常州市八年级上数学期末试卷

常州市八年级上数学期末试卷
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，把直线34y x =-+沿x 轴向左平移2个单位长度后，得到的直线函数表达式为（ ） A ．31y x =-+
B ．32y x =-+
C ．31y x =--
D ．32y x =--
2．下列志愿者标识中是中心对称图形的是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
3．在一次800米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程s （米）与各自所用时间t （秒）之间的函数图像分别为线段OA 和折线OBCD ，则下列说法不正确的是（ ）
A ．甲的速度保持不变
B ．乙的平均速度比甲的平均速度大
C ．在起跑后第180秒时，两人不相遇
D ．在起跑后第50秒时，乙在甲的前面
4．下列图形中的五边形ABCDE 都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．下列四组数，可作为直角三角形三边长的是
A ．456cm cm cm 、、
B ．123cm cm cm 、、
C ．234cm cm cm 、、
D ．123cm cm cm 、、
6．若点Α()m,n 在一次函数y=3x+b 的图象上,且3m-n>2,则b 的取值范围为 ( ) A ．b>2
B ．b>-2
C ．b<2
D ．b<-2
7．下列以a 、b 、c 为边的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A ．a ＝4，b ＝5，c ＝6
B ．a ＝5，b ＝6，c ＝8
C ．a ＝12，b ＝13，c ＝5
D ．a ＝1，b ＝1，c 3
8．下列电视台的台标中，是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．如图：若△ABE ≌△ACD ，且AB ＝6，AE ＝2，则EC 的长为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
10．下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
11．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 为AB 中点，若4AB =，则
CD =_______________.
12．下表给出的是关于某个一次函数的自变量x 及其对应的函数值y 的部分对应值， x … ﹣2 ﹣1 0 … y
…
m
2
n
…
则m +n 的值为_____．
13．已知实数x 、y 满足|3|20x y ++-=，则代数式()2019
x y +的值为______.
14．已知
113-=a b ，则分式232a ab b a ab b
+-=--__________． 15．如图，已知直线3y x b =+与2y ax =-的交点的横坐标为-2，则关于x 的不等式
32x b ax +>-的解集为______.
16．函数y 1=x+1与y 2=ax+b 的图象如图所示,那么,使y 1、y 2的值都大于0的x 的取值范围是______.
17．若函数y=kx +3的图象经过点（3，6），则k=_____．
18．下图所示的网格是正方形网格，BAC ∠________DAE ∠．（填“>”，“=”或“<”）
19．已知点M(-1,a)和点N(-2,b)是一次函数y=-2x+1图象上的两点,则a 与b 的大小关系是__________。

20．如图，点 P 是∠AOB 内一点，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，垂足分别为 E 、F ，若 PE ＝PF ，且∠OPF ＝72°，则∠AOB 的度数为__________．
三、解答题
21．先化简，再求值22
333
x x x x x ⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭，其中2x =-22．如图，一次函数1y x b =+的图像与x 轴y 轴分别交于点A 、点B ，函数1y x b =+，与24
3
y x =-
的图像交于第二象限的点C ，且点C 横坐标为3-. （1）求b 的值；
（2）当120y y <<时，直接写出x 的取值范围； （3）在直线24
3
y x =-上有一动点P ，过点P 作x 轴的平行线交直线1y x b =+于点Q ，当14
5
PQ OC =
时，求点P 的坐标.
