山东省菏泽市曹县一中2016-2017学年高二(上)第一次月考数学试卷

2016-2017学年山东省菏泽市曹县一中高二（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=（）
A．B．C．D．
2．在△ABC中，若B=120°，则a2+ac+c2﹣b2的值（）
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不确定
3．△ABC中，a=，b=，sinB=，则符合条件的三角形有（）
A．1个B．2个C．3个D．0个
4．在等比数列{a n}中，若a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两根，则a6的值是（）A．3 B．±3
C．D．以上答案都不对
5．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若直线bx+（a﹣c）y+1=0与直线（a﹣b）x﹣（a+c）y+1=0垂直，则角C的大小为（）
A．B．C．D．
6．等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且，则（）A．B．C．D．
7．在首项为81，公差为﹣7的等差数列{a n}中，最接近零的是第（）项．
A．11 B．12 C．13 D．14
8．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=18﹣a5，则S8=（）
A．18 B．36 C．54 D．72
9．在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．若acosA=bsinB，则sinAcosA+cos2B=（）
A．﹣B．C．﹣1 D．1
10．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正
整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA：sinB：sinC为（）
A．4：3：2 B．5：6：7 C．5：4：3 D．6：5：4
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确的答案填在题中的横线上）
11．在等腰三角形ABC中，已知sinA：sinB=1：2，底边BC=10，则△ABC的周长是．12．数列{a n}的通项公式为a n=，已知它的前n项和S n=6，则项数n等于：．
13．等比数列{a n}的前n项和为S n，公比不为1．若a1=1，且对任意的n∈N+都有a n
+2+a n
+1
﹣2a n=0，则S5=．
14．等差数列{a n}中，若a1+a4+a7=15，a3+a6+a9=3，则S9=．
15．甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正在向北行驶，若甲船的速度是乙船的倍，则甲船应取北偏东θ方向前进，才能尽快追上乙船，此时θ=．
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．在△ABC中，如果lga﹣lgc=lgsinB=﹣lg，且B为锐角，则三角形的形状是．17．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知3cos（B﹣C）﹣1=6cosBcosC．（1）求cosA；
（2）若a=3，△ABC的面积为，求b，c．
18．已知数列{a n}，a1=1．以后各项由a n=a n
﹣1
+（n≥2）给出．
（1）写出数列{a n}的前5项；
（2）求数列{a n}的通项公式．
19．在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；
（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．
20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N*，数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N*．
（1）求a n，b n；
（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．
21．祖国大陆开放台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务．某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元．设f（n）表示前n年的纯收入（f（n）=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额）（Ⅰ）从第几年开始获取纯利润？
（Ⅱ）若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万元美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案最合算？
2016-2017学年山东省菏泽市曹县一中高二（上）第一次月考
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=（）
A．B．C．D．
【考点】正弦定理．
【分析】结合已知，根据正弦定理，可求AC
【解答】解：根据正弦定理，，
则
故选B
2．在△ABC中，若B=120°，则a2+ac+c2﹣b2的值（）
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不确定
【考点】余弦定理．
【分析】直接利用余弦定理，化简求解即可．
【解答】解：由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB=a2+ac+c2，
所以a2+ac+c2﹣b2=0．
故选：C．
3．△ABC中，a=，b=，sinB=，则符合条件的三角形有（）
A．1个B．2个C．3个D．0个
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】根据sinB的值，求得cosB的值，进而利用余弦定理建立等式求得c的值，根据c的解得个数来判断符合条件的三角形的个数．
【解答】解：∴sinB=，
∴cosB=±=±
①当cosB=时，cosB===，
∴整理可得c2﹣c+2=0，求得c=有两个解，
②当cosB=﹣时，cosB===﹣，
整理得c2+c+2=0，求得c=＜0，与c＞0矛盾．
综合可知，c=，
即这样的三角形有2个．
故选B．
4．在等比数列{a n}中，若a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两根，则a6的值是（）A．3 B．±3
C．D．以上答案都不对
【考点】等比数列的性质．
【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得a3•a9=3，再由等比数列的定义和性质可得a3•a9==3，由此解得a6的值．
【解答】解：等比数列{a n}中，若a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两根，则由一元二次方程根与系数的关系可得a3•a9=3，a6
再由等比数列的定义和性质可得a3•a9==3，解得a6=，
故选C．
5．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若直线bx+（a﹣c）y+1=0与直线（a﹣b）x﹣（a+c）y+1=0垂直，则角C的大小为（）
