2017年福建省初中数学竞赛试题及解析

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2017年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间 2017年3月19日 9∶00－11∶00 满分150分
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。

每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．设2323a =++-，则1
a a +的整数部分为（
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．方程2
2()3
2x
x x +=-的所有实数根之和为（）
A ．1
B ．3 
C ．5 
D ．7 
3．如图，A 、B 、C 三点均在二次函数2y x =的图像上，M 为线段AC 的中点，BM y ∥轴，且2MB =。

设A 、C 两点的横坐标分别为1t 、2t （21t t >），则21t t -的值为（
）A ．3 
B ．23
C ．22
±D ．22
4．如图，在Rt ABC △中，90ABC Ð=°，D 为线段BC 的中
点，E 在线段AB 内，CE 与AD 交于点F 。

若A
E E
F =，且7AC =，
3FC =，则cos ACB Ð的值为（
）A ．3
7B ．210
7
C ．3
14
D ．10
7
5．如图，O 为ABC △的外接圆的圆心，R 为外接圆半径，且
4R =。

直线AO 、BO 、CO 分别交ABC △的边于D 、E 、F ，则
111
AD BE CF
++
的值为（）A ．
14
B ．
13
C ．
12
D ．
23
F
D
B
C
A
E F
E
D
O A B
C
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．记函数2
23y x x =-+（12x -££）的最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值为 。

7．已知二次函数2
y ax bx c =++（0a >）的图像与x 轴交于不同的两点A 、B ， C 为二次函数图像的顶点，2AB =。

若ABC △是边长为2的等边三角形，则a = 。

8．如图，在ABC △中，AD 为BC 边上的高，M 为线段
BC 的中点，且BAD DAM MAC Ð=Ð=Ð。

若2AB =，则ABC △内切圆的半径为 。

【答案】 31-
9．若二次函数
2
(43)3y x a x a =+-+（2
3a ³）的图像与直线2y x =-在y
轴左侧恰有1
个交点，则符合条件的所有a 的值的和为 。

1010．．若正整数n 恰有90个不同的正因数（含1和本身），且在n 的正因数中有7个连续整数，则正整数n 的最小值为 。

三、解答题（共4题，每小题20分，共80分） 1111．求方程．求方程2220172018x y x +=的正整数解。

的正整数解。

M
D B
C
A
12．如图，在等腰三角形ABC 中，90ACB Ð=°，M 是边AC 的中点，D 是边BC 上一点，直线AD 、BM 交于点E ，且ME MA =。

求证：。

求证：
（1）BE CD =； （2）AC DE
AD DB
=。

13．若存在正整数n ，p （6p >）使得3246n n n n p ìü
ìüìüìü+++=íýíýíýíýîþîþîþîþ
成立，其中
{}
[]x x x =-，[]
x 为不超过x 的最大整数。

的最大整数。

（1）求p 的最小值；的最小值；
（2）当p 取最小值时，求使3246n n n n p ìü
ìüìüìü+++=íýíýíýíýîþîþîþîþ成立，且2017n £的正整数n
的个数。

的个数。

14．将平面上每个点都以红、蓝两色之一染色。

证明：．将平面上每个点都以红、蓝两色之一染色。

证明：
（1）对任意正数a ，无论如何染色平面上总存在两个端点同色且长度为a 的线段；的线段； （2）无论如何染色平面上总存在三个顶点同色的直角三角形；）无论如何染色平面上总存在三个顶点同色的直角三角形；
（3）无论如何染色，平面上是否总存在三个顶点同色且面积为2017的直角三角形？的直角三角形？
E
M A
B
C D
2017年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2017年3月19日 9∶00－11∶00 满分150分
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。

每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．设2323a =++-，则1
a a
+
的整数部分为（的整数部分为（ ）） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 B 
【解答】由2
2322323236a =+++×-+-=，知6a =。

于是11
66a a +=+，2111()62866a a +=++=+，214()9a a <+<。

因此，1
a a
+
的整数部分为2。

（注：4234233131
232362222a +-+-=++-=+=+=） 2．方程22()32
x x x +=-的所有实数根之和为（的所有实数根之和为（ ））
A ．1
B ．3 
C ．5 
D ．7 【答案】 A 
【解答】方程22(
)32
x x x +=-化为2222(2)3(2)x x x x -+=-。