23．数学概念：百度百科上这样定义绝对值函数：y ＝│x │＝,(0)
,(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩
并给出了函数的图像（如图）．
方法迁移
借鉴研究正比例函数y ＝kx 与一次函数y ＝kx ＋b （k ，b 是常数，且k ≠0）之间关系的经验，我们来研究函数y ＝│x ＋a │（a 是常数）的图像与性质． “从‘1’开始”
我们尝试从特殊到一般，先研究当a ＝1时的函数y ＝│x ＋1│． 按照要求完成下列问题：
（1）观察该函数表达式，直接写出y 的取值范围；
（2）通过列表、描点、画图，在平面直角坐标系中画出该函数的图像． “从‘1’到一切”
（3）继续研究当a 的值为－2，－1
2
，2，3，…时函数y ＝│x ＋a │的图像与性质， 尝试总结：
①函数y ＝│x ＋a │（a ≠0）的图像怎样由函数y ＝│x │的图像平移得到？ ②写出函数y ＝│x ＋a │的一条性质． 知识应用
（4）已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是函数y ＝│x ＋a │的图像上的任意两点，且满足x 1＜x 2≤－1时， y 1＞y 2，则a 的取值范围是 ． 24．解方程 3
(1)8x -=-
25．如图，在△ABC 中，AD 是高，E 、F 分别是AB 、AC 的中点． （1）AB ＝12，AC ＝9，求四边形AEDF 的周长； （2）EF 与AD 有怎样的位置关系？证明你的结论．
四、压轴题
26．阅读并填空：
如图，ABC 是等腰三角形，AB AC =，D 是边AC 延长线上的一点，E 在边AB 上且联接DE 交BC 于O ，如果OE OD ，那么CD BE =
，为什么？
解：过点E 作EF AC 交BC 于F
所以ACB EFB ∠=∠（两直线平行，同位角相等）
D OEF ∠=∠（________） 在OCD 与OF
E △中
()________COD FOE OD OE
D OEF ⎧∠=∠⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
所以OCD OFE △≌△，（________） 所以CD FE =（________） 因为AB AC =（已知） 所以ACB B =∠∠（________） 所以EFB B ∠=∠（等量代换） 所以BE FE =（________） 所以CD BE =
27．学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL ”）后，我们继续对“两个三角形满足两边的其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． （初步思考）
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． （深入探究）
第一种情况：当∠B 是直角时，△ABC ≌△DEF ．
（1）如图①，在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ＝90°，根据______，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF ．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是钝角．求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是锐角．请你用直尺在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等，并作简要说明．
28．如图1，在等边△ABC中，E、D两点分别在边AB、BC上，BE=CD，AD、CE相交于点F．
（1）求∠AFE的度数；
（2）过点A作AH⊥CE于H，求证：2FH+FD=CE；
（3）如图2，延长CE至点P，连接BP，∠BPC=30°，且CF=2
9
CP，求
PF
AF
的值．
（提示：可以过点A作∠KAF=60°，AK交PC于点K，连接KB）
29．如图，直线l1的表达式为：y=-3x+3，且直线l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线l2的解析表达式；
（3）求△ADC的面积；
（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，求点P的坐标．
30．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝2x +6与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过点B 的直线交x 轴于点C ，且AB ＝BC ．
（1）求直线BC 的解析式；
（2）点P 为线段AB 上一点，点Q 为线段BC 延长线上一点，且AP ＝CQ ，设点Q 横坐标为m ，求点P 的坐标（用含m 的式子表示，不要求写出自变量m 的取值范围）； （3）在（2）的条件下，点M 在y 轴负半轴上，且MP ＝MQ ，若∠BQM ＝45°，求直线PQ 的解析式．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
根据左加右减,上加下减的平移规律解题. 【详解】
解：把直线34y x =-+沿x 轴向左平移2个单位长度后，得到的直线函数表达式为
3(2)4y x =-++,
整理得：32y x =--, 故选D. 【点睛】
本题考查了直线的平移变换,属于简单题,熟悉直线的平移规律是解题关键.
