数学(北师大版)必修一教学设计：3-2指数运算的性质 Word版含答案

教学设计
2．2指数运算的性质
导入新课
思路1.同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数的推广一样，到底有没有无理数指数幂呢？回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数(有理数)，有理数到实数．并且知道，在有理数到实数的扩充过程中，增添的数是无理数．对无理数指数幂，也是这样扩充而来．既然如此，我们这节课的主要内容是：教师板书本堂课的课题——指数运算的性质．思路2.同学们，在初中我们学习了函数的知识，对函数有了一个初步的了解，到了高中，我们又对函数的概念进行了进一步的学习，有了更深的理解，我们仅仅学了几种简单的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等，这些远远不能满足我们的需要，随着科学的发展，社会的进步，我们还要学习许多函数，其中就有指数函数，为了学习指数函数的知识，我们必须学习实数指数幂的运算性质，为此，我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂，因此我们本节课学习：指数运算的性质．
推进新课
新知探究
提出问题
①我们知道2＝1.414 213 56…，那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…是2的什么近似值？
②多媒体显示以下图表：同学们从下面的两个表中，能发现什么样的规律？
④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢？如
作出判断并合理地解释吗？
⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗？
活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容：
问题①从近似值的分类来考虑，一方面从大于2的方向，另一方面从小于2的方向．问题②对图表的观察一方面从上往下看，再一方面从左向右看，注意其关联．
问题③上述方法实际上是无限接近，最后是逼近．
问题④对问题给予大胆猜测，从数轴的观点加以解释．
问题⑤在③④的基础上，推广到一般的情形，即由特殊到一般．
讨论结果：①1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…，这些数都小于2，称2的不足近似值，而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…，这些数都大于2，称2的过剩近似值．
②第一个表：从大于2的方向逼近2时，51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即
大于
第二个表：从小于2的方向逼近2时，51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小
于
从另一角度来看这个问题，在数轴上近似地表示这些点，数轴上的数字表明一方面
从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向接近，而另一方面从51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于52的方向接近52，可以说从两个方向无限地接近
51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…和另一串有
理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，按上述变化规律变化的结果，事实上表示这些
数的点从两个方向向表示
51.4＜51.41＜51.414＜51.414 2＜51.414 21＜…＜51.414 22＜51.414 3
＜51.415＜51.42＜51.5.
充分表明⎝⎛⎭
⎫
123，3π等都是实数．
③逼近思想，事实上里面含有极限的思想，这是以后要学的知识．
④根据②③我们可以推断
⑤无理数指数幂的意义：
一般地，无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数．
也就是说无理数可以作为指数，并且它的结果是一个实数，这样指数概念又一次得到推广，在数的扩充过程中，我们知道有理数和无理数统称为实数．我们规定了无理数指数幂的意义，知道它是一个确定的实数，结合前面的有理数指数幂，那么，指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂．
提出问题
(1)为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数是正数？
(2)无理数指数幂的运算法则是怎样的？是否与有理数指数幂的运算法则相通呢？ (3)你能给出实数指数幂的运算法则吗？
活动：教师组织学生互助合作，交流探讨，引导他们用反例说明问题，注意类比，归纳． 对问题(1)回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定，举例说明．
对问题(2)结合有理数指数幂的运算法则，既然无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数，那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似，并且相通．
