有关矩阵最小多项式的探讨

编号：09005110201
南阳师范学院2013届毕业生
毕业论文（设计）
题目：关于矩阵最小多项式的探讨
完成人：李菊花
班级：2009-02
学制： 4 年
专业：数学与应用数学
指导教师：袁玉卓
完成日期：2013-04-12
目录
摘要 (1)
0引言 (1)
1预备知识 (1)
2矩阵最小多项式的求法 (2)
2.1利用不变因子求矩阵最小多项式 (3)
2.2利用特征函数求矩阵的最小多项式 (4)
2.3利用Jordan标准型计算矩阵的最小多项式 (5)
3 矩阵最小多项式的应用 (7)
3.1矩阵最小多项式在矩阵运算中的应用 (7)
3.1.1已知方阵A和多项式()
f A (7)
fλ，求().
3.1.2A为方阵确定()
f A的逆 (8)
f A非奇异及求()
3.2矩阵最小多项式在矩阵相似中的应用 (10)
3.3矩阵最小多项式在微分方程组中的应用 (12)
参考文献 (13)
Abstract (14)
关于矩阵最小多项式的探讨
作者：李菊花
指导老师：袁玉卓
摘要：总结矩阵最小多项式的若干求法，并举例说明了矩阵最小多项式在代数问题、常微分方程组求解问题上的应用.
关键词：矩阵;最小多项式;最小多项式的应用
0引言
在《高等代数》教材中，对矩阵最小多项式的概念有所阐述，但对其求法和应用讨论较少.事实上，矩阵的最小多项式在判断矩阵相似、若当标准型、矩阵函数、矩阵方程和研究线性变换的结构中都有极为重要的应用，也是现在研究矩阵最小多项式的主要方向之一.目前，国内很多学者对矩阵最小多项式的求法已有较深入的研究.为了更好地掌握矩阵最小多项式的求法，挖掘其应用价值，本文给出了矩阵最小多项式的若干求法，并举例说明了最小多项式的相关应用.
1预备知识
为了叙述的需要,我们首先引入以下符号.
[]
Cλ表示复数域C上的一元多项式环.
()
M C表示C上的全体n阶矩阵对矩阵的加法与数乘矩阵运算构成的向n
量空间.
()
fλ表示方阵A的特征多项式.
A
()
mλ表示方阵A的最小多项式.
A
为了便于证明，有必要引入矩阵最小多项式的相关概念.
定义1[]
1 设A ∈()n
M
C ，()[]f C λλ∈，若()f A =0，则称()f λ为A 的零化
多项式.
定义2[]
1 在A 的零化多项式中，次数最低的首项系数是1的多项式称为
A
的最小多项式，记作()A
m λ.
引理1
[]
2 若当块
()
00010001000
1
k k k
c
c J C
c c ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
的最小多项式为
()()
()
k
k
J
C m c λλ=-.若当块的最小多项式恰好是其特征多项式时，
()()()
||k
k f E J C c λλλ=-=-.
引理 2[]4
相似矩阵有相同的最小多项式，即若
A
相似于B ，则
()()A B m m λλ=.
引理3[]2
任取
()n
M
C 中的
k
阶可逆矩阵
A
，设其最小多项式为
()1
11n n A n n m b b b λλλ
λ--=++++ ，则
1
A
-的最小多项式是
1
111.n
n n n
n
n
b b b b b λλ
λ--+
+++
引理4[]5
设A =()
12
,,...,s diag A A
A ，记A 的最小多项式为()A
m λ，i
A 的最小
多项式为()i
A m λ，1,2,...,,i s =则()()()()1
2
,,...,s
A
A A A m m m m λλλλ⎡
⎤=⎣⎦
. 引理 5[]
1()
A f λ的根必是()A
m λ的根.
2 矩阵最小多项式的求法
在给出了矩阵的最小多项式的相关概念之后，我们容易得到以下几种
计算矩阵最小多项式的方法. 2.1利用不变因子求矩阵最小多项式
定理1[]6
n 阶复数矩阵A 的最小多项式()A
m λ就是A 的最后一个不变因
子()n
d λ.