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、不是中心对称图形，故选项错误；
B、不是中心对称图形，故选项错误；
C、是中心对称图形，故选项正确；
D、不是中心对称图形，故选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
A、由于线段OA表示甲所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象，由此可以确定甲的速度是没有变化的；
B、甲比乙先到，由此可以确定甲的平均速度比乙的平均速度快；
C、根据图象可以知道起跑后180秒时，两人的路程确定是否相遇；
D、根据图象知道起跑后50秒时OB在OA的上面，由此可以确定乙是否在甲的前面．
【详解】
解：A、∵线段OA表示甲所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象，∴甲的速度是没有变化的，故不选A；
B、∵甲比乙先到，∴乙的平均速度比甲的平均速度慢，故选B；
C、∵起跑后180秒时，两人的路程不相等，∴他们没有相遇，故不选C；
D、∵起跑后50秒时OB在OA的上面，∴乙是在甲的前面，故不选D．
故选：B．
【点睛】
本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
4．D
解析：D
【解析】
分析：直接利用轴对称图形的性质画出对称轴得出答案．
详解：如图所示：直线l即为各图形的对称轴．
，
故选：D ．
点睛：此题主要考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可． 【详解】
A 、∵52+42≠62，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；
B 、12+22≠32，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；
C 、∵22+32≠42，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；
D 、∵12+）2=）2，∴此组数据能构成直角三角形，故本选项正确． 故选：D ． 【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．
6．D
解析：D 【解析】
分析：由点（m,n ）在一次函数3y x b =+的图像上，可得出3m+b=n ，再由3m-n ＞2，即可得出b ＜-2，此题得解． 详解：
∵点A （m ，n ）在一次函数y=3x+b 的图象上， ∴3m+b=n ． ∵3m-n ＞2，
∴3m-(3m+b)＞2，即-b>2, ∴b ＜-2． 故选D ．
点睛：考查了一次函数图象上点的坐标特征:点的坐标满足函数的解析式，根据一次函数图象上点的坐标特征，再结合3m-n ＞2，得出-b ＞2是解题的关键．
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据直角三角形的判定，符合a 2+b 2＝c 2即可． 【详解】
解：A 、因为42+52＝41≠62，所以以a 、b 、c 为边的三角形不是直角三角形； B 、因为52+62≠82，所以以a 、b 、c 为边的三角形不是直角三角形；
C、因为122+52＝132，所以以a、b、c为边的三角形是直角三角形；
D、因为12+12≠）2，所以以a、b、c为边的三角形不是直角三角形；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
8．A
解析：A
【解析】
【详解】
B,C,D不是轴对称图形，A是轴对称图形.
故选A.
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据全等三角形的对应边相等解答即可．
【详解】
解：∵△ABE≌△ACF，
∴AC＝AB＝6，
∴EC＝AC﹣AE＝6-2=4，
故选：C．
【点睛】
本题考查的知识点是全等三角形的性质，熟记性质内容是解此题的关键．
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
A图形中三角形和三角形内部图案的对称轴不一致，所以不是轴对称图形；B为轴对称图形，对称轴为过长方形两宽中点的直线；C外圈的正方形是轴对称图形，但是内部图案不是轴对称图形，所以也不是；D图形中圆内的两个箭头不是轴对称图象，而是中心对称图形，所以也不是轴对称图形.故选B.
二、填空题
11．【解析】
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出CD．
【详解】
∵D是AB的中点，
∴CDAB=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题主要是运用了直角三角形的性质：直角三角形斜解析：2
【解析】
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出CD．【详解】
∵D是AB的中点，
∴CD
1
2
AB=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题主要是运用了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．12．【解析】
【分析】
设y＝kx+b，将（﹣2，m）、（﹣1，2）、（0，n）代入即可得出答案．
【详解】
设一次函数解析式为：y＝kx+b，
将（﹣2，m）、（﹣1，2）、（0，n）代入y＝kx+
解析：【解析】
【分析】
设y＝kx+b，将（﹣2，m）、（﹣1，2）、（0，n）代入即可得出答案．
【详解】
设一次函数解析式为：y＝kx+b，
将（﹣2，m）、（﹣1，2）、（0，n）代入y＝kx+b，得：﹣2k+b＝m；﹣k+b＝2；b＝n；
∴m+n＝﹣2k+b+b＝﹣2k+2b＝2（﹣k+b）＝2×2＝4．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查一次函数的待定系数法，把m+n看作一个整体，进行计算，是解题的关键．13．－1
【解析】
【分析】
先根据非负数的性质求出x 、y 的值，再求出的值即可． 【详解】
解：由题意可得，3+x=0,y-2=0, 解得x=-3,y=2.
