钢和混凝土竖向混合结构阻尼特性研究
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［5 ］
ξj ' =
（ 3）
｛ ｝ ∑ i =1
T j
［ K］ i ｛ ｝ j
式中： ξ j ' 为 j 模态的等效阻尼比； ξ i 为第 i 个单元的阻 K］ 尼比； ｛ ｝ j 表示 j 模态的位移向量； ［ i 表示第 i 个 单元的抗侧刚度。 模态应变能模型反映了耗能相等的物理本质 ， 该 模型被美国、 日本的规范建议用于隔震结构等效阻尼 比的确定
的处理方式将不可避免产生误差 。 1． 2 模态阻尼比 模态阻尼比是度量结构阻尼性能的理想方式 ， 因 为由试验测得模态阻尼比包括了结构所有形式的耗 ［7 ］ 能， 充分体现了阻尼耗能的本质 。 对于本文所述的 其模态阻尼比可由子结构阻尼比加权 混合结构体系， ［8 ］ ［9 ］ ， 得到 可用的权函数包括振型比 ， 质量比 ， 模态应 变能比
· m·· x + c·· x + k ·x = F （ t ）
（ 1）
与刚度 k 和质量 m 不同， 阻尼系数 c 无法由物理 密度、 弹性模量等 ） 直接计算得到， 而是通 指标（ 尺寸、 过体系实际耗能与假想的黏滞阻尼体系耗能相等反 ［3 ］ 算出等效阻尼系数 ， 进而得到等效阻尼比。 多自由 度体系的模态阻尼比即为各阶模态的等效阻尼比 ， 其 隐含着耗能相等的物理本质。 此外， 通过模态变换能 够实现模态阻尼比与阻尼矩阵的相互转化 ， 因此， 阻 尼矩阵和模态阻尼比被作为度量结构阻尼性能的两 ［4 ］ 种基本途径 。下面从这两个方面出发， 寻求描述 S / RC 结构阻尼性能的合理模型， 并从理论上对模型的 物理意义和应用基础进行分析。 1． 1 阻尼矩阵 S / RC 混合结构的质量和刚度矩阵可由相应的子 R． W． Clough 等也按该方式构造了如式 （ 2 ） 结构合成， ［4 ］ 所示的 S / RC 阻尼矩阵 。 子结构的阻尼矩阵 C c 和 C s 可由一般的阻尼模型构造形成， 如 Rayleigh 阻尼、 Caughey 阻尼、 Clough 阻尼等， 由于 Rayleigh 阻尼应用 最为广泛， 因而以此构建的阻尼矩阵具有良好的应用 基础。汤燕波以该分块 Rayleigh 阻尼矩阵对标准 S / RC 框架和一个实际的 S / RC 工程结构进行分析， 初步 检验了该模型的适用性 。 C c1 C = C c2 + C s1 0
［10 ］
以及耗能比
［1112 ］
。 振型比和质量比虽然表
1
S / RC 结构阻尼模型
达简单， 但其物理意义不明确。 耗能比为损耗总能量 该表述不涉及具体能量形式， 和储存总能量的比值， 因而适用于包含不同耗能形式的耦合体系 ， 比如土结 土体呈黏滞耗能特征， 而结构以滞回耗 构耦合体系， 以该表达式进行计算能够得到耗能相等的等 能为主， 效阻尼比。 式（ 3 ） 所示的模态应变能比实质为耗能比 的 特 例， 其只是将能量的形式限定为弹性应变能， 即结构 消耗的弹性应变能与储存的弹性应变能的比值 。 其 K j 表示产生 j 模态位移时， 中， 各点上施加的外力为 K j ， 再将（ K j ） 点乘 j 后， j （ K j ） / 2 即表示这些外 力在相应模态位移上所做的功， 也就是 j 模态下的体 系应变能。
摘要： 下部混凝土结构与上部钢结构串联形成竖向混合结构 （ 以下简称 S / RC 结构） ， 由于建筑和结构上优势 ， 该结 构体系已在国内重大工程中得以应用 。 S / RC 体系上、 下部分材料不同， 整体结构的阻尼参数难以确定 ， 工程设计 被迫采用钢材和混凝土两种不同阻尼参数进行计算 。从阻尼矩阵和模态阻尼比两个方面研究分块 Rayleigh 模型和 模态应变能模型这两个阻尼模型 ， 并从理论上对模型的物理意义和应用基础进行分析 。 之后， 以 12 层 RC 框架和 12 层 S / RC 框架的振动台试验为基础 ， 从频域和时域两个层面对两个阻尼模型的有效性进行检验 。结果表明， 分块 Rayleigh 模型的阻尼矩阵为非比例阻尼 ， 其难以用于常规的模态分析 。 模态应变能阻尼模型具有耗能等效的物理 概念， 且该模型在时域和频域内均具有更高的预测精度 ， 建议在 S / RC 结构抗震分析中采用。 关键词： 竖向混合结构； 阻尼特性； 模态应变能； Rayleigh 阻尼； 复模态
第 45 卷第 3 期 2 0 1 2 年3 月
土
木
工
程
学
报
CHINA CIVIL ENGINEERING JOURNAL
Vol． 45 Mar．
No． 3 2012
钢和混凝土竖向混合结构阻尼特性研究
吕西林
1
张
杰
2
（ 1． 同济大学土木工程防灾国家重点实验室 ，上海 200092 ； 2． 上海嘉定轨道交通建设投资有限公司，上海 201800 ）
Abstract： This paper presents an appropriate representation of the damping behavior of vertical structures with upper steel and lower concrete components （ S / RC structure ） ． Two types of models are selected theoretically for the damping behavior of S / RC frames，which include an equivalent damping ratio model based on the dissipated energy of Modal Strain Energy （ MSE ） and a damping matrix model directly assembled by Rayleigh damping matrices for steel and concrete components． A 12story S / RC frame and a 12story RC frame