高考数学压轴专题最新备战高考《复数》专项训练及答案

【最新】数学复习题《复数》专题解析
一、选择题
1．“1x >”是“复数2(1)()z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据充分必要条件的定义结合复数与复平面内点的对应关系，从而得到答案．
【详解】 若复数()()2
1z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限，则20,10x x x ⎧->⎨->⎩ 解得1x >，故“1x >”是“复数()()2
1z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的充要条件.
故选C.
【点睛】
本题考查了充分必要条件，考查了复数的与复平面内点的对应关系，是一道基础题．
2．已知i 是虚数单位，则
31i i +-=（ ） A ．1-2i
B ．2-i
C ．2+i
D ．1+2i 【答案】D
【解析】 试题分析：根据题意，由于
33124121112
i i i i i i i i ++++=⨯==+--+，故可知选D. 考点：复数的运算
点评：主要是考查了复数的除法运算，属于基础题．
3．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( )
A
B C ．2 D ．3
【答案】A
【解析】 ()
11z i i i =-=+，故z = A.
4．a 为正实数，i 为虚数单位，
2a i i +=，则a=（ ） A ．2
B
C
D ．1
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
||220,a i a a a i
+==∴=>∴=Q ，选B.
5．
若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）
A ．2,3b c ==
B ．2,1b c ==-
C ．2,1b c =-=-
D ．2,3b c =-=
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b
的方程组100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩
，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项 【详解】
由题意
1是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0
∴
﹣2+
b bi +
c ＝0
，即()
10b c i -+++=
∴100
b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ．
【点睛】
本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题
6．若43i z =+，则z z
=（ ） A ．1
B ．1-
C ．4355i +
D ．4355
i - 【答案】D
【解析】
【详解】
由题意可得 ：5z ==，且：43z i =-， 据此有：4343555
z i i z -==-. 本题选择D 选项.
7．复数z 满足()1|1|z i i +=-，则复数z 在复平面内的对应点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则，化简z =
-，再结合复数的几何表示方法，即可求解. 【详解】
由题意，复数z 满足()1|1|z i i +=-，可得)()()1|1|11122
i i z i i i --===-++-，
则复数z 在复平面内对应的点为位于第四象限. 故选：D .
【点睛】
本题主要考查了复数的几何表示方法，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
8．已知复数122z =-
-，则z z +=（ ）
A ．12--
B ．12-+
C ．12+
D ．12- 【答案】C
【解析】
分析：首先根据题中所给的复数z ，可以求得其共轭复数，并且可以求出复数的模，代入
求得122
z z i +=+，从而求得结果.
详解：根据12z =-，可得12z =-+，且1z ==，所以有
11122z z +=-++=+，故选C.
点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的共轭复数、复数的模、以及复数的加法运算，属于基础题目.
9．复数11i
+的共轭复数是 （ ） A ．1122i + B ．1122
i - C ．1i - D ．1i +
【答案】A
【解析】
【分析】 利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数
11i +，进而可得结果.
【详解】 因为()()1111212
11i i i i i -+--==+， 所以
11i
+的共轭复数是1122i +， 故选：A.
【点睛】 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
10．设3i z i +=
，i 是虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．1
B ．-1
C ．3
D ．-3 【答案】D
【解析】
因为z=3i i
+13i =-∴z 的虚部为-3，选D. 11．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若231z i i
=+-，则4z i +=（ ）
A ．6
B ．50
C ．
D 【答案】C
【解析】
【分析】
计算5z i =-，再代入计算得到答案.
【详解】
由231z i i
=+-，得()()2315z i i i =+-=-，则45455z i i i i +=++=+= 故选：C ．
【点睛】
本题考查了复数运算，共轭复数，复数的模，意在考查学生对于复数知识的综合应用.
12．已知复数z 满足21zi z i +=-，则z =
A ．12i +
B ．12i -
C ．1i +
D ．1i -
【答案】C
【解析】
【分析】
设出复数z ，根据复数相等求得结果.
【详解】
设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 故()()()()22221zi z a bi i a bi b a a b i i +=++-=-++-=-， 故2121b a a b -+=⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩
. 所以1z i =+.
故选：C .
【点睛】
本题考查复数的运算，共轭复数的求解，属综合基础题.
13．复数
1122i i ++的虚部为（ ） A ．110 B ．110- C ．310 D ．310
- 【答案】A
【解析】
【分析】 化简复数
111122510
i i i +=++，结合复数的概念，即可求解复数的虚部，得到答案，. 【详解】 由题意，复数()()1121112212122510
i i i i i i i -+=+=+++-，
所以复数
1122
i i ++的虚部为110. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了复数的运算法则，以及复数的概念，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
14．若复数
()21a i a R i -∈+为纯虚数，则3ai -=（ ）
A B ．13 C ．10 D
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意首先求得实数a 的值，然后求解3ai -即可．
【详解】
由复数的运算法则有： 2(2)(1)221(1)(1)22
a i a i i a a i i i i ++-+-==+++-, 复数()21a i a R i -∈+为纯虚数，则2020a a +=⎧⎨-≠⎩
，
即2,|3|a ai =--=
本题选择A 选项.
【点睛】
复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.
15．设复数4273i z i -=
-，则复数z 的虚部为（ ） A ．1729- B ．1729 C ．129- D ．129
【答案】C
【解析】
【分析】 根据复数运算法则求解1712929z i =
-，即可得到其虚部. 【详解】 依题意，()()()()427342281214634217173737358582929
i i i i i i z i i i i -+-+-+-=====---+
故复数z 的虚部为129
-
故选：C
【点睛】 此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握运算法则，准确计算，正确辨析虚部的概念.
16．已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
【答案】C
【解析】
【分析】
运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.
【详解】
对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i ,2z ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;
对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个.
故选C
【点睛】
本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.
17．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在
24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v （ ）
A ．-16
B ．0
C ．16
D ．32 【答案】B
【解析】
【分析】 先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r ，再利用平面向量的数量积求解.
【详解】
∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是2
4y x =与y x =-的交点.
由24y x y x
⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r ，
∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r .
故选B
【点睛】
本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18．已知方程()()2
440x i x ai a R ++++=∈有实根b ，且z a bi =+，则复数z 等于（ ）
A ．22i -
B ．22i +
C ．22i -+
D ．22i --
【答案】A
【解析】
【详解】
由b 是方程()()2440x i x ai a R ++++=∈的根可得()2440b i b ai ++++=, 整理可得：()()
2440b a i b b ++++=， 所以20440b a b b +=⎧⎨++=⎩，解得22
a b =⎧⎨=-⎩，所以22z i =-，故选A . 19．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z
=( ) A ．i
B ．i -
C ．2i
D ．2i - 【答案】A
【解析】 因为复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，所以()1010m m m ⎧-=⎨-≠⎩
，则m =0，所以z i =-，则11i z i
==-. 20．已知i 是虚数单位，则2331i i i -⎛⎫-= ⎪+⎝⎭
（ ） A ．32i --
B ．33i --
C ．24i -+
D ．22i --
【答案】B
【解析】
【分析】
根据虚数单位i 的性质以及复数的基本运算法则，直接计算化简．
【详解】
()()()2
2231i 3i 3i i i 12i i 33i 1i 2轾--骣-÷犏ç-=+=-+=--÷ç÷犏ç桫+臌 故选B.
【点睛】
本题考查复数代数形式的混合运算．除法中关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，实现分母实数化．。