A．B．C．D．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】由直线bx+（a﹣c）y+1=0与直线（a﹣b）x﹣（a+c）y+1=0垂直，推导出a2+b2﹣c2=ab，由此利用余弦定理能求出cosC，能求出∠C．
【解答】解：∵△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，
直线bx+（a﹣c）y+1=0与直线（a﹣b）x﹣（a+c）y+1=0垂直，
∴b（a﹣b）+（a﹣c）=0，
整理，得a2+b2﹣c2=ab，
∴cosC==，
∴∠C=．
故选：B．
6．等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且，则（）A．B．C．D．
【考点】等差数列的性质．
【分析】根据等差数列的性质知，求两个数列的第五项之比，可以先写出两个数列的前9项之和之比，代入数据做出比值．
【解答】解：∵等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，
，
====
故选D．
7．在首项为81，公差为﹣7的等差数列{a n}中，最接近零的是第（）项．
A．11 B．12 C．13 D．14
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由a1=81，d=﹣7，得到a n=81+（n﹣1）×（﹣7）=88﹣7n，由a n=88﹣7n≥0，能求出最接近零的项．
【解答】解：∵a1=81，d=﹣7，
∴a n=81+（n﹣1）×（﹣7）=88﹣7n，
由a n=88﹣7n≥0，
解得n，
∴最接近零的是第13项，
故选C．
8．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=18﹣a5，则S8=（）
A．18 B．36 C．54 D．72
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由等差数列的性质可得a1+a8=a4+a5=18，代入求和公式可得．
【解答】解：由题意可得a4+a5=18，
由等差数列的性质可得a1+a8=a4+a5=18，
∴S8===72
故选：D
9．在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．若acosA=bsinB，则sinAcosA+cos2B=（）
A．﹣B．C．﹣1 D．1
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】利用三角形中的正弦定理，将已知等式中的边用三角形的角的正弦表示，代入要求的式子，利用三角函数的平方关系求出值．
【解答】解：∵acosA=bsinB
由正弦定理得sinAcosA=sinBsinB
∴sinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B=1
故选D
10．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA：sinB：sinC为（）
A．4：3：2 B．5：6：7 C．5：4：3 D．6：5：4
【考点】正弦定理的应用．
【分析】由题意可得三边即a、a﹣1、a﹣2，由余弦定理可得cosA=，再由3b=20acosA，可得cosA=，从而可得=，由此解得a=6，可得三边长，根据sinA：sinB：sinC=a：b：c，求得结果．
【解答】解：由于a，b，c 三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，可设三边长分别为a、a﹣1、a﹣2．
由余弦定理可得cosA===，
又3b=20acosA，可得cosA==．
故有=，解得a=6，故三边分别为6，5，4．
由正弦定理可得sinA：sinB：sinC=a：b：c=a：（a﹣1）：（a﹣2）=6：5：4，
故选D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确的答案填在题中的横线上）
11．在等腰三角形ABC中，已知sinA：sinB=1：2，底边BC=10，则△ABC的周长是50．
【考点】三角形中的几何计算．
【分析】先利用正弦定理，将角的正弦之比转化为边长之比，求得AC长，从而由等腰三角形性质得AB长，最后三边相加即可得△ABC的周长
【解答】解：设BC=a，AB=c，AC=b
∵sinA：sinB=1：2，由正弦定理可得：
a：b=1：2，
∵底边BC=10，即a=10，∴b=2a=20
∵三角形ABC为等腰三角形，且BC为底边，
∴b=c=20
∴△ABC的周长是20+20+10=50
故答案为50
12．数列{a n}的通项公式为a n=，已知它的前n项和S n=6，则项数n等于：48．【考点】数列的求和．
【分析】先对数列的通项化简，分母有理化，a n=，累加求和，即可求解．【解答】解：由题意，∵a n=，
∴a n=，
∴S n=﹣1，
∵S n=6，
∴﹣1=6，解得n=48，
故答案为：48．
13．等比数列{a n}的前n项和为S n，公比不为1．若a1=1，且对任意的n∈N+都有a n
+2+a n
+1
﹣2a n=0，则S5=11．
【考点】等比数列的性质；数列的求和．
【分析】由题意可得a n q2+a n q=2a n ，即q2+q=2，解得q=﹣2，或q=1（舍去），由此求得S5=的值．
【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且对任意的n∈N+都有a n
+2+a n
+1
﹣
2a n=0，∴a n q2+a n q=2a n ，
即q2+q=2，解得q=﹣2，或q=1（舍去）．
∴S5==11，
故答案为11．
14．等差数列{a n}中，若a1+a4+a7=15，a3+a6+a9=3，则S9=27．
【考点】等差数列的性质．
【分析】由题意可得a4=5，a6=1，进而可得a5=3，而S9=9a5，计算可得．【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a4+a7=3a4=15，
a3+a6+a9=3a6=3，解之可得a4=5，a6=1，
故a4+a6=6，即2a5=6，a5=3，
故S9===27
故答案为：27
15．甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正在向北行驶，若甲船的速度是乙船的倍，则甲船应取北偏东θ方向前进，才能尽快追上乙船，此时θ=30°．
【考点】正弦定理．
【分析】根据题意画出图形，求出∠CAB与∠B的度数，设出追上乙船的时间，表示出BC与AC，在三角形ABC中，利用正弦定理列出关系式，即可求出θ的度数．
【解答】解：根据题意得：∠CAB=60°﹣θ，∠B=120°，设追上乙船的时间为x，则有BC=x，AC=x，
在△ABC中，利用正弦定理=，即=，
∴=sin（60°﹣θ），即sin（60°﹣θ）=，
∴60°﹣θ=30°，即θ=30°．
故答案为：30°
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．在△ABC中，如果lga﹣lgc=lgsinB=﹣lg，且B为锐角，则三角形的形状是等腰直角三角形．
【考点】正弦定理；对数的运算性质．
【分析】由已知得sinB=，=，由此能推导出△ABC为等腰直角三角形，【解答】解：∵lgsinB=﹣lg
sinB=，
∵B为锐角，
∴B=45°．
又∵lga﹣lgc═﹣lg，∴=．
由正弦定理，得=，
∴sinC=2sinA=2sin，
即sinC=sinC+cosC，
