2021-2022年高考数学 考前15天专题突破系列——选择题解题方法突破

2021-2022年高考数学 考前15天专题突破系列——选择题解题方法突破
【方法一】直接法：
直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出选项“对号入座”，作出相应的选择. 涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.
例1 双曲线方程为，则它的右焦点坐标为 （ ）
A . B. C. D.
【特别提醒】（1）忽视双曲线标准方程的形式，错误认为；（2）混淆椭圆和双曲线标准方程中的关系，在双曲线标准方程中.
此题是有关圆锥曲线的基础题，将双曲线方程化为标准形式，再根据的关系求出，继而求出右焦点的坐标.
例 2阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的值等于（ ）
A .2 B.3 C.4 D.5
【解析】解：由程序框图可知，该框图的功能是输出使和
123122233211i S i =⋅+⋅+⋅++⋅>
时的的值加1，因为，，所以当时，计算到故输出的是4，答案选C.
【特别提醒】没有注意到的位置，错解.实际上 使得后加1再
输出，所以输出的是4.
【变式训练】 根据所示的程序框图（其中表示不大于的最大整数），输出（ ）. A . B. C.2 D.
例3.正方体-中，与平面所成角的余弦值为（ ）
A . B. C. D.
1222111311sin 60(2),2222
ACD ACD S AC AD a a S AC CD a =⋅=⨯⨯=⋅=,. 所以131
2
3,3ACD ACD S DD DO a S a ⋅=== 记与平面所成角为, 则,所以,故答案选D.
【特别提醒】直接法是解答选择题最常用的基本方法.直接法适用的范围很广，只要运算
正确必能得出正确的答案.平时练习中应不断提高直接法解选择题的能力.准确把握题目的特点，用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上，否则一味求快则会快中出错. 此题考查立体几何线面角的求解.通过平行直线与同一平面所成角相等的性质及转化后，只需求点到面的距离.
【方法二】特例法：
用特殊值代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.
例4：在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A(－4，0) 和C(4，0)，且顶点B在椭圆上，则（）
A. B. C.1 D.
例5已知函数=
lg,010
1
6,10
2
x x
x x
⎧<≤
⎪
⎨
-+>
⎪⎩
若均不相等，且，则的取值范围是（）
A.（1，10）
B.(5，6)
C.(10，12)
D.(20，24)
【解析】解：不妨设，取特例，如取，则易得，从而，故答案选C．
另解：不妨设，则由，再根据图像易得.实际上中较小的两个数互为倒数.
【特别提醒】此题是函数综合题，涉及分段函数，对数函数，函数图像变换，可结合图像，利用方程与函数的思想直接求解，但变量多，关系复杂，直接求解较繁，采用特例法却可以很快得出答案.
例6.…中的最大数为，最小数为.已知的三边边长为、、（）,定义它的倾斜度为max{,,}min{,,}
a b c a b c
t
b c a b c a
=⋅，则“”是“为等边三角形”的（）
A. 充分布不必要的条件
B.必要而不充分的条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
【特别提醒】当正确的选择对象在题设条件都成立的情况下，用特殊值（取的越简单越好）进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，是解答本类选择题的最佳策略.
【方法三】 排除法：
充分运用选择题中单选的特征（即有且只有一个正确选项），通过分析、推理、计算、判断，逐一排除，最终达到目的.
例7.下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（ ）
A . B.
C. D.
【解析】解：C 、D 中函数周期为2，所以错误.当时，，函数为减函数,而函数为增函数，所以答案选A.
例8.函数的图像大致是（ ）
【解析】解：因为当2或4时，，所以排除B 、C ；当-2时，
，故排除D ，所以答案选A.
例9 设函数()212
log 0log ()0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ， 若, 则实数的取值范围是（ ） A . B. C. D.
【解析】解：取验证满足题意，排除A 、D. 取验证不满足题意, 排除B.所以答案选C.
