鲁教版数学八年级上5.15.2《平行四边形》测试(含答案解析)

平行四边形
时间：100分钟总分：100
题号一二三四总分
得分
一、选择题〔本大题共8小题，共32.0分〕
1.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，增加以下条件，
不一定能得出BE//DF的是()
A. AE=CF
B. BE=DF
C. ∠EBF=∠FDE
D. ∠BED=∠BFD
2.以下选项中，平行四边形不一定具有的性质是()
A. 两组对边分别平行
B. 两组对边分别相等
C. 对角线互相平分
D. 对角线相等
3.▱ABCD中，E，F的对角线BD上不同的两点，以下条件中，不能得出四边形AECF
一定为平行四边形的是()
A. BE=DF
B. AE=CF
C. AF//CE
D. ∠BAE=∠DCF
4.平行四边形具有的特征是()
A. 四个角都是直角
B. 对角线相等
C. 对角线互相平分
D. 四边相等
5.如图，在▱ABCD中，∠A=45∘，AD=4，点M、N分别是边AB、BC上的动点，
连接DN、MN，点E、F分别为DN、MN的中点，连接EF，那么EF的最小值为( )
D. 2√2
A. 1
B. √2
C. √2
2
6.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点
O，假设AC=8，BD=10，AB=6，那么△OAB的周长
为()
A. 12
B. 13
C. 15
D. 16
7.如图，▱ABCD的面积为20，点E，F，G为对角线AC
的四等分点，连接BE并延长交AD于H，连接HF并延
长交BC于点M，那么△BHM的面积为()
C. 4
D. 5
A. 10
B. 20
3
第 1 页
8.以下四组条件中，不能断定四边形ABCD是平行四边形的是()
A. AB//DC，AD=BC
B. AB//DC，AB=DC
C. AB//DC，AD//BC
D. AB=DC，AD=BC
二、填空题〔本大题共10小题，共30.0分〕
9.在平行四边形ABCD中，∠A−∠B=60∘，那么∠C=______．
10.如图，▱ABCD中，AB=AC，DE⊥AC，垂足为点E.假设
∠BAC=50∘，那么∠ADE的度数为______．
11.如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点且AE=CF，在①BE=DF；
②BE//DF；③AB=DE；④四边形EBFD为平行四边形；⑤S△ADE=S△ABE；
⑥AF=CE这些结论中正确的选项是______．
12.如图，AD//BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还
需要添加的条件是______(只需写出一个即可)
13.用40cm长的绳子围成一个平行四边形，使其相邻两边的长度比为3：2，那么较短
边的长度为______
14.在四边形ABCD中，给出以下条件：①AB//CD；②AD=BC；③∠A=∠C；
④AD//BC，选其中两个条件就能判断四边形ABCD是平行四边形的组合是______(
写出一组符合条件的组合)．
15.如图，在▱ABCD中，∠D=100∘，∠DAB的平分线AE交
DC于点E，连接BE.假设AE=AB，那么∠EBC的度数为
______．
16.在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，
过点O的直线分别交AD、BC于点M、N.假设△CON的
面积为2，△DOM的面积为3，那么△AOB的面积为
______．
17.如图，▱ABCD中，∠B=60∘，AB=3，BC=4，折叠▱ABCD
使C落在A处，折痕为EF，点E、F分别在BC、AD上，
那么AF=______．
18.平行四边形的周长是60cm，长边比短边长5cm，那么短边是______cm．
三、计算题〔本大题共1小题，共8.0分〕
19.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=45∘，E、F分别在CD和BC的延长线上，
AE//BD，∠EFC=30∘，AB=2.求CF的长．
四、解答题〔本大题共3小题，共30.0分〕
20.如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，
且AB=AE．
(1)求证：△ABC≌△EAD；
(2)假设AE平分∠DAB，∠EAC=25∘，求∠AED的度
数．
21.：如图，E，F为▱ABCD对角线AC上的两点，且AE=
CF，连接BE，DF，求证：BE=DF．
22.如图，E、F是▱ABCD对角线AC上的两点，且BE//DF．
求证：(1)△ABE≌△CDF；
(2)∠1=∠2．
答案、解析
答案
1. B
2. D
3. B
4. C
5. B
6. C
7. B
8. A
9. 120∘
10. 25∘
11. ①②④⑤⑥
12. AD=BC或AB//CD
13. 8cm
14. ①④或②④(答案不唯一)
15. 30∘
16. 5
17. 13
5
18. 25
2
19. 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=DC，
∵AE//DB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=DE=CD，即D为CE中点，
∵AB=2，
∴CE=4，
∵AB//CD，
∴∠ECF=∠ABC=45∘，
过E作EH⊥BF于点H，
∵CE=4，∠ECF=45∘，
∴EH=CH=2√2，
第 3 页
∵∠EFC =30∘， ∴FH =2√6，
∴CF =2√2+2√6．