∴=（-3+2）2019=（-1）2019=
解析：－1 【解析】 【分析】
先根据非负数的性质求出x 、y 的值，再求出()2019
x y +的值即可．
【详解】
解：由题意可得，3+x=0,y-2=0, 解得x=-3,y=2. ∴()2019
x y +=（-3+2）2019=（-1）2019=-1.
故答案为：-1.
【点睛】
本题考查的是非负数的性质，熟知算术平方根具有非负性是解答此题的关键．
14．【解析】 【分析】
首先把两边同时乘以，可得 ，进而可得，然后再利用代入法求值即可． 【详解】 解：∵， ∴ ， ∴， ∴
故答案为： 【点睛】
此题主要考查了分式化简求值，关键是掌握代入求值时，
解析：3
4
【解析】 【分析】
首先把11
3-=a b
两边同时乘以ab ，可得3b a ab -= ，进而可得3a b ab -=-，然后再
利用代入法求值即可． 【详解】
解：∵
11
3-=a b
， ∴3b a ab -= ， ∴3a b ab -=-， ∴
2323263334
a b ab a ab b ab ab a ab b
a b
ab
ab ab
故答案为：3
4
【点睛】
此题主要考查了分式化简求值，关键是掌握代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．
15．x ＞−2 【解析】 【分析】
直线y ＝3x ＋b 与y ＝ax −2的交点的横坐标为−2，求不等式3x ＋b ＞ax −2的解集，就是看函数在什么范围内y ＝3x ＋b 的图象在函数y ＝ax −2的图象上方． 【详解】
解析：x ＞−2 【解析】 【分析】
直线y ＝3x ＋b 与y ＝ax−2的交点的横坐标为−2，求不等式3x ＋b ＞ax−2的解集，就是看函数在什么范围内y ＝3x ＋b 的图象在函数y ＝ax−2的图象上方． 【详解】
解：从图象得到，当x ＞−2时，y ＝3x ＋b 的图象在y ＝ax−2的图象上方， ∴不等式3x ＋b ＞ax−2的解集为：x ＞−2． 故答案为x ＞−2． 【点睛】
本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
16．−1<x<2. 【解析】 【分析】
根据x 轴上方的图象的y 值大于0进行解答． 【详解】
如图所示,x>−1时,y>0， 当x<2时,y>0，
∴使y 、y 的值都大于0的x 的取值范围是：−1<x<2.
解析：−1<x<2.
【解析】
【分析】
根据x轴上方的图象的y值大于0进行解答．
【详解】
>0，
如图所示,x>−1时,y
1
当x<2时,y2>0，
、y2的值都大于0的x的取值范围是：−1<x<2.
∴使y
1
故答案为：−1<x<2.
【点睛】
此题考查两条直线相交或平行问题，解题关键在于x轴上方的图象的y值大于0 17．1
【解析】
∵函数y=kx+3的图象经过点（3，6），
∴，解得：k=1.
故答案为：1.
解析：1
【解析】
∵函数y=kx+3的图象经过点（3，6），
k+=，解得：k=1.
∴336
故答案为：1.
18．>
【解析】
【分析】
构造等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可进行比较大小. 【详解】
解：如下图所示，
是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故答案为
另：此题也可直接测量得到结果．
【点
解析：>
【解析】
【分析】
构造等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可进行比较大小.
【详解】 解：如下图所示，
AFG 是等腰直角三角形， ∴45FAG BAC ∠=∠=︒， ∴BAC DAE ∠>∠． 故答案为.>
另：此题也可直接测量得到结果． 【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质，构造等腰直角三角形是解题的关键.