对问题(3)有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则，实数的运算法则自然就得到了．
讨论结果：(1)底数大于零的必要性，若a ＝－1，那么a α是＋1还是－1就无法确定了，这样就造成混乱，规定了底数是正数后，无理数指数幂a α是一个确定的实数，就不会再造成混乱．
(2)因为无理数指数幂是一个确定的实数，所以能进行指数的运算，也能进行幂的运算，有理数指数幂的运算性质，同样也适用于无理数指数幂．类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则：
①a r ·a s ＝a r ＋
s (a ＞0，r ，s 都是无理数)． ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s 都是无理数)． ③(a ·b )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r 是无理数)．
(3)指数幂扩充到实数后，指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂． 实数指数幂的运算性质：
对任意的实数r ，s ，均有下面的运算性质： ①a r ·a s ＝a r ＋
s (a ＞0，r ，s ∈R )． ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈R )． ③(a ·b )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈R )．
应用示例
思路1
例1 在实数范围内，对比(ab )n
＝a n b n
和⎝⎛⎭⎫a b n ＝a n
b n (其中a ＞0，b ＞0，b ≠0)，说明后者可
以归入前者．
解：⎝⎛⎭⎫a b n ＝(ab －1)n ＝a n b －n ＝a n b n
，因此，性质⎝⎛⎭⎫a b n ＝a n
b n 可以归入性质(ab )n ＝a n b n . 例2 化简(式中字母均为正实数)： (1)3x
2(2x －2yz )；
(2)(1a
x y )α(4y －
α)．
活动：学生观察，思考，所谓化简，即若能化为常数则化为常数，若不能化为常数则应使所化式子达到最简，对既有分数指数幂又有根式的式子，应该把根式统一化为分数指数幂的形式，便于运算，教师有针对性地提示引导，对(1)(2)由里向外，要紧扣分数指数幂的意义和运算性质，并对学生作及时的评价，注意总结解题的方法和规律．
解：(1)3x
2 (2x
－
2yz )＝(3×2)x 2－
2yz ＝6yz ；
(2)(1
a
x y )α(4y －α
)＝14a
x ·α·y α·y －α＝4xy α－
α＝4x .
点评：注意运算性质的应用． 例3 已知10α
＝3,10β
＝4，求10
α＋β
，10
α－β
，10
－2α
，5
10β
.
活动：学生思考，观察题目的特点，从整体上看，应利用运算性质，然后再求值，要有预见性，教师引导学生考虑问题的思路，必要时给予提示．
解：10α＋
β＝10α×10β＝3×4＝12；
10α－β
＝10α10β＝34； 10
－2α
＝(10α)－2＝3－
2＝19
；
5
10β＝(10β)＝15
4.
点评：运用整体思想和运算法则是解决本题的关键，要深刻理解这种做法．
思路2
例1 计算：(1)
614
＋3
338
＋40.062 5＋(5π)0－2－
1； (2)23
125＋⎝⎛⎭⎫12－2＋1
3
343－⎝⎛⎭⎫1271
3-； (3)(113
4
2x y
--)(213
23x y )；
(4)(112
2
x y -)÷(114
4
x y -)．
活动：学生观察、思考，根式化成分数指数，利用幂的运算性质解题，另外要注意整体的意识，教师有针对性地提示引导，对(1)根式的运算常常化成幂的运算进行，对(2)充分利用指数幂的运算法则来进行，对(3)则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行，对(4)要利用平方差公式先因式分解，并对学生作及时的评价．
解：(1)
61
4
＋3
338＋40.062 5＋(5π)0－2－
1 ＝112
3
252748⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
＋(0.062 5)1
4＋1－12 ＝112312
3
44
531(0.5)
222
⨯
⨯
⨯
⎛⎫
⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
＝52＋32＋0.5＋1
2
＝5. (2)2
3125＋⎝⎛⎭⎫12－2＋13
343－13
127-
⎛⎫
⎪⎝⎭ ＝(53)233(5)＋(2－1)－2
＋133
(7)－13
3
(3)
-
-
＝233
5
⨯
＋2
－2×(－1)
＋133
7
⨯
－3
13()
3
-⨯-
＝25＋4＋7－3＝33.
(3)(
1
1
3
4
2x y-
-)(
2
1
3
2
3x y)＝(－2×3)(
12
11
33
42
x x y y
-
⋅)
＝
121 113
333 424 66
x y x y
-+
+
-⋅=-
＝－64
x3
3
y.
(4)(
11
22
x y
-)÷(
11
44
x y
-)＝[(
1
4
x)2－(
1
4
y)2]÷(
11
44
x y
-)
＝(
11
44
x y
+)(
11
44
x y
-)÷(
11
44
x y
-)
＝
11 44 x y
+.