即3251060x x x -+-=，2
(1)(46)0x x x --+=。

解得1x =。

经检验1x =是原方程的根。

是原方程的根。

∴ 原方程所有实数根之和为原方程所有实数根之和为1。

3．如图，A 、B 、C 三点均在二次函数2
y x =的图像上，M 为线段AC 的中点，BM y ∥轴，且2MB =。

设A 、C 两点的横坐标分别为1t 、2t （21t t >），则21t t -的值为（的值为（ ））
A ．3 
B ．23
C ．22±
D ．22
【答案】 D 
【解答】依题意线段AC 的中点M 的坐标为22
1212
(
)22
t t t t ++，。

（第3题）
由BM y ∥轴，且2BM =，知B 点坐标为2
212
12
(2)22
t t t t ++-，。

由点B 在抛物线2
y x =上，知22212122(
)22
t t t t ++-=。

整理，得22221211222282t t t t t t +-=++，即2
21()8t t -=。

结合21t t >，得2122t t -=。

4．如图，在Rt ABC △中，90ABC Ð=°，D 为线段BC 的中点，E 在线段AB 内，CE 与AD 交于点F 。

若A E E F =，且7AC =，3FC =，则c o s A C B Ð的值为（值为（ ））
A ．
37 B ．2107 C ．314 D ．10
7
【答案】 B 
【解答】如图，过B 作BK AD ∥与CE 的延长线交于点K 。

则由AE EF =可得，EBK EAF AFE BKE Ð=Ð=Ð=Ð。

∴ EK EB =。

又由D 为BC 中点，得F 为KC 中点。

中点。

∴ 3AB AE EB FE EK KF FC =+=+===。

∴ 2
2
2
2
73210BC AC AB =-=-=。

∴ 210
cos 7
BC ACB AC Ð=
=。

或解：对直线AFD 及BCE △应用梅涅劳斯定理得，
1BD CF EA
DC FE AB
××=。

由D 为线段BC 的中点，知BD DC =。

又AE EF =，因此，3AB CF ==。

结合7AC =，90ABC Ð=°，利用勾股定理得，210BC =。

所以，210
cos 7
BC ACB AC Ð==。

F
D
B
C
A E
（第4题）
K
F
D
B
C
A E
5．如图，O 为ABC △的外接圆的圆心，R 为外接圆半径，为外接圆半径，且且4R =。

直线AO 、BO 、CO 分别交ABC △的边于D 、E 、F ，则
111
A D
B E
C F
++的值为（ ））
A ．
14 B ．13 C ．12 D ．2
3
【答案】 C 
【解答】由条件及等比定理，得由条件及等比定理，得
OAB OAC OAB OAC OAB OAC
ABD ACD ABD ACD ABC S S S S S S OA AD S S S S S ++====+△△△△△△△△△△△，
同理，
OAB OBC
ABC S S OB BE S
+=△△△，OBC OAC ABC S S OC CF S +=
△△△。

∴ ()()()
2OAB OAC OAB OBC OBC OAC ABC S S S S S S OA OB OC AD BE CF S +++++++==△△△△△△△。

又4OA OB OC R ====， ∴ 11121
2
AD BE CF R ++==。

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．记函数2
23y x x =-+（12x -££）的最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值为 。

【答案】 8 
【解答】∵ 2
2
23(1)2y x x x =-+=-+，12x -££，
∴ 1x =时，y 取最小值，即2m =；1x =-时，y 取最大值，即6M =。

∴ 8M m +=。

7．已知二次函数2
y ax bx c =++（0a >）的图像与x 轴交于不同的两点A 、B ， C 为二次函数图像的顶点，2AB =。

若ABC △是边长为2的等边三角形，则a = 。

【答案】 3
【解答】依题意2
0ax bx c ++=有两个不同的实根，设为1x ，2x ，则122AB x x =-=。

∵ 12b x x a +=-，12c x x a
=，
∴ 2
2
2
212121224()()4()44b c b ac
x x x x x x a a a
--=+-=--´==，即22
44b ac a -=。

F
E
D
O A B
C
（第5题）
又由222
()24b b y ax bx c a x c a a =++=+-+，及0a >，知2
34b c a -+=-，即2
4
43b a c a -=。

∴ 2
443a a =，3a =。

8．如图，在ABC △中，AD 为BC 边上的高，M 为线段BC 的中点，且
B A D D A M M A Ð=Ð=Ð。

若
2AB =，则ABC △内切圆的半径为 。

【答案】 31-
【解答】依题意，易知D 为BM 中点，1
2
DM MC =。

又AM 平分DAC Ð，
∴ 12
AD MD AC MC ==。

结合AD DC ^，得30ACD Ð=°。

∴ 60DAC Ð=°，90BAC Ð=°。

∴ 23AC =，4BC =。

∴ ABC △内切圆半径为2234
312+-=-。

9．若二次函数2
(43)3y x a x a =+-+（2
3
a ³
）的图像与直线2y x =-在y 轴左侧恰有1个交点，则符合条件的所有a 的值的和为 。