19．a<b 【解析】 【分析】
先把点M （-1，a ）和点N （-2，b ）代入一次函数y=-2x+1，求出a ，b 的值，再比较出其大小即可． 【详解】
∵点M （-1，a ）和点N （-2，b ）是一次函数y=-2x
解析：a<b 【解析】 【分析】
先把点M （-1，a ）和点N （-2，b ）代入一次函数y=-2x+1，求出a ，b 的值，再比较出其大小即可． 【详解】
∵点M （-1，a ）和点N （-2，b ）是一次函数y=-2x+1图象上的两点， ∴a=（-2）×（-1）+1=3，b=（-2）×（-2）+1=5，3<5， ∴a<b ． 故答案为：a<b ． 【点睛】
本题考查的一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
20．36° 【解析】 【分析】
利用角平分线的判定及直角三角形的性质解答即可. 【详解】
解：∵PE⊥OA，PF⊥OB，PE ＝PF
∴OP 是∠AOB 的平分线，∠OEP=90°, ∴∠AOP=∠AOB,
解析：36° 【解析】 【分析】
利用角平分线的判定及直角三角形的性质解答即可. 【详解】
解：∵PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，PE ＝PF
∴OP 是∠AOB 的平分线，∠OEP=90°, ∴∠AOP=1
2
∠AOB, ∵∠AOP=90°-∠OPE ，∠OPE=72°,
∴∠AOP=18°, ∴∠AOB=2∠AOP=36°故答案为36°． 【点睛】
本题考查了角平分线的判定与直角三角形的性质，关键是熟练掌握角平分线的判定.
三、解答题
21．
29x ，92 【解析】 【分析】
原式括号内两项通分并利用同分母分式的减法运算法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值. 【详解】
22
333x x x x x ⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭， 22(3)(3)333x x x x x x x
⎛⎫-++=-⋅ ⎪++⎝⎭
293
3x x x +=⋅+ 29x
=
当x =299
2
x == 【点睛】
此题考查了分式的化简和求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键. 22．（1）7b =（2）73x -<<-（3）点P 坐标为(3,4)-或(9,12)-
【解析】 【分析】
（1）将点C 横坐标代入24
3
y x =-求得点C 的纵坐标为4，再把（-3，4）代入1y x b =+求出b 即可；
（2）求出点A 坐标，结合点C 坐标即可判断出当120y y <<时， x 的取值范围； （3）设P （a,-
43
a ），可求出Q （473a --，4
3a -），即可得PQ=773a +，再求出
OC=5，根据14
5
PQ OC =求出a 的值即可得出结论. 【详解】
（1）把3x =-代入24
3
y x =-， 得4y =. ∴C （-3，4）
把点(3,4)C -代入1y x b =+， 得7b =. （2）∵b=7 ∴y=x+7，
当y=0时，x=-7,x=-3时，y=4， ∴当120y y <<时，73x -<<-. （3）
点P 为直线4
3
y x =-
上一动点， ∴设点P 坐标为4
(,)3a a -.
//PQ x ∵轴，
∴把43y a =-代入7y x =+，得4
73x a =--.
∴点Q 坐标为4
47,33a a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，
47
7733
PQ a a a ∴=+
+=+ 又
点C 坐标为()3,4-，
5OC ∴==
14
145
PQ OC ∴=
=
7
7143
a ∴
+= 解之，得3a =或9a =-.
∴点P 坐标为(3,4)-或(9,12)-.