20. (1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD//BC ，AD =BC ． ∴∠DAE =∠AEB ． ∵AB =AE ， ∴∠AEB =∠B ． ∴∠B =∠DAE ．
∵在△ABC 和△AED 中，{AB =AE
∠B =∠DAE AD =BC ，
∴△ABC≌△EAD ．
(2)解：∵AE 平分∠DAB ， ∴∠DAE =∠BAE ； 又∵∠DAE =∠AEB ， ∴∠BAE =∠AEB =∠B ． ∴△ABE 为等边三角形． ∴∠BAE =60∘． ∵∠EAC =25∘， ∴∠BAC =85∘． ∵△ABC≌△EAD ，
∴∠AED =∠BAC =85∘．
21. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB//DC ，AB =DC ． ∴∠BAE =∠DCF ．
在△AEB 和△CFD 中，{AB =CD
 ∠BAE =∠DCF
 AE =CF
， ∴△AEB≌△CFD(SAS)． ∴BE =DF ．
22. 证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB =CD ，AB//CD ， ∴∠BAE =∠DCF ， ∵BE//DF ，
∴∠BEF =∠DFE ， ∴∠AEB =∠CFD ，
∴△ABE≌△CDF(AAS)．
(2)∵△ABE≌△CDF ， ∴BE =DF ， ∵BE//DF ，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴∠1=∠2．
解析
1. 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
A、∵AE=CF，
∴DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE//DF，故本选项能断定BE//DF；
B、∵BE=DF，
∴四边形BFDE是等腰梯形，
∴本选项不一定能断定BE//DF；
C、∵AD//BC，
∴∠BED+∠EBF=180∘，∠EDF+∠BFD=180∘，
∵∠EBF=∠FDE，
∴∠BED=∠BFD，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE//DF，故本选项能断定BE//DF；
D、∵AD//BC，
∴∠BED+∠EBF=180∘，∠EDF+∠BFD=180∘，
∵∠BED=∠BFD，
∴∠EBF=∠FDE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE//DF，故本选项能断定BE//DF．
应选：B．
由四边形ABCD是平行四边形，可得AD//BC，AD=BC，然后由AE=CF，∠EBF=∠FDE，∠BED=∠BFD均可断定四边形BFDE是平行四边形，那么可证得BE//DF，利用排除法即可求得答案．
此题考察了平行四边形的断定与性质.注意根据题意证得四边形BFDE是平行四边形是关键．
2. 解：A、两组对边分别平行，平行四边形一定具有的性质，故此选项错误；
B、两组对边分别相等，平行四边形一定具有的性质，故此选项错误；
C、对角线互相平分，平行四边形一定具有的性质，故此选项错误；
D、对角线相等，平行四边形不具有的性质，故此选项正确；
应选：D．
根据平行四边形的定义和性质进展解答即可．
此题主要考察了平行四边形的性质，关键是掌握：
(1)平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
(2)平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等.②角：平行四边形的对角相等.③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
3. 解：如图，连接AC与BD相交于O，
在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD，
要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到
OE=OF即可；
A、假设BE=DF，那么OB−BE=OD−DF，即
OE=OF，故本选项不符合题意；
B、假设AE=CF，那么无法判断OE=OE，故本选项符合题意；
C、AF//CE可以利用“角角边〞证明△AOF和△COE全等，从而得到OE=OF ，故本选
第 5 页
项不符合题意；
D、∠BAE=∠DCF可以利用“角角边〞证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF=BE，然后同A，故本选项不符合题意；
应选：B．
连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE=OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．
此题考察了平行四边形的断定与性质，纯熟掌握平行四边形的断定方法是解题的关键．4. 解：平行四边形的对角线互相平分．
应选：C．
根据平行四边形的性质即可判断．
此题考察平行四边形的性质，解题的关键是记住平行四边形的性质，属于中考常考题型．5. 解：如图，连接DM，
∵E、F分别为DN、MN的中点，
∴EF=1
2
DM，
∴EF的最小值，就是DM的最小值，
当DM⊥AB时，DM最小，
Rt△ABG中，∠A=45∘，AD=4，
∴DM=√2
2
AD=2√2，
∴EF=1
2
DM=√2，
∴EF的最小值是√2．
应选：B．
连接DM，利用三角形中位线定理，可知EF=1
2
DM，求出DM的最小值即可求出EF
的最小值．
此题考察平行四边形的性质、三角形的中位线定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，此题的打破点是确定EF的最小值，就是DM的最小值．
