2010年上海市徐汇区九年级下学期学习能力诊断数学试卷

2009学年第二学期徐汇区初三年级数学学科
学习能力诊断卷2010.4
（时间100分钟 满分150分）
考生注意∶
1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列运算结果为2
m 的式子是（ ▲ ）
A ．6
3
m m ÷ B ．4
2
m m -⋅
C ．12
()m -
D ．42
m m -
2．据上海世博会官方网统计，截至2010年3月29日为止，上海世博会门票已实现销售约22 170 000张．将22 170 000用科学记数法表示为（ ▲ ）
A ．6
10217.2⨯ B ．6
102217.0⨯ C ．7
10217.2⨯ D ．6
1017.22⨯ 3．把不等式组20
20x x +>⎧⎨
-≤⎩
的解集表示在数轴上，正确的是（ ▲ ）
4．已知反比例函数的图象经过点(21)P -，
，则这个函数的图像位于（ ▲ ） A
．第一、三象限 B ．第二、三象限
C ．第二、四象限
D ．第三、四象限
5．如图，AB ∥DF
， AC ⊥BC 于C ，CB 的延长线与DF 交于点E ，若∠A = 20°，则∠CEF
等于（ ▲ ）
A. 110°
B. 100°
C. 80°
D. 70°
A
B
C
D
第5题
第6题
6． 一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港，行驶过程随时间变化的图像如图所示，下列结论错误．．
的是（ ▲ ） A ．轮船的速度为20千米/小时 B ．快艇的速度为
3
80
千米/小时 C ．轮船比快艇先出发2小时 D ．快艇比轮船早到2小时 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．在实数范围内分解因式：a a 43
- = __ ▲__． 8
x =的解是 ▲ ．
9．方程062
=++a x x 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 ▲ ． 10．抛物线422
+-=x x y 的顶点坐标是 ▲ ．
11．函数b kx y +=的图像如图所示，下列结论正确．．
的有 ▲
（填序号）①0>b ； ③当2<x 时，0>y ； ②0>k ； ④方程0=+b kx 的解是2=x ．
12．2008年上海城市绿化覆盖率达到了38%，人均公共绿地面积12.5米2
；到2010年年底绿化覆盖率将达到40％，人均公共绿地面积将达到15米2。

设从2008年起上海市人均公共绿化面积比上一年增长的百分率都为x ，则可列方程 ▲ ．
13．下图是同一副扑克牌中的4张扑克牌（注：Q 表示12点）的正面，将他们正面朝下洗匀后放在桌上，小明从中抽出一张，则抽到偶数的概率是___ ▲ ___．
14．如图，在□ABCD 中，已知两条对角线AC 、BD 相交于点O ，设→
→
=a BC ，→
→
=b BA ，试用
→
→b a 、的线性组合（形如y x b y a x 、,→→+为实数）表示→
OA = ▲ __．
15．如图,DE 是ABC ∆的中位线，M 是DE 的中点,那么
NBC
DMN
S S ∆∆= ▲ ．
16．如图，已知Rt △ABC 中，︒=∠90BCA ，︒=∠30B ，AB=2，若以A 为圆心，AC 为半径的
第14题
O
D
C
A
第13题
⋂CD 交AB 于D ，则⋂
CD 和线段CB 、DB 所围成图形的面积为 ▲___(结果保留π)．
17．如图，圆弧形桥拱的跨度12=AB 米，拱高4=CD 米，则圆弧形桥拱所在圆的半径为 ▲ 米．
18．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，B 、C 两点恰好重合落在AD 边上点P 处，已知︒=∠90MPN ，PM=3，PN=4，，那么矩形纸片ABCD 的面积为 __▲ ____．
三、（本大题共7题，满分78分） 19. （本题满分10分）
计算 30tan 321238)2010(2
+⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+---.
20．（本题满分10分）
解方程：
122
44212=-+-++y
y y y . 21．（本题满分10分）
上海市某中学组织全校3200名学生进行了“世博”相关知识竞赛．为了解本次知识竞赛的成绩情况，从中随机抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分），并绘制了如图的频数分布表和频数分布直方图．
3 200名学生中约有
/分
第17题
B
D
C
A
第16题
第18题 D C
B
A
N
M P
D'A'
多少名获奖？
22．（本题满分10分，每小题各5分）
如图，某中心广场灯柱AB 被钢缆CD 固定，已知CB ＝5米，且4
sin 5
DCB ∠=． (1) 求钢缆CD 的长度；
(2) 若AD ＝2米，灯的顶端E 距离A 处1.6米，且∠EAB ＝120°，则灯的顶端E 距离地面多少米？
23．（本题满分12分，每小题各6分）
在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 是边BC 上的两点，且BE ＝FC ，DE 与AF 相交于梯形ABCD 内一点O ．
(1) 求证：OE ＝OF ；
(2) 当EF ＝AD 时，联结AE 、DF ，先判断四边形AEFD 是怎样的四边形，再证明你的结论．
24．（本题满分12分，第（1）、（2）、（3）题各4分）
已知：如图，在平面直角坐标系中，点B 在x 轴上，以3为半径的⊙B 与y 轴相切，直
A D
C E
O
F E
D
C B A
线l 过点()2,0A -,
（1）求直线l （2）若抛物线y =
(3) 若点E
25．（本题满分14直线MN 于点E ，过点C 作（1） 求证：2
PC PE PF =⋅；
（2） 设PN x =，CE y =，试建立y 和x （3） 联结PD ，在点P 运动过程中，如果EFC ∆
F
2009学年第二学期徐汇区初三年级数学学习能力诊断卷参考答案2010.4 一、选择题
1．B; 2．C; 3．D; 4．C; 5．A; 6．B. 二、填空题
7．)2)(2(-+a a a ； 8．4=x ； 9．9<a ； 10．)3,1(； 11．①③④；
12．15)1(5.122
=+x ； 13．43； 14．)(21→→-a b ； 15．16
1
； 16.623π-；17. 216； 18.
5
144。

