两个变量的相关关系知识点和典例

两个变量的相关关系知识点和典例
1.两个变量的线性相关
(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.（回归直线y ^＝b ^x ＋a ^
必过样本点的中心(x ，y )，其它点不一定过直线只是在直线附近，这个结论既是检验所求回归直线方程是否准确的依据，也是求参数的一个依据.
）
(2)回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝
∑i =1
n
x i y i －n x
y
∑
i =1
n
x 2i －n x
2
＝∑i =1
n
)(x i －x )(y i －y )
∑i =1
n
)(x i －x )2
，a ^＝y －b ^x .
(3)相关系数：
相关系数r ＝
∑i =1
n
)(t i －t )(y i －y )
∑i =1
n
)(t i －t )2∑i =1
n )(y i －y )2
当r ＞0时，表明两个变量正相关；当r ＜0时，表明两个变量负相关.
r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.r 的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.（r 的符号表明两个变量是正相关还是负相关；|r |的大小表示线性相关性的强弱.）
例一．某公司借助手机微信平台推广自己的产品，对今年前5个月的微信推广费用x 与月利润y （单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：
经计算，微信推广费用x 与月利润y 满足线性回归方程 6.517.5y x ∧
=+.求p 的值．
[解] ()()112456
85,3040607040555
p x y p =
++++==++++=+， 因为样本中心()
,x y 在回归直线 6.517.5y x ∧
=+上， 所以40 6.5517.55
p
+
=⨯+，解得50p = [变式练习]
已知变量x ，y 之间的线性回归方程y ^
=－0.7x +10.3，且变量x ，y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是( )
x 6 8 10 12 y
6
m
3
2
A.变量x ，y 之间呈负相关关系))))
B.可以预测，当x ＝20时，b ^
＝－3.7 C.m ＝4))))))))))))))))))))))))D.该回归直线必过点(9，4)
[解]由－0.7<0，得变量x ，y 之间呈负相关关系，故A 正确；当x ＝20时，y ^
＝－0.7×20＋10.3＝－3.7，故B 正确；由表格数据可知x －＝14×(6＋8＋10＋12)＝9，y －＝1
4(6＋m ＋3＋2)
＝11＋m 4，则11＋m 4＝－0.7×9＋10.3，解得m ＝5，故C 错；由m ＝5，得y －＝
6＋5＋3＋2
4＝4，所以该回归直线必过点(9，4)，故D 正确.故选C.
例二．下图是我国2011年至2017年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年我国生活垃圾无害化处理量.
参考数据：∑i =1
7
y i ＝9.32，∑i =1
7
t i y i ＝40.17,)
∑i =1
7
)(y i －y )2＝0.55，7≈2.646.
参考公式：相关系数r ＝
∑i =1
n
)(t i －t )(y i －y )
∑i =1n )(t i －t )2∑i =1
n )(y i －y )2
，回归方程y ^＝a ^＋b ^
t 中斜率和截距
的最小二乘估计公式分别为b ^＝
∑i =1
n
)(t i －t )(y i －y )
∑i =1
n
)(t i －t )2
，a ^＝y －b ^
)t .
[解] (1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得 t ＝4，∑i =1
7
)(t i －t
)2＝28,)
∑i =17
)(y i －y )2＝0.55，
∑i =1
7
)(t i －t )(y i －y )＝∑i =1
7
t i y i －t ∑i =1
7
y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，
∴r ≈ 2.89
0.55×2×2.646
≈0.99.
因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.
(2)由y ＝9.32
7
≈1.331及(1)得
b ^＝
∑i =17
)(t i －t )(y i －y )
∑i =1
7
)(t i －t )2
＝
2.89
28
≈0.103. a ^＝y －b ^
)t ≈1.331－0.103×4≈0.92. 所以y 关于t 的回归方程为y ^
＝0.92＋0.10t .
将2019年对应的t ＝9代入回归方程得y ^
＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以，预测2019年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨.
[变式练习]
1.(2019·广州调研)某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示，该地周光照量X (单位：小时)都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周.根据统计，该基地的西红
柿增加量y (千克)与使用某种液体肥料的质量x (千克)之间的对应数据为如图所示的折线图.
(1)依据折线图计算相关系数r (精确到0.01)，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系.(若|r |＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)
(2)蔬菜大棚对光照要求较高，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：
对商家来说，若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪产生的周利润为3)000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1)000元.若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周的周总利润的平均值.
参考数据：0.3≈0.55，0.9≈0.95. 解：(1)由已知数据可得x ＝2＋4＋5＋6＋8
5
＝5，
y ＝
3＋4＋4＋4＋5
5
＝4.