点评：在指数运算中，一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式．例2 化简下列各式：
(1)
22
22
33
x y
x y
--
--
+
+
－
22
22
33
x y
x y
--
--
-
+
；
(2)(a3＋a－3)(a3－a－3)÷[(a4＋a－4＋1)(a－a－1)]．
活动：学生观察式子的特点，特别是指数的特点，教师引导学生考虑题目的思路，这两题要注意分解因式，特别是立方和和立方差公式的应用，对有困难的学生及时提示：对(1)
考查x2与
2
3
x的关系可知x2＝(
2
3
x)3，立方关系就出来了，公式便可运用，对(2)先利用平方
差，再利用幂的乘方转化为立方差，再分解因式，组织学生讨论交流．
解：(1)原式＝
22
33
33
22
33
()()
x y
x y
--
--
+
+
－
22
33
33
22
33
()()
x y
x y
--
--
-
-
＝(
2
3
x-)2－
22
33
x y
--
＋(
2
3
y-)2－[(
2
3
x-)2＋(
2
3
x-)(
2
3
y-)＋(
2
3
y-)2]
＝
424424 333333 ()()
x xy y x xy y ------
-+---
＝
2
3
2()
xy-
-=-.
(2)原式＝[(a3)2－(a－3)2]÷[(a4＋a－4＋1)(a－a－1)]
＝
(a2)3－(a－2)3
(a4＋a－4＋1)(a－a－1)
＝
(a2－a－2)(a4＋a－4＋1)
(a4＋a－4＋1)(a－a－1)
＝a2－(a－1)2
a－a－1
＝a＋a－1.
点评：注意立方和、立方差公式在分数指数幂当中的应用，因为二项和、差公式，平方
差公式一般在使用中一目了然，而对立方和、立方差公式却一般不易观察到，32a ＝(12a )
3
还容易看出，对其中夹杂的数字m 可以化为m ·
112
2
a a -
＝m ，需认真对待，要在做题中不断
地提高灵活运用这些公式的能力．
知能训练
1．化简：(1＋132
2
-)(1＋116
2-
)(1＋18
2-
)(1＋14
2
-
)(1＋12
2
-
)的结果是( )．
A ．12
(1－1
322-)－
1
B ．(1－132
2
-
)－
1
C ．1－132
2
-
D ．1
2
(1－1
322-)
解析：根据本题的特点，注意到它的整体性，特别是指数的规律性，我们可以进行适当的变形．
因为(1＋132
2
-)(1－132
2
-
)＝1－116
2
-
，所以原式的分子、分母同乘(1－132
2
-
)，
依次类推，所以
112
2
132
(12)(12)
12
-
-
--+-＝
1132
1212
----＝11
321(12)2
---. 答案：A
2．计算⎝⎛⎭
⎫2790.5＋0.1－2＋2
3
10227-⎛⎫ ⎪⎝⎭
－3π0＋9
－0.5
＋490.5×2－
4.
解：原式＝1
2259⎛⎫ ⎪⎝⎭＋100＋23
2764⎛⎫ ⎪⎝⎭
－3＋1
2
14916⨯＝53＋100＋916－3＋13＋716＝100. 3．计算a ＋2a －1＋a －2a －1(a ≥1)．
解：原式＝(a －1＋1)2＋(a －1－1)2＝a －1＋1＋|a －1－1|(a ≥1)． 本题可以继续向下做，去掉绝对值，作为思考留作课下练习．
4．设a ＞0，x ＝12(1
1
n
n a a --)，则(x ＋1＋x 2)n 的值为__________．
解析：1＋x 2＝1＋14(1
1
n n a a --)2＝1
4
(1
1
n n a a -+)2.
这样先算出1＋x 2，再算出1＋x 2，
将x ＝12(1
1
n n a a --)代入1＋x 2，得1＋x 2＝1＋14(1
1
n n a a --)2＝1
4
(1
1
n n a a -+)2.