【特别提醒】排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选项范围内找出矛盾，这样逐步排除，直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题, 尤其是选项为范围的选择题的常用方法.
【方法四】 验证法：
将选项中给出的答案代入题干逐一检验，从而确定正确答案.
例10 将函数的图像向左平移个单位.若所得图像与原图像重合，则的值不可能．．．
等于（ ）
A .4 B.6 C.8 D.12
【解析】解：逐项代入验证即可得答案选B. 实际上，函数的图像向左平移个单位所得函数为()sin[()]2f x x πωϕ=+
+=
，此函数图像与原函数图像重合，即，于是为4的倍数.
【特别提醒】的图像向左平移个单位所得函数解析式，应将原解析式中的变为，图像左右平移或轴的伸缩变换均只对产生影响，其中平移符合左加右减原则，这一点需要对图像变换有深刻的理解.
例11设数列中，
， 则通项是（ ） A ． B ． C ． D ． 【解析】解：把代入递推公式得：，再把各项逐一代入验证可知，答案选D.
例12 下列双曲线中离心率为的是（ ）
A . B. C .
D.
【解析】解：依据双曲线的离心率，逐一验证可知选B.
【方法五】 图解法：
据题设条件作出研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确判断. 习惯上也叫数形结合法.
例13设函数，则在下列区间中函数不．
存在零点的是（ ） A . B.
C. D.
【解析】解：将的零点转化为函数()()()x
x
h
x
x
g=
+
=与
1
2
sin
4的交点，数形结合，答案选A.
【特别提醒】此题考查函数零点问题，可转化为两个熟悉函数的交点问题.画图时应注意两个函数在与选项有关的关键点（如分界点）的函数值大小关系.
例14.若曲线：与曲线：有4个不同的交点，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【解析】此题考查直线与曲线的公共点问题，应利用
数形结合的思想进行求解.
曲线：，图像为圆心为（1,0），半径为1的圆；曲线：，
或者，直线恒过定点，即曲线图像为轴与恒过定点的两条
直线。

作图分析：
，，又直线（或直线）、轴与圆共有四个不同的交点，
结合图形可知)
3
3
,0(
)0,
3
3
(
-
∈
=k
m
【特别提醒】（1）忽略曲线方程：表示的是两条直线（2）求直线与曲线相切时的值时不结合图像取值导致错误.
例15. 直线与圆心为D的圆
33cos
,([0,2))
13sin
x
y
θ
θπ
θ
⎧=+
⎪
∈
⎨
=+
⎪⎩
交于A、B两点，则直线AD 与BD的倾斜角之和为（）
A. B. C. D.
【解析】解：数形结合，设直线AD与BD的倾斜角分别为，则，
【方法六】分析法：
特征分析法：根据题目所提供的信息，如数值特征、结构特征、位置特征等，进行快速推理，迅速作出判断的方法.
例17.已知
342
sin,cos()
552
m m
m m
π
θθθπ
--
==<<
++
，则等于( )
A. B. C. D. 5
【解析】由于受条件的制约，为一确定的值，进而推知也为一确定的值，又，因而，故，所以答案选D.
【特别提醒】此题考查同角三角函数关系及半角公式，可先利用同角正余弦平方和为1求的值，再根据半角公式求，运算较复杂，试根据答案数值特征分析.
例18.当时，恒成立，则的一个可能值是（）
A. 5
B.
C.
D.-5
【方法七】估值法：
对于选项是数值的选择题，可以通过估计所要计算值的范围来确定唯一的正确选项.
例19.若，是第三象限的角， 则=（ ）
A . B. C. D.
【解析】根据单位圆估算, 所以答案选A .
【特别提醒】此题考查同角三角函数关系及两角和公
式，可根据角的范围先求出的正弦值，再根据两角和公式求.
例20. 已知过球面上三点的截面和球心的距离等于球
半径的一半，且，则球面面积是（ ）
A . B. C.
D.