【点睛】
理解点在直线上则它的坐标满足直线的解析式．学会用坐标表示线段的长．
23．（1）y ≥0．（2）见解析；（3）①见解析；②答案不唯一，如当x ＞－a 时，y 随x 的增大而增大；当x ＜－a 时，y 随x 的增大而减小．（4）a ≤1． 【解析】 【分析】
（1）根据绝对值的概念可以写出答案；
（2）通过列表、描点、连线，即可画出函数图象；
（3）当a 的值为-2和3时，通过列表、描点、连线，画出函数图象，通过观察图象得出①、②的答案；
（4）通过观察图象：函数y ＝│x ＋a│的对称轴为直线x a =-,根据函数的增减性，可以求得a 的取值范围. 【详解】
（1）根据绝对值的性质得： y≥0． （2）列表： x -4 -3 -2 -1 0 1 2 y ＝│x ＋1│
3
2
1
1
2
3
（3）当a 的值为-2和3时，仿照(2)的方法在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，如下图： x -1 2 5 y ＝│x -2│ 3 0 3 x -6 -3 0 y ＝│x+3│
3
3
①函数y＝│x＋a│（a≠0）的图像是由函数y＝│x│的图像向左（a＞0）或向右（a＜0）平移│a│个单位得到．
②答案不唯一，如：当x＞－a时，y随x的增大而增大；当x＜－a时，y随x的增大而减小．
（4）通过观察函数的图象知：函数y＝│x＋a│的对称轴为直线x a
=-,
根据题意：满足x1＜x2≤－1时， y1＞y2，属于减函数，是在对称轴x a
=-的左侧，
所以-1≤-a，
所以1
a≤．
【点睛】
本题考查了一次函数图象的性质，利用数形结合、从特殊到一般的方法是解题的关键．24．x=-1
【解析】
【分析】
把（x-1）看作一个整体，利用立方根的定义解答即可．
【详解】
解：∵（x-1）3=-8，
∴x-1=-2，
∴x=-1．
【点睛】
本题考查了利用立方根的定义求未知数的值，熟记概念是解题的关键．
25．（1）21；（2）EF⊥AD，证明详见解析．
【解析】
【分析】
(1)根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得ED=EB=1
2
AB，DF=FC=
1
2
AC，
再由AB=12，AC=9，可得答案；
(2)根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线证明．【详解】
(1)∵AD是高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴ED=EB=1
2
AB，DF=FC=
1
2
AC，
∵AB=12，AC=9，
∴AE+ED=12，AF+DF=9，
∴四边形AEDF的周长为12+9=21；
(2)EF⊥AD，
理由：∵DE=AE，DF=AF，
∴点E、F在线段AD的垂直平分线上，
∴EF⊥AD．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的判定，直角三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
四、压轴题
26．见解析
【解析】
【分析】
先根据平行线的性质，得到角的关系，然后证明OCD OFE
△≌△，写出证明过程和依据即可．
【详解】
解：过点E作//
EF AC交BC于F ，
∴ACB EFB
∠=∠（两直线平行，同位角相等），
∴D OEF
∠=∠（两直线平行，内错角相等），
在OCD与OFE
△中
()
()
()
COD FOE
OD OE
D OEF
⎧∠=∠
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
对顶角相等
已知
已证
，
∴OCD OFE
△≌△，（ASA）
∴CD FE
=（全等三角形对应边相等）
∵AB AC
=（已知）
∴ACB B
=
∠∠（等边对等角）
∠=∠（等量代换）
∴EFB B
=（等角对等边）
∴BE FE
=；
∴CD BE
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质正确找到证明三角形全等的条件，从而进行证明.
27．（1）HL；（2）见解析；（3）如图②，见解析；△DEF就是所求作的三角形，△DEF 和△ABC不全等．
【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形全等的方法“HL”证明；
（2）过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FH，再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等；
（3）以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到△DEF与△ABC不全等；
（4）根据三种情况结论，∠B不小于∠A即可．
【详解】
（1）在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等运用的是HL．
（2）证明：如图①，分别过点C、F作对边AB、DE上的高CG、FH，其中G、H为垂足．∵∠ABC、∠DEF都是钝角
∴G、H分别在AB、DE的延长线上．
∵CG⊥AG，FH⊥DH，
∴∠CGA＝∠FHD＝90°．
∵∠CBG＝180°－∠ABC，∠FEH＝∠180°－∠DEF，∠ABC＝∠DEF，
∴∠CBG＝∠FEH．
在△BCG和△EFH中，
∵∠CGB＝∠FHE，∠CBG＝∠FEH，BC＝EF，
∴△BCG≌△EFH．
∴CG＝FH．
又∵AC＝DF．∴Rt△ACG≌△DFH．
∴∠A＝∠D．
在△ABC和△DEF中，
∵∠ABC＝∠DEF，∠A＝∠D，AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF．
（3）如图②，△DEF 就是所求作的三角形，△DEF 和△ABC 不全等．
【点睛】
本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细． 28．（1）∠AFE =60°；（2）见解析；（3）
75
【解析】
【分析】
（1）通过证明 BCE CAD ≌ 得到对应角相等，等量代换推导出60AFE ∠=︒；
（2）由（1）得到60AFE ∠=︒，CE AD = 则在Rt AHF △ 中利用30°所对的直角边等于斜边的一半，等量代换可得；
（3）通过在PF 上取一点K 使得KF =AF ，作辅助线证明ABK 和ACF 全等，利用对应边相等，等量代换得到比值.(通过将ACF 顺时针旋转60°也是一种思路.)
