专题：三角恒等变换策略点拔

专题：三角恒等变换策略点拔
一、结合二倍角活用三角函数的降升降幂公式：
⑴二倍角公式：①αααααα2sin 2
1
cos sin cos sin 22sin =
⇒=； ②ααααα2
2
2
2
sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； ⑵降幂：2
1cos 2cos 2αα+=
，2
1cos 2sin 2
αα-= （平方需降幂） ⑶升幂：2
1
+，2
22sin αα= （开方需升幂）
如：1
解题策略：开方需升幂。

2、函数2
5f (x )sin x cos x x =-x R )∈的单调递增区间。

解题策略：平方需降幂。

二、结合商数关系巧用“1”的功能：22
1sin cos x x =+；αα
αtan cos sin =.
常回家看看，家中还有三兄弟：sin cos αα+，sin cos αα-，sin cos αα⋅，都是“1”家人。

如：3、已知tan 2α=，求：①sin cos αα⋅；②sin cos αα+；③2
2
sin sin cos 3cos αααα+-.
4、已知
2
sin 22sin 1tan k ααα+=+()42
ππ
α<<，试用k 表示sin cos αα-的值。

三、活用辅助角公式显神功：()sin cos a x b x x ϕ+=
+(其中ϕ角的值由tan b
a
ϕ=
确定) 如：5、若()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇函数，则tan ϕ=
6、求值：
=︒+︒
-︒20sin 6420cos 120sin 32
2
2_____ ___ 四、三角恒等变形的常用策略：终极目标：化为一名一角一次的形式
⑴切要化弦；⑵异分母要通分；⑶遇括号需去括号；⑷异角化同角；⑸异名化同名；⑹高次需降幂。

⑺诱导公式看象限，象限符号记口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。

例1．求［2sin50°+sin10°(1+tan10°)］·ο80sin 22的值.
解：原式=︒⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒︒+⨯︒+︒80sin 210cos 10sin 3110sin 50sin 2=6
例2. 已知α∈(，)，β∈(0，),cos (α－)＝5
3，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值． 解：∵α－＋＋β＝α＋β＋ ∴sin(α＋β)＝－cos[＋(α＋β)]＝
解： 由4sin 2-cos2B=27,得4·2)cos(1C A +--2cos 2B+1=2
7
,所以,B=60°.
例4．化简sin 2α·sin 2+cos 2αcos 2-cos2α·cos2. 解 方法一：（倍角→单角，从“角”入手）
原式=sin 2α·sin 2+cos 2α·cos 2-·(2cos 2α-1)·(2cos 2-1)=.
方法二：（从“名”入手，异名化同名）
原式=sin 2α·sin 2+(1-sin 2α)·cos 2-cos2α·cos2β
=cos 2-cos2·⎪⎭⎫ ⎝⎛+αα2cos 21sin 2=
22cos 1β
+-cos2·⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+)sin 21(21sin 22αα=.
方法三：（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）
原式=2
2cos 1α-·2
2cos 1β-+2
2cos 1α+·2
2cos 1β+-cos2α·cos2=.
方法四：（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）
原式=(sin α·sin-cos α·cos)2+2sin α·sin ·cos α·cos-cos2α·cos2 =cos 2(α+)+sin2α·sin2-cos2α·cos2=.
变式训练：7、化简：（1）sin ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-x 4
π+cos ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-x 4
π
; 答案：2cos(x-)
8、
⎪
⎫ ⎛+⎪⎫ ⎛--απαπαsin tan 21
cos 222. 答案：1
例5、⑴求值：1
40cos 40cos 2)40cos 21(40sin 2-︒+︒︒+︒；⑵求值
2cos10sin 20cos 20︒-︒
︒
例6、⑴化简：
)
4
(
sin )4
tan(
21
cos 22
2απ
απ
α+⋅--；⑵
x
x x sin )4
cos(22cos ⋅+π
．
例7、已知x x x x f cos sin sin 3)(2+-=；(1) 求)6
25(π
f 的值； (2) 设2341)2(),,0(-=∈απαf ，求sin α的值．
高考题实战突破，解题思路点拔： 1、（山东理）(满分12分)设函数f (x )=cos(2x +3
π)+sin 2
x . ⑴求函数f(x)的最大值和最小正周期.
⑵设A ,B ,C 为ABC 的三个内角，若cos B =
31，1
()24
c f =-，且C 为锐角，求sin A . 【解题策略】:高次需降幂，遇括号去括号，辅助角公式。