证明 任取()n
M C 中矩阵A ，则A 相似于某一个若当块()n
J M C ∈.
其中，
()()()()1122,,...,,s s J diag J J J λλλ=
由引理2知， ()().A J m m λλ=
（1）
又由引理4， ()()()()12,,...,s J J J J m m m m λλλλ⎡⎤
=⎣⎦
（2）
再有引理1，
(),1,2,...,.i
i
k J i m i s λλ=-=
（3）
其中，i
k 是()i
i
J λ的阶数，i λ是i
J 主对角线的元素，
结合（1），（2），（3）得：
()()()()()()()()12
1212,,...,,,...,s
k
k k
A J J J J s s m m m m m λλλλλλλλλλλ⎡⎤
===---⎡⎤⎣⎦⎣
⎦
.
由引理4及初等因子的概念，()J
m λ是各若当块的初等因子（即A 的初等因子组）的最小公倍式，恰好等于从各组同底初等因子中抽取次数最高的一个作乘积的结果.根据用初等因子组确定不变因子的方法知()()J
n
m d λλ=，
()()()
A J n m m d λλλ==.
由定理1得出求()A
m λ的步骤如下： （1）首先，求出矩阵A 的特征多项式()A
f λ.
（2）其次，求出矩阵A 的各阶行列式因子.
（3）最后，利用不变因子与行列式因子之间的关系求出矩阵A 的最后一个不变因子即为矩阵A 的最小多项式()A
m λ.
由定理1可以得到计算矩阵A 最小多项式的第一种方法，即通过求矩阵
A
的最后一个不变因子()n
d λ，得到矩阵A 的最小多项式.
例1
求矩阵A =2
1101111
1-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝
⎭
的最小多项式.
解 矩阵A 特征多项式为：
()
()()22
1
1||0
112111
1A f E A λλ
λλλλλ--⎛⎫
⎪
=-=--=-- ⎪ ⎪--⎝
⎭
. 各阶行列式因子分别为：
()()()
2
3||21D E A λλλλ=-=--，()2
1D λ=，()1
1D λ=.
则有
()()()
()()
()
()()
()()
2
231123121,1,21D D d D d d D D λ
λ
λ
λλλλλλλ===
==
=--.
于是
()A f E A
λλ=-
⇔
()()
2
100010
00
21λλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝
⎭
.
由于E A λ-的不变因子即为
A
的不变因子，从而有定理1知，
()A f E A λλ=-的最后一个不变因子()()
2
21λλ--就是A 的最小多项式，即
()()()
2
21A m λλλ=--.
注 由例1可以看出运用定理1求矩阵的最小多项式有以下特点： (1)优点: 具有普遍适用性.
(2)缺点: 由于该方法结合了矩阵的初等因子、行列式因子等的计算，计算过程比较复杂.
为了减少运算，我们能否从矩阵的特征多项式出发，不用计算矩阵A 的各阶行列式因子以及利用不变因子与行列式因子之间的关系，得出求解矩阵的最小多项式的方法呢？下面我们先介绍一下另一个定理. 2.2利用特征多项式求矩阵最小多项式
定理2[]7
若矩阵A 的特征多项式
()()
()
()
1
2
12||...l
m m m A l f E A λλλλλλλλ=-=---
其中1
2,,...,l λ
λλ为A
的所有互不相同的特征值，且1
2,,...,l m
m m 均大于等于
1，则 ()()()
()
1
2
12...l
n n n A l m λλλλ
λλλ=---，其中1,1,2,...,i
i n
m i l
≤≤=.
由此定理2得出求()A
m λ的步骤如下： (1)首先求出矩阵A 的特征多项式()A
f λ.
(2)其次将()A
f λ分解不同的一次因式的幂积.
(3)最后取包含一切不同的一次因式的幂积,由低次像高次逐一试验，求出使
A
零化的次数最低的这样的幂积即为()A
m λ.