【详解】
（1）解：如图1中．
∵ABC 为等边三角形，
∴AC =BC ，∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°，
在BCE 和CAD 中，
60
BE CD
CBE ACD
BC CA
=
⎧
⎪
∠=∠=︒
⎨
⎪=
⎩
，
∴BCE CAD
≌（SAS），
∴∠BCE=∠DAC，
∵∠BCE+∠ACE=60°，
∴∠DAC+∠ACE=60°，
∴∠AFE=60°．
（2）证明：如图1中，∵AH⊥EC，
∴∠AHF=90°，
在Rt△AFH中，∵∠AFH=60°，
∴∠FAH=30°，
∴AF=2FH，
∵EBC DCA
≌，
∴EC=AD，
∵AD=AF+DF=2FH+DF，
∴2FH+DF=EC．
（3）解：在PF上取一点K使得KF=AF，连接AK、BK，
∵∠AFK=60°，AF=KF，
∴△AFK为等边三角形，
∴∠KAF=60°，
∴∠KAB=∠FAC，
在ABK和ACF中，
AB AC
KAB ACF
AK AF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴ABK ACF
≌(SAS)，BK CF
=
∴∠AKB=∠AFC=120°，
∴∠BKE=120°﹣60°=60°，
∵∠BPC=30°，
∴∠PBK=30°，
∴
2
9
BK CF PK CP
===，
∴
7
9
PF CP CF CP
=-=，
∵
45
()
99 AF KF CP CF PK CP CP CP ==-+=-=
∴
7
7
9
55
9
CP
PF
AF CP
== .
【点睛】
掌握等边三角形、直角三角形的性质，及三角形全等的判定通过一定等量代换为本题的关键.
29．（1）（1，0）；（2）
3
6
2
y x-
＝；（3）
9
2
；（4）（6，3）．
【解析】
【分析】
（1）由题意已知l1的解析式，令y=0求出x的值即可；
（2）根据题意设l2的解析式为y=kx+b，并由题意联立方程组求出k，b的值；
（3）由题意联立方程组，求出交点C的坐标，继而即可求出S△ADC；
（4）由题意根据△ADP与△ADC底边都是AD，面积相等所以高相等，△ADC高就是点C 到AD的距离进行分析计算．
【详解】
解：（1）由y=-3x+3，令y=0，得-3x+3=0，
∴x=1，
∴D（1，0）；
（2）设直线l2的解析表达式为y=kx+b，
由图象知：x=4，y=0；x=3，y＝
3
2
-，代入表达式y=kx+b，
∴
40
3
3
2
k b
k b
+
⎧
⎪
⎨
+-
⎪⎩
＝
＝
，
∴
3
2
6 k
b
⎧
⎪
⎨
⎪-
⎩
＝
＝
，
∴直线l2的解析表达式为
3
6
2
y x-＝；
（3）由33362
y x y x ⎪-+-⎧⎪⎨⎩＝＝，解得23x y ⎧⎨⎩-＝＝， ∴C （2，-3），
∵AD=3， ∴331922
ADC S =⨯⨯-=； （4）△ADP 与△ADC 底边都是AD ，面积相等所以高相等，△ADC 高就是点C 到直线AD 的距离，即C 纵坐标的绝对值=|-3|=3，
则P 到AD 距离=3，
∴P 纵坐标的绝对值=3，点P 不是点C ，
∴点P 纵坐标是3，
∵y=1.5x-6，y=3，
∴1.5x-6=3，解得x=6，
所以P （6，3）．
【点睛】
本题考查的是一次函数图象的性质以及三角形面积的计算等有关知识，熟练掌握求一次函数解析式的方法以及一次函数图象的性质和三角形面积的计算公式是解题的关键.