【答案】
29
12
【解答】依题意，关于x 的方程2(43)32x a x a x +-+=-，即2
(42)320x a x a +-+-=恰
有1个负根或者两个相等的负根。

个负根或者两个相等的负根。

有下列三种情形：有下列三种情形：
（1）方程有两个相等的负根。

）方程有两个相等的负根。

则2
12(42)4(32)0(42)0a a x x a ì=---=í+=--<î△，解得1a =或34a =。

均满足23a ³。

因此，1a =，3
4
a =
符合要求。

符合要求。

（2）方程两根中一根为零，另一根为负数。

）方程两根中一根为零，另一根为负数。

则1212320(42)0
x x a x x a =-=ìí+=--<î，解得23a =。

满足23a ³。

M
D B
C
A （第8题）
因此，
2
3a =符合要求。

符合要求。

（3）方程两根中一根为正数，另一根为负数。

）方程两根中一根为正数，另一根为负数。

则12320x x a =-<，解得23a <。

不满足2
3
a ³。

综合（综合（11）
、（2）、（3），得符合条件的a 的值为1，34，2
3。

因此，符合条件的所有a 的值的和为322914312
++=。

1010．．若正整数n 恰有90个不同的正因数（含1和本身），且在n 的正因数中有7个连续整数，则正整数n 的最小值为 。

【答案】 25200
【解答】∵ 任意连续任意连续7个正整数的乘积能被1234567´´´´´´整除，整除， ∴ n 的正因数中必定有2
2，3，5，7这四个数。

这四个数。

∴ 正整数正整数n 具有形式：1
2
3
4
2
3
5
7
n a a a a =´´´´L （1a ，2a ，3a ，4a 为正整数，12a ³）。

由正整数n 恰有90个正因数，知1234(1)(1)(1)(1)90k a a a a ++++´=，其中k 为正整数。

为正整数。

而90分解为4个大于1的正整数的乘积的分解式只有一种：902335=´´´。

∴ 1k =，1234(1)(1)(1)(1)902335a a a a ++++==´´´。

∴ n 的最小值为4
2
2
235725200´´´=，此时n 有连续正因数1，2，3，4，5，6，7。

三、解答题（共4题，每小题20分，共80分） 1111．求方程．求方程2
2
20172018x y x +=的正整数解。

的正整数解。

【解答】方程化为2
2
201820170x x y -+=。

将方程视为x 的方程，得2
222
2018420174(10092017)y y =-´=-△为完全平方数。

…………………… 5分
∴ 2
2
10092017y -为完全平方数。

为完全平方数。

设2
2
2
10092017y t -=（t 为非负整数），则222
10092017t y -=。

∴ 2
(1009)(1009)2017t t y -+=。

∵ 2017为质数，为质数，
∴ 2017(1009)t -，或2017(1009)t +。

…………………… 10分 又t 为非负整数，且1009t £。

∴ 1009t =，或1008t =。

…………………… 15分 ∴ 0y =（舍去），或1y =。

将1y =代入方程，得2
201820170x x -+=，解得1x =，或1017x =。

∴ 原方程的正整数解为原方程的正整数解为
11x y =ìí=î，或2017
1x y =ìí=î。

…………………… 20分
12．如图，在等腰三角形ABC 中，90ACB Ð=°，M 是边AC 的中点，D 是边BC 上一点，直线AD 、BM 交于点E ，且ME MA =。

求证：。

求证：
（1）BE CD =； （2）
AC DE
AD DB
=。

【解答】（1）如图，连结CE 。

由条件知，ME MA MC ==。

∴ CE AE ^。

…………… 5分 ∵ 90ACB Ð=°， ∴ MAE DCE Ð=Ð。

∴ BED AEM MAE DCE Ð=Ð=Ð=Ð。

又EBD CBE Ð=Ð， ∴ BDE BEC △∽△。

∴
BE DE
BC EC
=。

…………… 10分 又由CE AD ^，AC CD ^，知CDE ACE △∽△。

∴
CD
DE
AC CE =。

由此可得，
BE DE CD BC EC AC ==，即BE CD
BC AC
=。

∵ BC AC =，
∴ BE CD =。

…………… 15分
（2）由（）由（11）CE AD ^，AC CD ^，知CDE ADC △∽△， ∴
CE AC
CD AD
=。

又由（又由（11）BDE BEC △∽△，知DE EC DB EB =。

结合（结合（11）中BE CD =，可得
AC CE EC DE
AD CD EB DB
===。

∴ AC DE AD DB =。

…………… 20分
E
M A
B
C D E
M A
B
C D （第12题）
11 13．若存在正整数n ，p （6p >）使得3246n n n n p ìüìüìüìü+++=íýíýíýíýîþîþîþîþ成立，其中{}[]x x x =-，[]
x 为不超过x 的最大整数。