由定理2可以得到计算矩阵A 的最小多项式的第二种方法，即通过计算矩阵A 的特征多项式，并分解成含()()()1
2
s
λλλλλλ--- 的形式，通过检测，
可以得到矩阵A 的最小多项式.
例2
求矩阵20011111
3A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝
⎭
的最小多项式. 解 矩阵A 的特征多项式为：
()
()32
||1
11211
3A f E A λλ
λλλλ-⎛⎫
⎪
=-=---=-
⎪ ⎪--⎝
⎭
.
矩阵A 的最小多项式为：
()()2,1 3.k
A m k λλ=-≤≤
由于
()
2
000
0000021
110,21111110.11
111
11
1
1A E A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
-=-≠-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭
⎝
⎭⎝⎭
且 所以2,
k
=故A 的最小多项式为：
()()2
2.A m λλ=-
注 由代数基本定理，我们知道
()
A f λ在复数域C 上肯定可以作标准分
解，但是有时候做标准分解时有一定的难度，也有一定的技巧.那么有没有较易的方法来计算矩阵的最小多项式呢？下面是计算矩阵的最小多项式的另外一种方法.
2.3利用Jordan 标准型计算矩阵的最小多项式
北大教材《高等代数》第七章中关于矩阵的最小多项式有这样一个定理，现叙述如下：
定理3[]5
设A 是一个准对角矩阵
1
200
A A A ⎛⎫=
⎪⎝⎭
并设1
A 的最小多项式为()1
A m λ，2
A 的最小多项式为()2
A m λ，那么
A
的最小多项式为()1
A m λ，()2A m λ的最小公倍式()()12
,A A m m λλ⎡⎤⎣⎦
. 这个结论可以推广到A 为若干个矩阵组成的准对角的情形，即如果
12
S A A A A ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
i A 的最小多项式为()i
A
m λ，其中1,2,i s = ，那么
A
的最小多项式为
()()()()12,,...,s A A A A m m m m λλλλ⎡⎤
=⎣⎦
.
从上述定理和推论中，我们可以得出利用Jordan 标准型计算矩阵最小多项式的步骤如下：
(1)将矩阵A 化成若干个矩阵组成的准对角的形式. (2)分别求出各个分块矩阵的最小多项式.
(3)求出各个分块矩阵的最小多项式的最小公倍式，即为矩阵A 的最小多项式.
由定理3及其推广我们可以得到计算矩阵A 的最小多项式的第三种方法，即只要求出矩阵A 的分块矩阵i
A 的最小多项式()i
A m λ，然后求出它们的
最小公倍式，即为矩阵A 的最小多项式.
例3
设2
0000120000
120000010000
1
1A ⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
，求矩阵A 的最小多项式()A
m λ.
解 设12A A A ⎛⎫=
⎪⎝
⎭，其中12001200
1
2A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
，2
1
011A
⎛⎫= ⎪⎝⎭
.
因Jordan 矩阵1
A 的最小多项式为
()()
1
3
2A
m λλ=-.
Jordan
矩阵2
A 的最小多项式为
()()
2
2
1A
m λλ
=-.
故由上述定理可得矩阵A 的最小多项式为
()()
()2
3
12.A m λ
λλ
=--
从例3中可以看出，用Jordan 标准型计算矩阵的最小多项式虽然比较容易计算，但是运算量比较大.那么计算矩阵的最小多项式还有其它的方法呢？
目前计算矩阵A 的最小多项式的方法有四种，第一种是利用矩阵A 的最后一个不变因子，第二种是利用矩阵矩阵A 的特征多项式的标准分解，第三种是利用Jordan 标准型，第四种是利用矩阵A 的幂系列的相关性.上面给出了求矩阵A 的最小多项式的前三种最常用的方法.最后一种方法在此不再论述.当给出一个矩阵A 要求计算其最小多项式的时候，我们要灵活地选择计算矩阵A 最小多项式的方法.这样不仅可以有效地达到预计目的，而且可以大大地减少运算过程.我们知道矩阵的最小多项式在研究线性变换的结构及矩阵的对角化方面起着十分重要的作用，然而它在实际运算中有哪些作用呢？下面从三个方面简要叙述.