6. 解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=8，BD=10，AB=6，
∴OA=1
2AC=4，OB=1
2
BD=5，
∴△OAB的周长为：AB+OA+OB=6+4+5=15．
应选：C．
由四边形ABCD是平行四边形，且AC=8，BD=10，AB=6，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OA与OB的长，继而可求得答案．
此题考察了平行四边形的性质.此题比拟简单，注意掌握数形结合思想的应用．
7. 解：连接CH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴△AEH∽△CEB，△AFH∽△CFM，
∵点E，F，G为对角线AC的四等分点，
∴AE：EC=1：3，AF：FC=1：1，
∴AH：BC=AE：EC=1：3，AH：CM=AF：FC=1：1，
∴CM=AH，
∴CM：BC=1：3，
∴BM：BC=2：3，
∵▱ABCD的面积为20，
∴S△BCH=1
2S▱ABCD=1
2
×20=10，
∴S△BHM=2
3S△BCH=20
3
．
应选B．
首先连接CH，由四边形ABCD是平行四边形，可证得△AEH∽△CEB，△AFH∽△CFM，然后根据相似三角形的对应边成比例，求得BM：BC=2：3，继而求得答案．
此题考察了平行四边形的性质以及相似三角形的断定与性质.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
8. 解：A、∵AB//CD，AD=BC，
∴四边形ABCD可能是平行四边形，有可能是等腰梯形．
应选项A不可以判断四边形ABCD是平行四边形
B、根据平行四边形的断定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，应选项B可以判断四边形ABCD是平行四边形；
C、根据平行四边形的断定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，应选项C 可以判断四边形ABCD是平行四边形；
D、根据平行四边形的断定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，应选项D 可以判断四边形ABCD是平行四边形；
应选：A．
根据平行四边形的5个判断定理：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作出判断．
此题主要考察了平行四边形的断定定理，解题关键是准确无误的掌握平行四边形的断定定理，难度一般．
9. 解：在平行四边形ABCD中，∠A+∠B=180∘，
又有∠A−∠B=60∘，
把这两个式子相加相减即可求出∠A=∠C=120∘，
故答案为：120∘．
利用平行四边形的邻角互补，和∠A−∠B=60∘，就可建
立方程求出两角．
此题考察了平行四边形的性质：邻角互补，对角相等，建立方程组求解．
10. 解：
∵AB=AC，∠BAC=50∘，
∴∠B=∠ACB=65∘，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B+∠DAB=180∘，
∴∠DAB=115∘，
∴∠DAC=65∘，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE=90∘−65∘=25∘，
故答案为：25∘．
由平行四边形的性质和等腰三角形的性质可求出∠DAE的度数，再由三角形内角和定理即可求出∠ADE的度数．
此题考察了平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的运用，纯熟掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
第 7 页
11. 解：
连接BD交AC于O，过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥AC于N，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=BO，OA=OC，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE=DF，BE//DF，∴①正确；②正确；④正确；
∵根据不能推出AB=DE，∴③错误；
∵BN⊥AC，DM⊥AC，
∴∠BNO=∠DMO=90∘，
在△BNO和△DMO中
{∠BNO=∠DMO ∠BON=∠DOM OB=OD
∴△BNO≌△DMO(AAS)，∴BN=DM，
∵S△ADE=1
2×AE×DM，S△ABE=1
2
×AE×BN，
∴S△ADE=S△ABE，∴⑤正确；
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，∴⑥正确；
故答案为：①②④⑤⑥．
连接BD交AC于O，过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥AC于N，推出OE=OF，得出平行四边形BEDF，求出BN=DM，即可求出各个选项．
此题考察了全等三角形的性质和断定，平行四边形的性质和断定的综合运用，主要考察学生的推理才能和辨析才能．
12. 解：∵在四边形ABCD中，AD//BC，
∴可添加的条件是：AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．
故答案为：AD=BC或AB//CD．
AD//BC，可根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形来断定，也可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形来断定．