【解析】球的半径不小于△的外接圆半径，
2216=4453
S R r ππππ≥=>球，所以答案选D. 【特别提醒】此题考查球的性质及球面面积公式，可先求截面圆半径，结合球心到截面的距离，利用勾股定理求出球半径，再求球面面积.
【方法八】逆推法：
假设选项正确，以部分条件作为已知条件进行推理，看是否能推出与已知条件矛盾的结论，从而找出正确答案.
例21.用表示两数中的最小值. 若函数的图像关于直线对称，则的值为（ ）.
A . B. C. D.
【特别提醒】此题考查对新定义符号的理解及图像的对称性，应考虑画图像，由于的值未知，图像不容易确定，所以从选项假设出发.
例22.在中，所对的边分别为，若，则是（ ）
A.等腰三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 锐角三角形
【解析】等边三角形是等腰三角形和锐角三角形的特殊情况，故先假设选项B
正确.此时,
，33sin sin 22311cos cos 22
A B A B ++==++，不满足题目条件，所以A ， B ，C 均不满足题意，故答案选C.
例23.平行四边形的周长等于，的内切圆半径等于，已知，则它的边长是（ ）. A . B.
C. D.
【特别提醒】逆推法常用于由题干条件直接推导结论较复杂的选择题，逆向思维，常结合逻辑法，排除法进行运用，是只适用于选择题的特殊方法. 与验证法不同的是它需要推理，且由条件得出的答案唯一.
【专题训练】
1．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方 程f (x )＝0在闭区间[－T ，T ]上的根的个数记为n ，则n 可能为 ( )
A ．0
B ．1
C ．3
D ． 5
解析：特例法，利用正弦函数图象验证．
答案：D
2．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－2x ＋sin 2x 的最小正周期是 ( )
A.π2 B ．π C．2π D．4π 解析：(代入法)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3
－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋ sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－f (x )，而f (x ＋π) ＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3－2x ＋π＋sin[2(x ＋π)]＝f (x )．所以应选B ； 另解： (直接法)y ＝32cos 2x －12
sin 2x ＋sin 2x ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，T ＝π，选B. 答案：B
3．若动点P 、Q 在椭圆9x 2＋16y 2
＝144上，且满足OP ⊥OQ ，则中心O 到弦PQ 的距 离OH 必等于 ( )
A.
203 B.234 C.125 D.415
解析：选一个特殊位置(如图)，令OP 、OQ 分别在长、短正半轴上，由a 2＝16，b 2
＝9得，OP ＝4，OQ ＝3，则OH ＝125
.根据“在一般情况下成立，则在特殊情况下也 成立”可知，答案C 正确．
答案：C
4．椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)，A ，B 是椭圆上的两点且OA ，OB 互相垂直，则1|OA |2 ＋1
|OB |2的值为 ( ) A.a 2＋b 2a 2b 2 B.a 2b 2
a 2＋
b 2
高&考%资(源#网 wxc C.1a 2
＋b 2 D ．不能确定 解析：取点A ，B 分别为长轴与短轴的两个端点，则|OA |＝a ，|OB |＝b ，所以1|OA |
2＋ 1|OB |2＝1a 2＋1
b 2＝a 2＋b 2
a 2
b 2. 答案：A
5．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π
7，则 ( )
A ．a <b <c
B ．a <c <b
C ．b <c <a
D ．b <a <c
6．设(1＋x ＋x 2)n
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a 2n x 2n
，若S ＝a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n ，则S 的值为 ( )
A ．2n
B ．2n
＋1 C.3n
－12 D.3n
＋1
2
解析：方法一：令x ＝1，得到3n
＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n .令x ＝－1，得到1＝a 0－a 1＋a 2－
a 3＋…＋a 2n .∴2S ＝3n ＋1.
方法二：(特值法)
令n ＝1,1＋x ＋x 2
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
，a 0＋a 2＝2.排除B 、C.令n ＝2,1＋2x ＋3x 2
＋2x 3
＋
x 4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，a 0＋a 2＋a 4＝5，排除A.