3 矩阵最小多项式的应用
我们在矩阵的最小多项式的相关概念以及两种基本求法的基础上，进一步探讨矩阵的最小多项式，简要地总结出了矩阵的最小多项式在矩阵函数、矩阵相似和微分方程组中的相关应用.下面从这三个角度逐一论述. 3.1 矩阵最小多项式矩阵运算中的应用 3.1.1已知方阵A 和多项式()f λ，求().f A
设()f λ是任意多项式，()A
m λ为方阵A 的最小多项式，有带余除法知，
用()A
m λ除()f λ，得到商式
()q λ
和余式()r λ，即
()()()()()()()()()()
0.A A f q m r r m r λλλλλλλ=+∂<∂=
或
由哈密顿-凯莱定理可知
()0,A f A =
再由引理5得出
()0,A m A =
因此
()()()()().A f
A q A m A r A r A =+=
由此看出，由()r A 来求()f
A 要比直接计算()f A 简单些.下面通过实际
运算来体现矩阵A 的最小多项式在求矩阵函数中的作用.
例4设()9
7
6
4
3
2
2241211f λλ
λλλλλλ
=-++--+
1020
1101
0A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝
⎭
求()f A .
解 矩阵A 的特征多项式为：
()
()()23
1
2||0
11112 1.01
A f E A λλ
λλλλλλλλ--⎛⎫
⎪=-=+-=-+-=-+ ⎪ ⎪-⎝
⎭
因为()A f λ没有重根，故()()3
2 1.A
A m f λλλλ=
=-+
由带余除法得：
()()()().A f q m r λλλλ=+
计算可知()2,r λλ=+因此：
()()()()()3
0220
11.01
2A f A q A m A r A r A A E ⎛⎫
⎪=+==+= ⎪ ⎪⎝
⎭
在利用矩阵的最小多项式求解矩阵函数时，从例4中可以看出，当多项式的次数比较高时，直接将A 带入()f λ求解()f A 运算量会很大，而由带余除法知利用最小多项式可以使()f λ的次数降到低于()A
m λ的次数，再将A
带入求解，从而简化了运算过程.
注 如果已知矩阵A 的特征多项式()A
f λ，而矩阵A 的最小多项式()
A
m λ尚未求出，为了求出()f A ，可以用()A
f λ除()f λ得到余式()r λ，此时依然有
()().f
A r A =
3.1.2A 为方阵确定()f A 非奇异及求()f A 的逆.(()f λ是多项式).
定理4[]7
设()A
m λ是方阵A 的最小多项式，()f λ是次数大于等于1的多
项式.
（1）若()()|A
f m λλ，则()f A 降秩（奇异）.
（2）若()()()(),,A
d f m λλλ=则秩()d A =秩()f A .
（3）()f A 非异的充要条件是()f λ、()A
m λ互质.
我们从以下两个例题来说明上述定理的简单应用.
例5 设多项式()6
5
4
2
2321f λλ
λλλλ=+-+-+，()4
3
2
223 2.g λλλλλ=-+--
矩阵20011111
3A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝
⎭
，试判断矩阵多项式()f A 和()g A 的奇异性，
并求出()g A 的秩.
解：由例2知，矩阵A 的最小多项式为：
()()2
2.A m λλ=-
由多项式理论求得()f λ和()A
m λ的最大公因式为：
()()()()1,1,A
d f m λλλ=
=
由定理3知，()f A 是非奇异矩阵.
()g λ
和()A m λ的最大公因式为：
()()()()2,2,A d g m λλλλ==-
由定理3知，()g A 是奇异矩阵，且秩()()g A =秩()()2
d A ，而
()22001000
0021
11201011111
300
11
1
1d A A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪=-=-=- ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭
.