所以(x ＋1＋x 2)n
＝111()2n
n n a a -⎡-⎢⎢⎣
＝111
1
11()()22n
n n n n
a a a a --⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦
＝a . 答案：a
拓展提升
参照我们说明无理数指数幂的意义的过程，请你说明无理数指数幂 活动：
教师引导学生回顾无理数指数幂利用计算器计算出3的近似
值，取它的过剩近似值和不足近似值，
根据这些近似值计算
利用逼近思想，“逼出”
解：3＝1.732 050 80…，取它的过剩近似值和不足近似值如下表．
21．7,21.73,21.731,21.731 9，…，
同样把用2作底数，3的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数： 21．8,21.74,21.733,21.732 1，…，不难看出3的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多，即3的近似值精确度越高，以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂2α会越来越趋近于同一个数，我们把这个数记为
即21.7＜21.73＜21.731＜21.731 9＜…＜23＜…＜21.732 1＜21.733＜21.74＜21.8.
也就是说2
3＝3.321 997 …也可以这样解释：
当3的过剩近似值从大于3的方向逼近3时，
当3的不足近似值从小于3的方向逼近3时，
所以就是一串有理指数幂21.7,21.73,21.731,21.731 9，…和另一串有理指数幂
21.8,21.74,21.733,21.732 1，…，按上述规律变化的结果，即 3.321 997.
课堂小结
(1)无理数指数幂的意义．
一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数．
(2)实数指数幂的运算性质：
对任意的实数r，s，均有下面的运算性质：
①a r·a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈R)．
②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈R)．
③(a·b)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈R)．
(3)逼近的思想，体会无限接近的含义．
作业
习题3—2A组6,8.
设计感想
无理数指数是指数概念的又一次扩充，教学中要让学生通过多媒体的演示，理解无理数指数幂的意义，教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索，自己得出结论，加深对概念的理解，本堂课内容较为抽象，又不能进行推理，只能通过多媒体的教学手段，让学生体会，特别是逼近的思想、类比的思想，多做练习，提高学生理解问题、分析问题的能力．
备课资料
[备用习题]
1．以下各式中成立且结果为最简根式的是()．
A.a·
5
a3
a·
10
a7
＝
10
a4
B.3
xy2(xy)2＝y
3
x2
C.a2
b
b3
a
a
b3＝
8
a7b15
D．(3
5－125)3＝5＋125125－2
3
5·125
答案：B
2．对于a ＞0，r ，s ∈Q ，以下运算中正确的是( )． A ．a r ·a s ＝a rs
B ．(a r )s ＝a rs
C ．⎝⎛⎭⎫a b r
＝a r ·b s
D ．a r b s ＝(ab )r ＋
s
答案：B 3．式子
x －2x －1＝x －2
x －1
成立的充要条件是( )． A.x －2
x －1
≥0
B ．x ≠1
C ．x ＜1
D ．x ≥2
解析：方法一： 要使式子
x －2x －1
＝
x －2
x －1成立，需x －1＞0，x －2≥0，即x ≥2. 若x ≥2，则式子
x －2x －1
＝
x －2x －1成立． 从而x ≥2是式子x －2
x －1
＝x －2x －1
成立的充要条件．故选D.
方法二：
对A ，式子x －2
x －1≥0连式子成立也保证不了，尤其x －2≤0，x －1＜0时式子不成立．
对B ，x －1＜0时式子不成立． 对C ，x ＜1时x －1无意义．
对D ，正确． 答案：D
4．化简b －(2b －1)(1＜b ＜2)．
解：b －(2b －1)＝(b －1)2＝b －1(1＜b ＜2)．
5．计算3
2＋5＋3
2－ 5.
解：令x ＝3
2＋5＋3
2－5，
两边立方，得x 3＝2＋5＋2－5＋33
2＋5·3
2－5·(3
2＋5＋3
2－5)，即x 3＝4
－3x ，x 3－3x ＋4＝0.∴(x －1)(x 2＋x ＋4)＝0.∵x 2＋x ＋4＝(x ＋12)2＋154
＞0， ∴x －1＝0，即x ＝1.∴32＋5＋3
2－5＝1.
(设计者：郑芳鸣)。