2、（全国理）(满分10分)在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知2
2
2a c b -=，且
sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b.
【解题策略】:sin cos 3cos sin ,A C A C =的常见变形：222222
3,22a b c b c a a c ab bc
+-+-=g
g 已知条件关系式中出现cos 的，一般利用余弦定理进行角化边。

3、（北京理）(满分12分)已知函数22cos 2sin 4cos x x x =+-. （Ⅰ）求()3
f π
=的值；（Ⅱ）求的最大值和最小值。

【解题策略】:异名化同名，异角化同角，转化为二次函数。

4、（天津理）（满分12分）已知函数2
()23cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈
（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值； （Ⅱ）若006(),,542f x x ππ⎡⎤
=
∈⎢⎥⎣⎦
，求0cos 2x 的值。

5、（湖南理）（满分12分）已知函数2()22sin f x x x =
-．
（Ⅰ）求函数的最大值；（II ）求函数的零点的集合。

【解题策略】:高次需降幂，异角化同角，辅助角公式。

6、（湖北理）（满分12分）已知函数f(x)=11
cos()cos(),()sin 23324
x x g x x π
π+-=- （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；
（Ⅱ）求函数h （x ）=f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x 的集合。

【解题策略】:遇括号去括号，高次需降幂。

7、（安徽理）（满分12分）设ABC ∆是锐角三角形，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对边长，并且
22sin sin() sin() sin 33
A B B B ππ
=+-+。

(Ⅰ)求角的值；(Ⅱ)若12,AB AC a ==u u u r u u u r
g
【解题策略】:遇括号去括号。

8、（辽宁文）（满分12分）在ABC ∆中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，且
2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++
（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC ∆的形状. 【解题策略】:利用正弦定理进行角化边：
2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++⇔c b c b c b a )2()2(22
+++=
9、（2013年陕西（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为： (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 【解题策略】:c b a ,,对称出现一般考虑边化角。

cos cos sin b C c B a A +=A B C C B 2
sin cos sin cos sin =+⇔
10、（2013年辽宁（理））在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.
a b c 1
sin cos sin cos ,
2
a B C c B A
b +=且,则B ∠= A.6π B.3π C.23π D.56
π
【解题策略】:c b a ,,对称出现一般考虑边化角，思路同上。

11、（2013年重庆（理））在ABC V 中,内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,且2
2
2a b c +=.
(1)求; (2)设()()2cos cos cos cos ,5cos 5
A B A B ααα++==,求的值. 【解题策略】:余弦定理，遇括号去括号。

12、（2013年天津（理））已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛
⎫=++- ⎪+⎝
⎭∈R .
(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期; (Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
【解题策略】:遇括号去括号，高次需降幂，辅助角公式。

13、（2013年大纲（理））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.
(I)求； (II)若sin sin A C =
,求. 【解题策略】:遇括号去括号（平方差公式），余弦定理。

14、（2013年四川（理））在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且
2
3
2cos cos sin()sin cos()25
A B B A B B A C ---++=-.
(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若a =求向量在方向上的投影. 【解题策略】:高次需降幂，两角和与差公式。

15、（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））已知函数
()4cos sin (0)4f x x x πϖϖϖ⎛
⎫=⋅+> ⎪⎝
⎭的最小正周期为.
(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)讨论在区间上的单调性. 【解题策略】:遇括号去括号，高次需降幂，辅助角公式。

16、（2013年湖北（理））在ABC ∆中,角,,对应的边分别是a ,b ,c .已知()cos23cos 1A B C -+=.
(I)求角的大小; (II)若ABC ∆的面积S =,,求sin sin B C 的值. 【解题策略】:三角形内角和定理，转化为二次函数。

17、（2013年新课标（理））△在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+.
(Ⅰ)求; (Ⅱ)若,求△面积的最大值. 【解题策略】:c b a ,,对称出现一般考虑边化角。