显然，秩()()g A =秩()()
2
d A 1=.
从例5中我们可以得出：利用定理3可以判断矩阵多项式()f A 的奇异性并可以求出()f A 的秩.
在矩阵的运算中,求矩阵的逆一般是比较麻烦的,对于一些特殊的矩阵可以利用矩阵的最小多项式来化简.我们通过下面的例子来说明.
例6 设()3
2
682f λλ
λλ=+++
1
100
1410
4A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝
⎭
求()f A 的逆矩阵.
解 矩阵A 的特征多项式为：
()
()21
1
||0
143.10
4A f E A λλ
λλλλλ+-⎛⎫
⎪
=-=+-=+
⎪ ⎪-+⎝
⎭
所以()()3A
m λλλ=+或()()2
3.A
m λλλ=+
由于
()
21434280,21
4A A E
-⎛⎫ ⎪
+=--≠ ⎪ ⎪-⎝
⎭
故
()()2
3
2
369.A m λλλλλλ=+=++
易知
()()(),1,A
f m λλ=
于是存在()()[],,p q C λλλ∈使得
()()()() 1.A f p m q λλλλ+=
其中
()()()()2
2
11825,824.50
50
p q λ
λ
λλ
λ
λ=
++=
-
++
于是
()()()()A f
A p A m A q A E
+=
.
由于 ()0,A m A =
因此
()()()()()().A f
A p A m A q A E f
A p A E +=
⇔=
从而
()()()
1
2
18
64118254
1812.50
503
1
9f
A p A A
A E
-⎛⎫ ⎪==
++=⎡⎤⎣⎦
⎪ ⎪⎝⎭
在例6中，如果直接将A 带入()f λ求解()f A ，在求解()f A 的逆，虽然可以求出最终的结果，但是计算过程复杂繁琐的多.由此可以看出，利用矩阵最小多项式求解矩阵函数的逆，可以简化计算过程.
从以上的例题中，我们可以得出：矩阵最小多项式能起到简化多项式的作用.
3.2矩阵最小多项式在矩阵相似中的应用
由北大数学教材《高等代数》
[]
5第七章定理，我们知道 ：
数域p 上的n 级矩阵A 与对角阵相似的充要条件为A 的最小多项式是p 上的
互素的一次因式的乘积.
由此得出的推论如下：
推论1[]9
若A 的某一零化多项式没有重根，则A 与对角方阵相似，且对
角阵的元素都是此零化多项式的根.
证明 设多项式()f λ没有重根且()0f A =， 由于
()()|A m f
λλ (4)
故()A
m λ也没有重根，所以存在对角阵D ，使得
12
n A D λλλ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
则1
2,,...,n
λ
λλ都是A 的特征根,同时1
2,,...,n
λ
λλ 都是()A
m λ的根.
由(4)知1
2,,...,n
λ
λλ都是()f λ的根.
我们由北大数学教材《高等代数》[]5
第七章第九节中的推论可以知道：
复数矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是A 的最小多项式没有重根.有推论1可以判断方阵能否与对角阵相似.下面举例说明与对角矩阵相似的一些特殊矩阵.
例7 证明在以下三种条件下矩阵A 是否可以对角化. ()1;k
A
E = ()2
2;A
A =
()30, 1.k
A
k =>
证明（1）由于k
A
E
=，得到0
k
A E -=，取()1k
f λλ=-使A 零化. 由于
()1k f λλ=-无重根，故
12
n A D λλλ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
其中1,1,2,...,k i
i n
λ
==.
（2）由2
A
A
=，得2
A
A -=，故()()2
1f λλ
λλλ=-=-使A 零化.
由于()f λ没有重根，故
12
n A D λλλ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
，0,1,2,...,i
i n
λ
==.
（3）由于0,1k
A
k =>，故得()k
f λλ=为零化多项式.但是它有重根，由推论
2知A 不可对角化.