30．（1）y ＝﹣2x +6；（2）点P （m ﹣6，2m ﹣6）；（3）y ＝﹣x +
32
【解析】
【分析】
（1）先求出点A ，点B 坐标，由等腰三角形的性质可求点C 坐标，由待定系数法可求直线BC 的解析式；
（2）证明△PGA ≌△QHC （AAS ），则PG ＝HQ ＝2m ﹣6，故点P 的纵坐标为：2m ﹣6，而点P 在直线AB 上，即可求解；
（3）由“SSS ”可证△APM ≌△CQM ，△ABM ≌△CBM ，可得∠PAM ＝∠MCQ ，∠BQM ＝
∠APM ＝45°，∠BAM ＝∠BCM ，由“AAS ”可证△APE ≌△MAO ，可得AE ＝OM ，PE ＝AO ＝3，可求m 的值，进而可得点P ，点Q 的坐标，即可求直线PQ 的解析式．
【详解】
（1）∵直线y ＝2x +6与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，
∴点B (0，6)，点A (﹣3，0)，
∴AO ＝3，BO ＝6，
∵AB ＝BC ，BO ⊥AC ，
∴AO ＝CO ＝3，
∴点C (3，0)， 设直线BC 解析式为：y ＝kx +b ，则036k b b =+⎧⎨=⎩，解得：26k b =-⎧⎨=⎩
， ∴直线BC 解析式为：y ＝﹣2x +6；
（2）如图1，过点P作PG⊥AC于点G，过点Q作HQ⊥AC于点H，∵点Q横坐标为m，
∴点Q(m，﹣2m+6)，
∵AB＝CB，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠HCQ，
又∵∠PGA＝∠QHC＝90°，AP＝CQ，
∴△PGA≌△QHC（AAS），
∴PG＝HQ＝2m﹣6，
∴点P的纵坐标为：2m﹣6，
∵直线AB的表达式为：y＝2x+6，
∴2m﹣6＝2x+6，解得：x＝m﹣6，
∴点P(m﹣6，2m﹣6)；
（3）如图2，连接AM，CM，过点P作PE⊥AC于点E，
∵AB＝BC，BO⊥AC，
∴BO是AC的垂直平分线，
∴AM＝CM，且AP＝CQ，PM＝MQ，
∴△APM≌△CQM（SSS）
∴∠PAM＝∠MCQ，∠BQM＝∠APM＝45°，
∵AM＝CM，AB＝BC，BM＝BM，
∴△ABM≌△CBM（SSS）
∴∠BAM＝∠BCM，
∴∠BCM＝∠MCQ，且∠BCM+∠MCQ＝180°，
∴∠BCM＝∠MCQ＝∠PAM＝90°，且∠APM＝45°，
∴∠APM＝∠AMP＝45°，
∴AP＝AM，
∵∠PAO+∠MAO＝90°，∠MAO+∠AMO＝90°，
∴∠PAO＝∠AMO，且∠PEA＝∠AOM＝90°，AM＝AP，
∴△APE≌△MAO（AAS）
∴AE＝OM，PE＝AO＝3，
∴2m﹣6＝3，
∴m＝9
2
，
∴Q(9
2
，﹣3)，P(﹣
3
2
，3)，
设直线PQ的解析式为：y＝ax+c，
∴
9
3
2
3
3
2
a c
a c
⎧
-=+
⎪⎪
⎨
⎪=-+
⎪⎩
，解得：
1
3
2
a
c
=-
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
，
∴直线PQ的解析式为：y＝﹣x+3
2．
【点睛】
本题主要考查三角形全等的判定和性质定理，等腰直角三角形的性质定理以及一次函数的图象和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．。