are then designed and tested on the shaking table． Based on these tests， two expressions for measuring the damping behavior for the steel and the concrete component within the S / RC frame are derived， and the expressions are employed to form the damping expression for the S / RC frame in accordance with both of the damping models，respectively． Comparing the damping behavior represented by the two models with that identified in the shaking table tests for the S / RC frame，the damping models are assessed both in frequency domain and in time domain． The conclusions are therefore obtained based on theoretical analyses and experimental evaluation． The first model on assembled Rayleigh damping is not applicable to conventional modal analyses due to its nonproportional characteristics． The second damping model is formed on equivalence of the dissipated MSE of structure which embodies the essence of damping． In comparison with the test results，the second model gives better predictions on the damping behavior of the S / RC frame in both domains than the first damping model． In addition， complex modal analyses are used to predict seismic responses of the S / RC frame to exclude the errors due to nonproportional damping in conventional modal analyses． Keywords： vertical structure； damping behavior； modal strain energy； Rayleigh damping； complex mode Email： jiezhang000@ gmail． com 应影响明显， 阻尼参数取值直接关系到结构设计。 上 部钢结构与下部混凝土结构串联形成竖向混合结构 ， 该结构体系沿竖向变化的抗侧刚度能够较好适应结 构的变形需求， 并且钢结构可以实现上部楼层的大空 间， 满足建筑功能的要求， 因此 S / RC 结构体系在武汉 证券大厦、 上海民生银行大厦等国内重大工程中得到 应用
［1 ］
引
言
阻尼性能对结构弹性以及弹塑性阶段的动力响
基金项目： 国家自然科学基金重大研究项目 （ 90815029 ） 作者简介： 吕西林， 博士， 教授 0722 收稿日期： 2010-
。由于结构中上、 下部分材料不同， 其阻尼性
第 45 卷
第3 期
吕西林等·钢和混凝土竖向混合结构阻尼特性研究
· 11 ·
［1314 ］
， 其将隔震体系按阻尼性能差异分为墩
柱和支座， 然后取模态应变能为权函数计算等效的整 体阻尼比。 此 外， 随着竖向混合结构工程实践的增 多， 该表达式也被尝试用于该结构体系阻尼性能 的 ［1516 ］ 。 确定
+ 中图分类号： TU398 ． 9
TU317 + ． 1
文献标识码： A
131X（ 2012 ） 03001007 文章编号： 1000-
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Damping behavior of vertical structures with upper steel and lower concrete components
能存在差异， 这使得整体结构的阻尼性能难以估计， 工程设计被迫采用钢材和混凝土材料的阻尼参数分 别计算， 而后取其响应包络进行结构设计， 这将不可 避免造成浪费。 本文从阻尼矩阵和模态阻尼比两个 通过对模 方面寻求适合 S / RC 混合结构的阻尼模型， 型进行理论分析和试验检验， 以确定 S / RC 结构阻尼 。 性能最合理的表达方式
N T K］ ξ i ｛ ｝ j ［ ∑ i ｛ ｝ j i =1 N
为了反映弹性阶段体系耗能， 阻尼项被引入动力 任何符合耗能非负的函数都可以被 方程。理论上讲， 用来描述体系的阻尼性能， 使体系由封闭的保守系统 ［2 ］ 黏滞阻 扩展为非保守系统 。 由于数学处理的方便， 尼模型得到了广泛的工程应用， 由该模型形成的动力 方程如式（ 1 ） 所示。
Lu Xilin1 Zhang Jie2
（ 1． State Key Laboratory of Disaster Reduction in Civil Engineering，Tongji University，Shanghai 200092 ，China； 2． Shanghai Jiading MTR Construction ＆ Investment Co．，Ltd．，Shanghai 201800 ，China）
ξj ' =