∴cosC=0，∴C=90°，
故△ABC为等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形．
17．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知3cos（B﹣C）﹣1=6cosBcosC．（1）求cosA；
（2）若a=3，△ABC的面积为，求b，c．
【考点】余弦定理；诱导公式的作用；两角和与差的余弦函数；正弦定理．
【分析】（1）利用两角和与差的余弦函数公式化简已知等式左边的第一项，移项合并后再利用两角和与差的余弦函数公式得出cos（B+C）的值，将cosA用三角形的内角和定理及诱导公式变形后，将cos（B+C）的值代入即可求出cosA的值；
（2）由cosA的值及A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将已知的面积及sinA的值代入，得出bc=6，记作①，再由a及cosA的值，利用余弦定理列出关于b与c的关系式，记作②，联立①②即可求出b与c的值．
【解答】解：（1）3cos（B﹣C）﹣1=6cosBcosC，
化简得：3（cosBcosC+sinBsinC）﹣1=6cosBcosC，
变形得：3（cosBcosC﹣sinBsinC）=﹣1，
即cos（B+C）=﹣，
则cosA=﹣cos（B+C）=；
（2）∵A为三角形的内角，cosA=，
∴sinA==，
又S
△ABC
=2，即bcsinA=2，解得：bc=6①，
又a=3，cosA=，
∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：b2+c2=13②，
联立①②解得：或．
18．已知数列{a n}，a1=1．以后各项由a n=a n
﹣1
+（n≥2）给出．（1）写出数列{a n}的前5项；
（2）求数列{a n}的通项公式．
【考点】数列递推式．
【分析】（1）由a1=1及递推公式a n=a n
﹣1
+写出前5项即可；
（2）由a n=a n
﹣1+可得a n﹣a n
﹣1
==﹣，从而解得．
【解答】解：（1）a1=1，a2=a1+=，
a3=a2+=，
a4=a3+=，
a5=a4+=；
（2）∵a n=a n
﹣1
+，∴a2﹣a1=1﹣，
a3﹣a2=﹣，
a4﹣a3=﹣，
…，
a n﹣a n
==﹣，
﹣1
故a n﹣a1=1﹣+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）
=1﹣，
故a n=2﹣=．
19．在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；
（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质．
【分析】（Ⅰ）直接由已知条件a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列列式求出公差，则通项公式a n可求；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列{a n}的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得，即，整理得d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．
当d=﹣1时，a n=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．
当d=4时，a n=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．
所以a n=﹣n+11或a n=4n+6；
（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，a n=﹣n+11．
则当n≤11时，．
当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=﹣S n+2S11=．
综上所述，
|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=．
20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N*，数列{b n}满足a n=4log2b n+3，
n∈N*．
（1）求a n，b n；
（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．
【考点】数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定．
可【分析】（Ⅰ）由S n=2n2+n可得，当n=1时，可求a1=3，当n≥2时，由a n=s n﹣s n
﹣1
求通项，进而可求b n
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，利用错位相减可求数列的和
【解答】解：（Ⅰ）由S n=2n2+n可得，当n=1时，a1=s1=3
=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1
当n≥2时，a n=s n﹣s n
﹣1
而n=1，a1=4﹣1=3适合上式，
故a n=4n﹣1，
又∵a n=4log2b n+3=4n﹣1
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
2T n=3×2+7×22+…+（4n﹣5）•2n﹣1+（4n﹣1）•2n
∴
=（4n﹣1）•2n
=（4n﹣1）•2n﹣=（4n﹣5）•2n+5
21．祖国大陆开放台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务．某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元．设f（n）表示前n年的纯收入（f（n）=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额）（Ⅰ）从第几年开始获取纯利润？
（Ⅱ）若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48
万元美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案最合算？【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（I）弄清纯利润就是纯收入大于零的关系，将纯收入表示为年份n的表达式，注意等差数列知识的运用，通过求解不等式得出开始获得纯利润的年份；
（II）通过比较法得出哪种方案最合算，关键要得出每种方案获得的利润和年份的关系，用到求函数最值的思想和方法．
【解答】解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，
设纯利润与年数的关系为f（n），
则
（I）纯利润就是要求f（n）＞0，∴﹣2n2+40n﹣72＞0，
解得2＜n＜18．由n∈N知从第三年开始获利．
（II）①年平均利润=．当且仅当n=6时取等号．
故此方案先获利6×16+48=144（万美元），此时n=6，
②f（n）=﹣2（n﹣10）2+128．当n=10时，f（n）max=128．
故第②种方案共获利128+16=144（万美元），
故比较两种方案，获利都是144万美元．
但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①方案．
2017年4月2日。