(x)的图象过原点,且满足lim
Δx→0f(Δx)
Δx
＝－1,则f′(0)等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 B
解析∵f(x)的图象过原点,∴f(0)＝0,
∴f′(0)＝lim
Δx→0f(0＋Δx)－f(0)
Δx
＝lim
Δx→0
f(Δx)
Δx
＝－1.
4．物体的运动方程是s＝－4t2＋16t,在某一时刻的速度为0,则相应时刻为( ) A．t＝1 B．t＝2 C．t＝3 D．t＝4
答案 B
解析设在t0时刻速度为0,
∵s′(t0)＝lim
Δt→0s(t0＋Δt)－s(t0)
Δt
＝lim
Δt→0－4(t0＋Δt)2＋16(t0＋Δt)＋4t20－16t0
Δt
＝lim
Δt→0
(－8t0＋16－4Δt)
＝－8t0＋16＝0,
∴t0＝2.
5．已知f(x)＝x2－3x,则f′(0)等于( )
A ．Δx－3
B ．(Δx)2
－3Δx C ．－3 D ．0
答案 C
解析 f ′(0)＝lim Δx→0 f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝lim Δx→0 (Δx )2
－3Δx
Δx ＝lim Δx→0
(Δx－3)＝－3. 6．设函数y ＝f(x)在x ＝x 0处可导,且lim Δx→0 f (x 0－3Δx )－f (x 0)Δx ＝1,则f ′(x 0)等于( ) A ．1 B ．－1 C ．－13
D.1
3
答案 C
解析 因为lim Δx→0 f (x 0－3Δx )－f (x 0)
Δx ＝－lim Δx→0
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤f (x 0)－f (x 0－3Δx )3Δx ·3
＝－3f ′(x 0)＝1,所以f ′(x 0)＝－1
3
,故选C.
7．已知点P(x 0,y 0)是抛物线y ＝f(x)＝3x 2
＋6x ＋1上一点,且f ′(x 0)＝0,则点P 的坐标为( ) A ．(1,10) B ．(－1,－2) C ．(1,－2) D ．(－1,10)
答案 B 解析
Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
＝3(x 0＋Δx )2
＋6(x 0＋Δx )＋1－3x 2
0－6x 0－1Δx
＝3Δx＋6x 0＋6,
∴f ′(x 0)＝lim Δx→0 Δy
Δx ＝lim Δx→0 (3Δx＋6x 0＋6)＝6x 0＋6＝0, ∴x 0＝－1.把x 0＝－1代入y ＝3x 2
＋6x ＋1, 得y 0＝－2.
∴点P 的坐标为(－1,－2)．
二、填空题
8．已知f(3)＝2,f ′(3)＝－2,则lim x →3 2x －3f (x )x －3
＝________.
答案 8
解析 lim x →3 2x －3f (x )x －3＝lim x →3 2x －6＋6－3f (x )
x －3 ＝lim x →3[2＋6－3f (x )x －3]＝2＋3lim x →3 2－f (x )x －3 ＝2－3lim x →3 f (x )－f (3)x －3
＝2－3f ′(3)＝8. 9．对于函数y ＝1
x 2,其导数值等于函数值的点是________．
答案 ⎝
⎛⎭⎪⎫－2，14 解析 设导数值等于函数值的点是(x 0,f(x 0)), 则f ′(x 0)＝lim Δx→0
f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx
＝lim Δx→0 1(x 0＋Δx )2－1
x 2
0Δx ＝－2
x 30
. 由题意知,f ′(x 0)＝f(x 0),即－2x 30＝1x 20,
解得x 0＝－2,从而y 0＝1
4
.
所以导数值等于函数值的点是⎝
⎛⎭⎪⎫－2，14. 10.如图所示,水波的半径以 1 m/s 的速度向外扩张,当半径为 5 m 时,则水波面的圆面积的膨胀率是________．
答案 10π
解析 Δs Δr ＝lim Δr→0 π(5＋Δr )2
－25π
Δr ＝lim Δr→0 (10π＋πΔr)＝10π. 11．已知函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数为11,则lim Δx→0f (x 0－2Δx )－f (x 0)
Δx
＝________.
答案 －22
解析 lim Δx→0 f (x 0－2Δx )－f (x 0)Δx ＝－2lim Δx→0 f (x 0－2Δx )－f (x 0)－2Δx ＝－2f ′(x 0)＝－22.
三、解答题
12．某一运动物体,在x(s)时离出发点的距离(单位：m)是f(x)＝23x 3＋x 2
＋2x.
(1)求在第1 s 内的平均速度； (2)求在1 s 末的瞬时速度；
(3)经过多长时间该物体的运动速度达到14 m/s? 解 (1)物体在第1 s 内的平均变化率(即平均速度)为f (1)－f (0)1－0＝11
3
m/s.
(2)Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx
＝23(1＋Δx )3＋(1＋Δx )2
＋2(1＋Δx )－113Δx
＝6＋3Δx＋23(Δx)2
.
当Δx→0时,Δy
Δx
→6,
所以物体在1 s 末的瞬时速度为6 m/s. (3)Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx
＝23(x ＋Δx )3＋(x ＋Δx )2
＋2(x ＋Δx )－⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3＋x 2＋2x Δx
＝2x 2＋2x ＋2＋23(Δx)2
＋2x·Δx＋Δx.
当Δx→0时,Δy Δx
→2x 2
＋2x ＋2,
令2x 2
＋2x ＋2＝14,解得x ＝2或x ＝－3(舍), 即经过2 s 该物体的运动速度达到14 m/s.
13．已知f(x)＝x 2
,g(x)＝x 3
,求适合f ′(x 0)＋2＝g ′(x 0)的x 0的值． 解 由导数的定义知,
f ′(x 0)＝lim Δx→0(x 0＋Δx )2
－x 2
Δx ＝2x 0, g ′(x 0)＝lim Δx→0(x 0＋Δx )3
－x 3
0Δx ＝3x 20. 因为f ′(x 0)＋2＝g ′(x 0), 所以2x 0＋2＝3x 2
0, 即3x 2
0－2x 0－2＝0,
解得x 0＝1－73或x 0＝1＋7
3
.
14．已知函数f(x)＝1x
,则f ′(1)等于( )
A ．－1
2
B ．1
C ．2 D.13
答案 A
解析 f ′(1)＝lim Δx→0 f (1＋Δx )－f (1)
Δx ＝lim Δx→0 1
1＋Δx －1Δx ＝lim Δx→0
－1
1＋Δx (1＋1＋Δx )
＝－1
2.
15．建造一栋面积为x m 2
的房屋需要成本y 万元,y 是x 的函数,y ＝f(x)＝x 10＋x 10＋0.3,求f ′(100),并
解释它的实际意义． 解
Δy Δx ＝f (100＋Δx )－f (100)Δx
＝100＋Δx＋100＋Δx＋3－(100＋100＋3)
10Δx
＝
110＋100＋Δx－1010Δx ＝110＋110(100＋Δx＋10)
, 所以当x ＝100时,
lim Δx→0Δy Δx ＝lim Δx→0⎣⎢⎡⎦⎥⎤110＋110(100＋Δx＋10) ＝0.105 (万元/m 2
), 即f ′(100)＝0.105.
f ′(100)＝0.105表示当建筑面积为100 m 2
时,成本增加的速度为1 050元/m 2
,也就是说当建筑面积为100 m 2
时,每增加1 m 2
的建筑面积,成本就要增加1 050元．。