3.3矩阵最小多项式在微分方程组中的应用
在历年研究生入学考试中,对矩阵的最小多项式的考查综合性较强,能力要求较高,是个难点.下面通过线性微分方程组的定解问题和有关定理来说明矩阵的最小多项式在常微分方程组中的灵活运用.
在线性控制系统中，常常涉及求解线性微分方程组的问题，用矩阵函数理论给计算带来很大方便.对于一阶线性微分方程组的定解问题：
()00
|{
t t d X A X F t
d t
X X t ⎛⎫
⎪
⎝
⎭
==+=，其中()()()()()()
12,,,...,T
n n
ij
n A a C
X t x t x t x t ⨯=∈=
易得方程组的唯一解为：
()
()()
()00
0.t A t t A t t X e
X t e
F d τττ--=+
⎰
上述求解可归纳为A t
e 的计算，一般都用矩阵标准型来求解矩阵函数A t
e
或()f A t ,但是若矩阵A 与对角阵()1
2,,...n diag λ
λλ不相似，计算过程会很复杂.
如果运用矩阵的最小多项式理论，计算过程将大大简化.如何运用矩阵的最小多项式理论快速地求出基解矩阵呢？为此我们引入下述定理：
定理5 []10
若矩阵n n
A C
⨯∈的最小多项式()A
m λ为m 次多项式，
()()
()
()
1
2
12...l
n n n A l m λλλλλλλ=---，其中1
2,,...,l λ
λλ为A
的所有互不相同的特
征值，又与收敛的复变幂级数
()()0
k
k k f
Z t C t Z
∞
==∑
相应的()()0
k
k
k f A t C t A ∞
==∑是
A
的收敛幂级数，则()f A t 可表为A 的1m -次多项式，
并且
()()()()1
011.m m f
A t a t E a t A a t A
--=
+++
其中系数()0
a t ，()1a t ， ，()1
m a
t -由以下方程组确定：对()1,2,.i i l λ∀=
)()()()()()()()()()()()()()()()()1
0112
12311111
231|1!121|i i
i i m i m i i m m i i n m n i n i m i i
n a t a t a t f t d f t a t a t a t m a t d d f t n a t m m m n a t d λλλλλλλλλλλλλ---------⎧+++=⎪
⎪++++-==⎪⎨⎪⎪
⎪-++----==⎩
例8 求下列微分方程组的定解.
00,1,1
{T
d X A X d t
X ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
==
其中21101111
1A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝
⎭
解 有定解理论得出方程组的解为：
()0A t
X e
X =
其特征方程为
()()()
2
d et 21E A λλλ-=--.
易得矩阵的最小多项式
()()()2
21.A m λλλ=--
设()()()01A t
f A t e
a t E a t A ==+，得
201
1
2t
t
a a e a a
e +=+={
解之得：
20
212t t t t
a e e a e e =-=-{
则有
()()()222201223220
2.22t t
t
t
t t A t
t
t
t
t t t
t
t
e e
e
e e e e
f A t a t E a t A e
e e
e e e e
e
⎛⎫---
⎪==+=- ⎪ ⎪--⎝
⎭
故定解为：
()()2200,3,3.T
A t
t
t
t
t
X e
X e e e e
==--
从例8中我们可以看出，如果利用特征多项式来求解，由于特征多项式()()()2
21A
f λλλ=--.特征根有两个，且特征值1的次数为2，计算量显
然要比例题中的解法复杂.由此可见，用矩阵最小多项式计算微分方程组的标准矩阵和齐次线性微分方程组的初值问题能起到简化计算的目的. 此题通过利用矩阵的最小多项式灵活地求出了微分方程组的定解,体现了其在交叉学科中的重要地位.
参 考 文 献
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Discussion on Minimal Polynomial of Matrix
LI Ju-hua
Abstract: We summarize the approaches to minimal polynomial of a matrix. Examples about the minimal polynomial in solving algebra and ordinary differential system problems are explained to prove the Validity.
Key words: matrix; minimal polynomial; application of minimal polynomial.。