2009届吉林试验中学高三第六次模拟考试理

2009届吉林省实验中学高三第六次模拟考试
数学（理科）试卷
一、选择题（每小题5分，共60分） 1．已知函数()
f x =
在定义域为M ，()ln(1)g x x =+的定义域为N ，
则M ∩N =（ ） A ．{x |x ＞1}
B ．{x |x ＜1}
C ．{x |-1＜x ＜1}
D ．φ 2．设i 为虚数单位，则（1+i ）6展开式中的第三项为 （ ）
A ．30 i
B ．-15 i
C ．30
D ．-15 3．“23πθ=”是“tan 2cos()2
π
θθ=+”的
（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．若a =20.5，b =log π3，c =log 2sin 25
π
，则
（ ）
A ．a ＞b ＞c
B ．b ＞a ＞c
C ．c ＞a ＞b
D ．b ＞c ＞a
5．两个正数a 、b 的等差中项是9
2
，一个等比中项是且，a ＞b 则双曲线22221
x y a b -=的离心率为
（ ）
A ．
5
3 B C ．
54
D 6．将函数sin(2)3
y x π
=+的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12
π-
中心对称，
则向量α的坐标可能是
（ ）
A ．(,0)12
π-
B ．(,0)6
π
-
C ．(
,0)12
π
D ．(
,0)6
π
7．已知2
1()1
x f x x +⎧=⎨
+⎩
[1,0)
[0,1]
x x ∈-∈，则下列选项错误．．的是
（ ）
A ．①是(1)f x -的图象
B ．②是()f x -的图象
C ．③是(||)f x 的图象
D ．④是|()|f x 的图象 8．求2
3
(1)1y x =-+的极值为
（ ）
A ．0
B ．1
C ．-1
D ．0或1
9．10个完全相同的小球放在标有1、2、3、4号的四个不同盒子里，使每个盒子都不空的放法有（ ）种
A ．24
B ．84
C ．120
D ．96
10．设二元函数(,)f x y 的定义域为{(,)|(,)}D x y f x y =有意义，则函数
(,)ln[ln()]f x y x y x =-的定义域所表示的平面区域为
（ ）
11．在半径为r 的球内有一内接三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（ ）
A ．2πγ
B ．7
3
πγ
C ．83
πγ
D ．76
πγ
12．非零向量,OA a OB b ==若点B 关于OA 所在直线的对称点为B 1，则向量OB +1OB 为
（ ）
A ．
2
2()||a b a
a ⋅
B ．
2
()||a b a
a ⋅ C ．
2()||
a b a
a ⋅ D ．
()||
a b a
a ⋅ 二、填空题（每题5分，共20分）
13．设函数4
32()log (1)
x f x x -⎧=⎨-+⎩ (4)(4)x x ≤>且11()8f a -=，则(7)f a += 。

14．若抛物线2
()f x x ax =+与直线'()10f x y --=相切，则此切线方程为 。

15．将1，2，3填入3×3的放个中，要求每行、每列都没有重复数字，则不同的填写方法共有 种。

16．函数lg(sin cos )y x x =+的单调递减区间为 。

三、解答题（17题10分；18题、19题、20题、21题、22题各12分）
17．已知向量,2sin ),sin ,(cos ),cos ,(sin C n m B B n A A m =⋅==→
→→
→
且A ，B ，C 分别为△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角。

（Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）若sin ,sin ,sin A C B 成等比数列，且()18CA AB AC ⋅-=求c 的值。

18．某运动员射击一次所得环数X 的分布如下：
现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ
（Ⅰ）求该运动员两次都命中7环的概率； （Ⅱ）求ξ的分布列
19．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为a ，点M 在边BC 上，△AMC 1是以点M 为直角顶点的等腰直角三角形。

（Ⅰ）求证点M 为边BC 的中点； （Ⅱ）求C 到平面AMC 1的距离； （Ⅲ）求二面角M —AC 1—C 的大小。

20．已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{a n }的前n 项和为S n ，点（n ，S n ）（n ∈N *）均在函数()y f x =图像上。

（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设11,n n n n b T a a +=是数列{b n }的前n 项和，求使得20
n m
T <对所有n ∈N *都成立的最小正整数m 。

21．如图，倾斜角为a 的直线经过抛物线2
8y x =的焦点F ，且于抛物线交于A 、B 两点。

（Ⅰ）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程
（Ⅱ）若a 为锐角，作线段AB 的垂线平分m 交x 轴于点P ，证明||||cos 2FP FP a -为定值，并求此定值。

22．设函数2
()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠。

（Ⅰ）当1
2
b >
时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点
（Ⅲ）证明对任意的正整数n ，不等式23
111
ln(1)n n n +>
-都成立。