（ 3）
｛ ｝ ∑ i =1
T j
［ K］ i ｛ ｝ j
式中： ξ j ' 为 j 模态的等效阻尼比； ξ i 为第 i 个单元的阻 K］ 尼比； ｛ ｝ j 表示 j 模态的位移向量； ［ i 表示第 i 个 单元的抗侧刚度。 模态应变能模型反映了耗能相等的物理本质 ， 该 模型被美国、 日本的规范建议用于隔震结构等效阻尼 比的确定
的处理方式将不可避免产生误差 。 1． 2 模态阻尼比 模态阻尼比是度量结构阻尼性能的理想方式 ， 因 为由试验测得模态阻尼比包括了结构所有形式的耗 ［7 ］ 能， 充分体现了阻尼耗能的本质 。 对于本文所述的 其模态阻尼比可由子结构阻尼比加权 混合结构体系， ［8 ］ ［9 ］ ， 得到 可用的权函数包括振型比 ， 质量比 ， 模态应 变能比
· m·· x + c·· x + k ·x = F （ t ）
（ 1）
与刚度 k 和质量 m 不同， 阻尼系数 c 无法由物理 密度、 弹性模量等 ） 直接计算得到， 而是通 指标（ 尺寸、 过体系实际耗能与假想的黏滞阻尼体系耗能相等反 ［3 ］ 算出等效阻尼系数 ， 进而得到等效阻尼比。 多自由 度体系的模态阻尼比即为各阶模态的等效阻尼比 ， 其 隐含着耗能相等的物理本质。 此外， 通过模态变换能 够实现模态阻尼比与阻尼矩阵的相互转化 ， 因此， 阻 尼矩阵和模态阻尼比被作为度量结构阻尼性能的两 ［4 ］ 种基本途径 。下面从这两个方面出发， 寻求描述 S / RC 结构阻尼性能的合理模型， 并从理论上对模型的 物理意义和应用基础进行分析。 1． 1 阻尼矩阵 S / RC 混合结构的质量和刚度矩阵可由相应的子 R． W． Clough 等也按该方式构造了如式 （ 2 ） 结构合成， ［4 ］ 所示的 S / RC 阻尼矩阵 。 子结构的阻尼矩阵 C c 和 C s 可由一般的阻尼模型构造形成， 如 Rayleigh 阻尼、 Caughey 阻尼、 Clough 阻尼等， 由于 Rayleigh 阻尼应用 最为广泛， 因而以此构建的阻尼矩阵具有良好的应用 基础。汤燕波以该分块 Rayleigh 阻尼矩阵对标准 S / RC 框架和一个实际的 S / RC 工程结构进行分析， 初步 检验了该模型的适用性 。 C c1 C = C c2 + C s1 0
［10 ］
以及耗能比
［1112 ］
。 振型比和质量比虽然表
1
S / RC 结构阻尼模型
达简单， 但其物理意义不明确。 耗能比为损耗总能量 该表述不涉及具体能量形式， 和储存总能量的比值， 因而适用于包含不同耗能形式的耦合体系 ， 比如土结 土体呈黏滞耗能特征， 而结构以滞回耗 构耦合体系， 以该表达式进行计算能够得到耗能相等的等 能为主， 效阻尼比。 式（ 3 ） 所示的模态应变能比实质为耗能比 的 特 例， 其只是将能量的形式限定为弹性应变能， 即结构 消耗的弹性应变能与储存的弹性应变能的比值 。 其 K j 表示产生 j 模态位移时， 中， 各点上施加的外力为 K j ， 再将（ K j ） 点乘 j 后， j （ K j ） / 2 即表示这些外 力在相应模态位移上所做的功， 也就是 j 模态下的体 系应变能。
摘要： 下部混凝土结构与上部钢结构串联形成竖向混合结构 （ 以下简称 S / RC 结构） ， 由于建筑和结构上优势 ， 该结 构体系已在国内重大工程中得以应用 。 S / RC 体系上、 下部分材料不同， 整体结构的阻尼参数难以确定 ， 工程设计 被迫采用钢材和混凝土两种不同阻尼参数进行计算 。从阻尼矩阵和模态阻尼比两个方面研究分块 Rayleigh 模型和 模态应变能模型这两个阻尼模型 ， 并从理论上对模型的物理意义和应用基础进行分析 。 之后， 以 12 层 RC 框架和 12 层 S / RC 框架的振动台试验为基础 ， 从频域和时域两个层面对两个阻尼模型的有效性进行检验 。结果表明， 分块 Rayleigh 模型的阻尼矩阵为非比例阻尼 ， 其难以用于常规的模态分析 。 模态应变能阻尼模型具有耗能等效的物理 概念， 且该模型在时域和频域内均具有更高的预测精度 ， 建议在 S / RC 结构抗震分析中采用。 关键词： 竖向混合结构； 阻尼特性； 模态应变能； Rayleigh 阻尼； 复模态
第 45 卷第 3 期 2 0 1 2 年3 月
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CHINA CIVIL ENGINEERING JOURNAL
Vol． 45 Mar．
No． 3 2012
钢和混凝土竖向混合结构阻尼特性研究
吕西林
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（ 1． 同济大学土木工程防灾国家重点实验室 ，上海 200092 ； 2． 上海嘉定轨道交通建设投资有限公司，上海 201800 ）
Abstract： This paper presents an appropriate representation of the damping behavior of vertical structures with upper steel and lower concrete components （ S / RC structure ） ． Two types of models are selected theoretically for the damping behavior of S / RC frames，which include an equivalent damping ratio model based on the dissipated energy of Modal Strain Energy （ MSE ） and a damping matrix model directly assembled by Rayleigh damping matrices for steel and concrete components． A 12story S / RC frame and a 12story