答案：D
7．已知定义在实数集R 上的函数y ＝f (x )恒不为零，同时满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且当
x >0时，f (x )>1，那么当x <0时，一定有 ( )
A ．f (x )<－1
B ．－1<f (x )<0
C ．f (x )>1
D ．0<f (x )<1
解析：取特殊函数．设f (x )＝2x
，显然满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )(即2x ＋y
＝2x ·2y
)，且
满足
x >0时，f (x )>1，根据指数函数的性质，当x <0时，0<2x <1，即0<f (x )<1.
答案：D
8．设全集I ＝{(x ，y )|x ，y ∈R}，集合P ＝{(x ，y )|y ＝x 2
＋2bx ＋1}，Q ＝{(x ，y )|y ＝2a (x ＋b )}，S ＝{(a ，b )|P ∩Q ＝∅}，则S 的面积是 ( ) A ．1 B ．π C．4 D ．2π
9．函数y ＝lg|x |
x
的图象大致是 ( )
解析：y ＝lg|x |
x
为奇函数，故排除B.
又当x ＝1时，y ＝0，故排除C. 又当x ＝10时，y ＝110
当x ＝100时，y ＝2100<1
10，故排除A.
答案：D
10. 与向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫72，12，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，－72的夹角相等，且模为1的向量是 ( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫4
5
，－35
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4
5，－35或⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35
C.⎝
⎛⎭⎪⎫22
3
，－13
D.⎝
⎛⎭⎪⎫
22
3
，－13或⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，13
解析：方法一：(直接法)
设所求向量e ＝(cos θ，sin θ)，则由于该向量与a ，b 的夹角都相等，故a ·e |a ||e |＝b ·e
|b ||e |
⇒a ·e ＝b ·e ⇒72cos θ＋12sin θ＝12cos θ－7
2sin θ⇒3cos θ＝－4sin θ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
sin θ＝－3
5cos θ＝4
5
，或⎩⎪⎨⎪⎧
sin θ＝3
5cos θ＝－4
5
可知B 选项成立，故选B.
方法二：(数形结合法) 画出a 、b 的草图．
然后画出⎝ ⎛⎭⎪⎫2
3
2，－13，显然它与a 、b 的夹角不相等，逐一排除，可选B.
方法三 (定性判断、验证法)若存在一向量c 与a 、b 的夹角相等，则－c 与a 、b 的 夹角也一定相等，故应有2个向量，排除A 、C ，
∵|a |＝|b |，∴若c 与a 、b 的夹角相等，由向量的夹角公式可得a ·c ＝b ·c ，显然
⎝ ⎛⎭⎪⎫72，12·⎝
⎛⎭⎪⎫232，－13≠⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－72·⎝ ⎛⎭⎪⎫322，－13，排除D.
答案：B
11．若等比数列的各项均为正数，前n 项的和为S ，前n 项的积为P ，前n 项倒数的和 为M ，则有 ( ) A ．P ＝S
M B ． P >S M
C ．P 2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫S M n D ．P 2
>⎝ ⎛⎭
⎪⎫S M n
q n (n －1)，而P 2＝a 2n 1q
n (n －1)，故有P 2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫S M n . 综上有P 2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫S M n .
方法二：特例检验法
取等比数列为常数列：1,1,1，…，则S ＝n ，P ＝1，M ＝n ，
显然P >S M
和P 2
>⎝ ⎛⎭
⎪⎫S M n 不成立，故选项B 和D 排除，这时选项A 和C 都符合要求． 再取等比数列：2,2,2，…，则S ＝2n ，P ＝2n
，M ＝n
2，
这时有P 2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫S M n ，而P ≠S M
，所以A 选项不正确，故选C.
答案：C
32508 7EFC 综 35464 8A88 誈 &n@28936 7108 焈P20899 51A3 冣•40376 9DB8 鶸t40014 9C4E 鱎。