的最大整数。

（1）求p 的最小值；的最小值； （2）当p 取最小值时，求使3246n n n n p ìüìüìüìü+++=íýíýíýíýîþîþîþîþ
成立，且2017n £的正整数n 的个数。

的个数。

【解答】（1）∵ 对任意正整数对任意正整数n ，122n ìü£íýîþ，344n ìü£íýîþ，566n ìü£íýîþ，1n p p p ìü-£íýîþ。

…………………… 5分
∴ 对任意正整数对任意正整数n ，1352524624612
n n n ìüìüìü++£++=íýíýíýîþîþîþ。

∵ 存在正整数存在正整数n ，p （6p >）使得3246n n n n p ìü
ìüìüìü+++=íýíýíýíýîþîþîþîþ成立，成立，
∴ 存在正整数存在正整数n ，使得251131212n p ìü³-=íýîþ。

于是，111
12
p n p p ìü-³³íýîþ，12p ³。

又11n =时，111111111351132461224612
ìüìüìüìü+++£+++=í
ýíýí
ýíýîþîþîþîþ， ∴ p 的最小值为1212。

…………………… 10分
（2）12p =时，由1351133246
24612n n n n p ìüìüìüìü=+++£+++=íýíýíýíýîþîþîþîþ知 122n ìü=íýîþ，344n ìü=íýîþ，566n ìü=íýîþ，111212
n
ìü=í
ýîþ。

∴ 1211n k =+（k 为非负整数）。

∴ 当p 取最小值12时，当且仅当1211n k =+（k 为非负整数）时，324612n n n n ìüìüìüìü+++=íýíýíýíýîþîþîþîþ
成立。

成立。

…………………… 15分 由12112017n k =+£知，167k £。

因此，符合条件的正整数n 有168个。

个。

…………………… 20分
12 
14．将平面上每个点都以红、蓝两色之一染色。

证明：．将平面上每个点都以红、蓝两色之一染色。

证明：
（1）对任意正数a ，无论如何染色平面上总存在两个端点同色且长度为a 的线段；的线段； （2）无论如何染色平面上总存在三个顶点同色的直角三角形；）无论如何染色平面上总存在三个顶点同色的直角三角形；
（3）无论如何染色，平面上是否总存在三个顶点同色且面积为2017的直角三角形？的直角三角形？
【解答】（1）在平面内任作一个边长为a 的等边ABC △。

则ABC △的三个顶点A 、B 、C 中必有两点同色。

中必有两点同色。

所以，存在两端点同色，且长为a 的线段。

的线段。

因此，对任意正数a ，无论如何染色平面上总存在两个端点同色且长度为a 的线段。

的线段。

…………………………………………… 5分
（2）对任意正数a ，如图，设A 、D 同色，且AD a =（由（（由（11）知，A 、D 存在）。

以AD 为直径作圆O ，设ABCDEF 为圆O 的内接正
六边形。

六边形。

若B 、C 、E 、F 中存在一点与A 、D 同色，不妨
设点B 与A 、D 同色，则ABD △为直角三角形，其中
90ABD Ð=°，30ADB Ð=°，且三顶点同色。

，且三顶点同色。

……………………… 10分
若B 、C 、E 、F 都与A 、D 异色，则B 、C 、E 、
F 四点同色.则BCE △为直角三角形，其中90BCE Ð=°，30CEB Ð=°，且三顶点同色。

，且三顶点同色。

因此，无论如何染色平面上总存在三个顶点同色的直角三角形。

……………… 15分 （3）由（2）知，对任意正数a ，无论如何染色总存在斜边长为a ，有一个内角为30°，且三个顶点同色的直角三角形。

且三个顶点同色的直角三角形。

当a =820173
´时，该三角形面积113382017()()201722283S a a ´=´´=´=。

因此，无论如何染色，平面上总存在三个顶点同色且面积为2017的直角三角形。

的直角三角形。

……………………………………… 20分
C B
D O A F E。