RC frame are then designed and tested on the shaking table． Based on these tests， two expressions for measuring the damping behavior for the steel and the concrete component within the S / RC frame are derived， and the expressions are employed to form the damping expression for the S / RC frame in accordance with both of the damping models，respectively． Comparing the damping behavior represented by the two models with that identified in the shaking table tests for the S / RC frame，the damping models are assessed both in frequency domain and in time domain． The conclusions are therefore obtained based on theoretical analyses and experimental evaluation． The first model on assembled Rayleigh damping is not applicable to conventional modal analyses due to its nonproportional characteristics． The second damping model is formed on equivalence of the dissipated MSE of structure which embodies the essence of damping． In comparison with the test results，the second model gives better predictions on the damping behavior of the S / RC frame in both domains than the first damping model． In addition， complex modal analyses are used to predict seismic responses of the S / RC frame to exclude the errors due to nonproportional damping in conventional modal analyses． Keywords： vertical structure； damping behavior； modal strain energy； Rayleigh damping； complex mode Email： jiezhang000@ gmail． com 应影响明显， 阻尼参数取值直接关系到结构设计。 上 部钢结构与下部混凝土结构串联形成竖向混合结构 ， 该结构体系沿竖向变化的抗侧刚度能够较好适应结 构的变形需求， 并且钢结构可以实现上部楼层的大空 间， 满足建筑功能的要求， 因此 S / RC 结构体系在武汉 证券大厦、 上海民生银行大厦等国内重大工程中得到 应用
［1 ］
引
言
阻尼性能对结构弹性以及弹塑性阶段的动力响
基金项目： 国家自然科学基金重大研究项目 （ 90815029 ） 作者简介： 吕西林， 博士， 教授 0722 收稿日期： 2010-
。由于结构中上、 下部分材料不同， 其阻尼性
第 45 卷
第3 期
吕西林等·钢和混凝土竖向混合结构阻尼特性研究
· 11 ·
［1314 ］
， 其将隔震体系按阻尼性能差异分为墩
柱和支座， 然后取模态应变能为权函数计算等效的整 体阻尼比。 此 外， 随着竖向混合结构工程实践的增 多， 该表达式也被尝试用于该结构体系阻尼性能 的 ［1516 ］ 。 确定
+ 中图分类号： TU398 ． 9
TU317 + ． 1
文献标识码： A
131X（ 2012 ） 03001007 文章编号： 1000-
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Damping behavior of vertical structures with upper steel and lower concrete components
能存在差异， 这使得整体结构的阻尼性能难以估计， 工程设计被迫采用钢材和混凝土材料的阻尼参数分 别计算， 而后取其响应包络进行结构设计， 这将不可 避免造成浪费。 本文从阻尼矩阵和模态阻尼比两个 通过对模 方面寻求适合 S / RC 混合结构的阻尼模型， 型进行理论分析和试验检验， 以确定 S / RC 结构阻尼 。 性能最合理的表达方式
N T K］ ξ i ｛ ｝ j ［ ∑ i ｛ ｝ j i =1 N
为了反映弹性阶段体系耗能， 阻尼项被引入动力 任何符合耗能非负的函数都可以被 方程。理论上讲， 用来描述体系的阻尼性能， 使体系由封闭的保守系统 ［2 ］ 黏滞阻 扩展为非保守系统 。 由于数学处理的方便， 尼模型得到了广泛的工程应用， 由该模型形成的动力 方程如式（ 1 ） 所示。
Lu Xilin1 Zhang Jie2
（ 1． State Key Laboratory of Disaster Reduction in Civil Engineering，Tongji University，Shanghai 200092 ，China； 2． Shanghai Jiading MTR Construction ＆ Investment Co．，Ltd．，Shanghai 201800 ，China）