三、解答题
19．原式=3
3
3432221⋅
++-+-............................................................7 =227- (3)
20. 4)2(24)2(2
-=+-+-y y y y (3)
0232=+-y y (3)
21==ory y (2)
经检验，2=y 为增根，原方程的解为1=y 。

(2)
21. （1）每空1分，图形1分；（2）80.5~90.5 ，2分；（3）1184，2分； 22. (1) 在DCB Rt ∆中，5
4
sin ==∠DC DB DCB ……………………………………………1 设
,
5,4x DC x DB ==则
()()x x x BC 3452
2=-=
(1)
∵,5=BC ∴.3
5
,53==x x ………………………………………………2 ∴3
1
85==x CD ………………………………………………………………1 (2)
3
2
64==x BD (1)
过E 作EF 垂直于BC 交于点F ，过A 作AG 垂直于EF 交于点G ，
由题意有AB=GF=8
3
2
…………………………………………………………………1 在DCB Rt ∆中，0
30=∠EAG ，AE=1.6米，∴EG=0..8米………………………2 ∴EF=9
15
7
米。

…………………………………………………………………………1 23．（1）∵四边形ABCD 是等腰梯形，
∴
CD AB C B =∠=∠, (2)
∵BE=FC ，
∴BF=EC …………………………………………………………………………………1 ∴△ABF ≌△D C E ………………………………………………………………………1 ∴AFB DEF ∠=∠……………………………………………………………………1 ∴OE=OF …………………………………………………………………………………1 (2)四边形AEFD 是矩形…………………………………………………………………
2
∵EF ＝AD 且 EF ∥AD ，
∴四边形AEFD 是平行四边形…………………………………………………………2 由（1）有△ABF ≌△D C E
∴AF=DE …………………………………………………………………………………2 ∴四边形AEFD 是矩形。

24.（1）过B 作BD 垂直l 交于点D ，
∵⊙B 与l 相切，
∴BD=3……………………………………………………………………………………1 在ADB Rt ∆中， AB=5，()()4352
2=-=
AD (1)
在ACO Rt ∆、ADB Rt ∆中， =
∠CAO cot 3
4
==DB AD CO AO ， ∵AO=2，∴CO=1.5。

………………………………………………………………………1 设直线l 的解析式为5.1+=kx y ，()2,0A -代入得4
3=
k ， ∴5.14
3
+=
x y ………………………………………………………………………1 （2）过OB 的中点F 作HF 垂直于x 轴交⊙B 于点H ，联结BH 。

∵在HFB Rt ∆中，BH=3，BF=1.5，()()32
3
5.132
2=
-=HF ……………………1 ∴)32
3
,2
3(-
H …………………………………………………………………………1 将)0,0(O 、)0,3(B )32
3
,23(-H 代入2(0)y ax bx c a =++>
得
x x y 3233
2
2-=
………………………………………………………………2 （3）当两圆外切时，AE=2，)56
,52(-E (2)
当两圆内切时，AE=8，)5
24
,522(E (2)
25.（1）∵ AD ∥BC ，AB=CD ，∴DCB ABC ∠=∠，
∵直线MN 是梯形的对称轴， ∴PB=PC 。

∴PCB PBC ∠=∠，
∴DCP ABP ∠=∠，…………………………………………………………………1 ∵AB ∥CF ∴F ABP ∠=∠
∴DCP F ∠=∠………………………………………………………………………1 ∵FPC EPC ∠=∠ ∴PEC ∆∽PCF ∆
∴2
PC PE PF =⋅ (1)
（2）过点E 作EG ⊥BC ，∵3
4tan tan =
∠=∠DCB ABC ∴.5
3
,54y GC y EG ==
……………………………………………………………1 由题意有EG ∥MN ∴
BG
BN
EG PN =，即y y x 5
395.454-=……………………………………………………1 ∴
)30(6
15≤<+=
x x x
y …………………………………………………………………2 （3）（Ⅰ）当DCF PDC ∠=∠时，PD ∥CF
∴
ABC MDP ∠=∠ (1)
∴43tan tan =∠=∠ABC MDP ，即4
345.1=-x …………………………………1 ∴
2=x (1)
（Ⅱ）当DEP FEC PDC ∠=∠=∠时，过点P 作PH ⊥DE 交AD 的延长线于点O 。

则
2
5y
EH DH -=
=……………………………………………………………………1 ∴DPC DCB ODC ∠=∠=∠ ∴3
5
25sin ⋅-=∠=
y ODC DE DO (1)
又
34=MP MO ，即x y 34
35255.1=⋅-+，.1624125±=
x ……………………………2 因为
、16
241
25±2都在定义域内，所以当or x 1624125±=
2=x 时，EFC ∆和PDC ∆相似。