此题主要考察学生对平行四边形的断定方法的理解才能，常用的平行四边形的断定方法有：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
13. 解：设长边为3xcm，那么短边长为2xcm；
根据题意得：2(2x+3x)=40，
解得：x=4，
∴较短边为2×4=8(cm)．
故答案为8cm；
根据平行四边形的对边相等的性质，设长边为3xcm，那么短边长为2xcm，根据题意列出方程，解方程即可．
第 9 页
此题考察了平行四边形的对边相等的性质；解题的关键是根据性质，找到等量关系，列出方程．
14. 解：由①④，可以推出四边形ABCD 是平行四边形，由②④也可以提出四边形ABCD 是平行四边形．
故答案为①④或②④.(答案不唯一) 根据平行四边形的断定方法即可判断；
此题考察平行四边形的断定，记住平行四边形的断定方法是解决问题的关键． 15. 解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠ABC =∠D =100∘，AB//CD ， ∴∠BAD =180∘−∠D =80∘， ∵AE 平分∠DAB ，
∴∠BAE =80∘÷2=40∘， ∵AE =AB ，
∴∠ABE =(180∘−40∘)÷2=70∘， ∴∠EBC =∠ABC −∠ABE =30∘； 故答案为30∘．
由平行四边形的性质得出∠ABC =∠D =100∘，AB//CD ，得出∠BAD =180∘−∠D =80∘，
由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABE =70∘，即可得出∠EBC 的度数． 此题主要考察了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形和内角和定理等知识；关键是掌握平行四边形对边平行，对角相等．
16. 解：∵四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 交于点O ， ∴四边形ABCD 是中心对称图形， ∴△CON≌△AOM ， ∴S △AOD =3+2=5， 又∵OB =OD ，
∴S △AOB =S △AOD =5． 故答案为：5．
由于四边形ABCD 是平行四边形，得出△CON≌△AOM ，如今可以求出S △AOD ，再根据O 是DB 中点就可以求出S △AOB ．
平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的中心，也是两条对角线的中点，平行四边形被对角线分成的四局部的面积相等，并且经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成完全重合的两个图形． 17. 解：连接AC 、CF ．
由题意四边形AECF 是菱形，设AF =CF =CE =AE =x ， 在Rt △ABH 中，AB =3，∠B =60∘， ∴BH =3
2，AH =3√32
，
∴EH =x +32−4=x −5
2，
在Rt △AEH 中，∵AH 2+EH 2=AE 2， ∴(
3√32
)2
+(x −5
2)2=x 2，
∴x =
135
，
故答案为13
5．
连接AC 、CF.由题意四边形AECF 是菱形，设AF =CF =CE =AE =x ，在Rt △ABH 中，AB =3，∠B =60∘，可得BH =3
2，AH =
3√3
2
，推出EH =x +32−4=x −5
2
，在Rt △AEH 中，根据AH 2+EH 2=AE 2，列出方程即可解决问题．
此题考察翻折变换、平行四边形的性质、勾股定理、菱形的断定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 18. 解：设短边长为xcm ，那么长边长为(x +5)cm ， ∵平行四边形的对边相等， ∴2(x +x +5)=60， 解得x =
252
．
所以短边是25
2cm ． 故填空答案：25
2．
假设设短边长为xcm ，那么长边长为(x +5)cm ，根据周长公式列出方程2(x +x +5)=60，解方程就可以求出短边．
此题主要考察了平行四边形的根本性质，并利用性质解题.平行四边形根本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．
19. 首先证明四边形ABDE 是平行四边形，可得AB =DE =CD ，即D 为CE 中点，然后再得CE =4，再利用三角函数可求出HF 和CH 的长即可．
此题主要考察了平行四边形的断定与性质，以及三角函数的应用，关键是掌握平行四边形对边相等．
20. 从题中可知：
(1)△ABC 和△EAD 中已经有一条边和一个角分别相等，根据平行的性质和等边对等角得出∠B =∠DAE 即可证明．
(2)根据全等三角形的性质，利用平行四边形的性质求解即可．
主要考察了平行四边形的根本性质和全等三角形的断定及性质.断定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ． 21. 证明△AEB≌△CFD ，即可得出结论．
此题考察平行四边形的性质和全等三角形的断定与性质；纯熟掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
22. 此题主要考察平行四边形的性质和三角形全等的断定，需要纯熟掌握并灵敏运用． (1)根据平行四边形的性质得到AB =CD ，∠BAE =∠DCF ，再根据BE//DF 得到∠BEF =
∠DFE ，所以它们的邻补角相等，三角形全等；
(2)由三角形全等得到BE =DF ，所以四边形BFDE 是平行四边形，根据对角相等即可得证．。