因为∑i ＝1
5
)(x i －x )(y i －y )＝(－3)×(－1)＋0＋0＋0＋3×1＝6，
∑i ＝15
)(x i －x )2＝(－3)2＋(－1)2＋02＋12＋32＝25，
∑i ＝1
5
)(y i －y )2＝(－1)2＋02＋02＋02＋12＝2，
所以相关系数r ＝
∑i ＝1
5
)(x i －x )(y i －y )
∑i ＝1
5
)(x i －x
)2)∑i ＝1
5
)(y i －y )2
＝625×2
＝)9
10
≈0.95. 因为|r |＞0.75，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系. (2)由条件可得在过去50周里，
当X ＞70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行， 每周的周总利润为1×3)000－2×1)000＝1)000(元).
当50≤X ≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行， 每周的周总利润为2×3)000－1×1)000＝5)000(元).
当30＜X ＜50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行， 每周的周总利润为3×3)000＝9)000(元).
所以过去50周的周总利润的平均值为
1)000×10＋5)000×35＋9)000×5
50＝4)600(元)，
所以商家在过去50周的周总利润的平均值为4)600元.
例三．某机构为研究某种图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值.
x y u∑
i＝1
8
)(x i－x)2∑
i＝1
8
)(x i－x)(y i－y)∑
i＝1
8
)(u i－u)2∑
i＝1
8
)(u i－u)(y i－y) 15.25 3.630.2692)085.5－230.30.7877.049
表中u i＝
1
x i，u＝
1
8∑
i＝1
8
u i.
(1)根据散点图判断：y＝a＋bx与y＝c＋
d
x哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费
y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的回归方程？(只要求给出判断，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(回归系数的结果精确到0.01).
(3)若该图书每册的定价为10元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于78)840元？(假设能够全部售出.结果精确到1)
附：对于一组数据(ω1，υ1)，(ω2，υ2)，…，(ωn，υn)，其回归直线υ
^
＝α
^
＋β
^
ω的斜率和
截距的最小二乘估计分别为β
^
＝
∑
i＝1
n
)(ωi－ω)(υi－υ)
∑
i＝1
n
)(ωi－ω)2
，α
^
＝υ－β
^
ω.
解：(1)由散点图判断，y＝c＋
d
x更适合作为该图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量
x(单位：千册)的回归方程.
(2)令u＝
1
x，先建立y关于u的线性回归方程，
由于d ^＝
∑i ＝1
8
)(u i －u )(y i －y )
∑i ＝1
8
)(u i －u )2
＝7.0490.787
≈8.957≈8.96， ∴c ^＝y －d ^
·u ＝3.63－8.957×0.269≈1.22， ∴y 关于u 的线性回归方程为y ^
＝1.22＋8.96u ， ∴y 关于x 的回归方程为y ^
＝1.22＋8.96x .
(3)假设印刷x 千册，
依题意得10x －⎝⎛⎭⎫1.22＋8.96
x x ≥78.840， 解得x ≥10，
∴至少印刷10)000册才能使销售利润不低于78)840元.
[变式练习]
(2015课标Ⅰ,19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y (单位:t )和年利润z (单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费x i )和年销售量y i ))(i =1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
x
y
w
∑i=18
(x i -x )2
∑i=1
8
(w i -w )2 ∑i=1
8
(x i -x )(y i -y ) ∑i=1
8
(w i -w )(y i -y )
46.6 563 6.8 289.8
1.6
1 469
108.8
表中w i =√x ,w =
18∑i=18
w i
.
(1)根据散点图判断,y =a +bx 与y =c +d √x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程;
(3)已知这种产品的年利润z 与x,y 的关系为z =0.2y −x .根据(2)的结果回答下列问题: (i)年宣传费x =49时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii)年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大?
附:对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2),…,(u n ,v n ))),其回归直线
v =α+βu 的斜率和截距的最小
二乘估计分别为
β^
=
∑i=1
n (u i -u )(v i -v )∑i=1n
(u i -u )2
,α^=v -β^
)u .
解析 (1)由散点图可以判断,y =c +d √x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.(2分)
(2)令w =√x ,先建立y 关于w 的线性回归方程.由于 d ^
=∑i=18
(w i -w )(y i -y )
∑i=18
(w i -w )2
=
108.81.6
=68,
c ^
=y -d ^)w =563-68×6.8=100.6,
所以y 关于w 的线性回归方程为y ^
=100.6+68w,因此y 关于x 的回归方程为y ^
=100.6+68√x .(6分) (3)(i)由(2)知,当x =49时,年销售量y 的预报值 y ^
=100.6+68√49=576.6,
年利润z 的预报值z ^
=576.6×0.2-49=66.32.(9分) (ii)根据(2)的结果知,年利润z 的预报值 z ^
=0.2(100.6+68√x )-x =-x +13.6√x +20.12. 所以当√x =
13.62
=6.8,
即x =46.24时,z ^
取得最大值.
故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.。