江西省2020学年高二数学上学期期末考试试题理

高二上学期期末考试数学（理）试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意.）
1. 计算：
=--+i
i i 21)1)(2(2
（ ） A ．2 B ．2- C ．i 2 D ．i 2- 2．由曲线y ＝x 2
，y ＝x 3
围成的封闭图形面积为( )
A. 13
B. 14
C. 112
D. 712
3．已知椭圆与双曲线
112
42
2=-y x 的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，那么椭圆的离心率等于( )
A. 35
B. 45
C. 54
D. 34
4．已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，那么“α>π
3
”是“k>3”的( )
A ．充分不必要条件
B ．充要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 5． 函数)(x f y =的图象如下图所示，则导函数)('x f y =的图象的大致形状是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．下列各图是正方体和正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是( )
7．已知f (x )＝x 3
－ax 在(－∞，－1]上递增，则a 的取值范围是( )
A ．a >3
B ．a ≥3
C ．a <3
D ．a ≤3
8．对任意实数λ，直线0:1=--+n m y x l λλ与圆C ：x 2
＋y 2
＝r 2
总相交于两不同点，则直线
22:r ny mx l =+与圆C 的位置关系是( )
A ．相离
B ．相交
C ．相切
D ．不能确定
9．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()21ln f x xf x '=+，则()1f '=（ ）
A. 1-
B. e -
C. 1
D.e
10．如图所示，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )
A ．6 3
B ．9 3
C ．12 3
D ．18 3
11. 已知错误！未找到引用源。

为单位圆上不重合的两定点，错误！未找到引用源。

为此单位圆上的动点，若点错误！未找到引用源。

满足错误！未找到引用源。

，则点错误！未找到引用源。

的轨迹为（ ）
A. 椭圆
B. 双曲线
C. 抛物线
D. 圆 12．若函数()()x x m x x x f cos sin 2cos 12
1
65-+--=在(-∞,+∞)上单调递减，则m 的取值范围是( )
A.[-12 ,12 ]
B.[- 2 3 , 2 3 ]
C.[- 3 3 , 3 3 ]
D.[- 2 2 , 2
2
]
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.已知p ：
01
2
≥+-x x ，则⌝p 对应的x 的集合为 14. 已知点A(2，3)，B(－3，－2)，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，则k 的取值范围是
15.已知A,B,C,D 四点在体积为
3
2125π
的球面上，且AC=BD=5,AD=BC=41,AB=CD,则三棱锥D-ABC 的体积是
16.关于x 的方程02
3=+++c bx ax x 的三个实根分别为一个椭圆、一个抛物线、一个双曲线的离心率，则a
b
的取值范围为_____________________
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分10分）
已知命题:(1)(5)0p x x +-≤，命题:11(0)q m x m m -≤<+>。

（1）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；
（2）若m=5，“p q ∨ ”为真命题，“p q ∧ ”为假命题，求实数x 的取值范围。

18. （本题满分12分）
一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，求此圆的方程．
19. （本小题满分12分）
设函数2
()2x f x e ax ex =---，其中e 为自然对数的底数. （1）1a =时，求曲线()x f 在点(1,(1))f 处的切线方程；
（2）函数()h x 是()f x 的导函数，求函数()h x 在区间[]0,1上的最小值.
20.（本小题满分12分）
在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆 O ′的直径，FB 是圆台的一条母线．
(1)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；
(2)已知EF ＝FB ＝1
2AC ＝23，AB ＝BC ，求二面角F －BC －A 的余弦值．
21.（本小题满分12分）
已知抛物线2
:2(0)E y px p =>，直线3x my =+与E 交于A ，B 两点，且6OA OB =，
其中O 为坐标原点. （1）求抛物线E 的方程；
（2）已知点C 的坐标为（-3,0），记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：22212
112m k k +-为定值.
22.（本小题满分12分）
已知函数)0)(1(ln )(≠-=a x ax x f . （1）求函数)(x f y =的单调递增区间； （2）当0>a 时，设函数)(6
1)(3
x f x x g -=
，函数)(')(x g x h =， ①若0)(≥x h 恒成立，求实数a 的取值范围 ②证明：)(321)
321ln(*22222N n n n e
∈+⋯+++<⨯⋯⨯⨯⨯
数学参考答案（理科）
一、选择题
二填空题
13. {x|－1≤x<2} 14. (－∞，34]∪[2，＋∞) 15. 20 16. ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
21-2-，
三、解答题
17.【解析】(1)由命题:(1)(5)0p x x +-≤，化为51x -≤≤.
∵p 是q 的充分条件， ∴[−1,5]⊆[1−m,1+m)，∴11
15m m -≤-⎧⎨+>⎩
，解得m>4.
则实数m 的取值范围为(4,+∞).
(2)∵m=5，∴命题q: 64-<≤x ∵“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，
∴命题p ，q 为一真一假。

当p 真q 假时， 得x ∈∅. 当q 真p 假时， 得4x <-≤-1或5<x<6，因此x 的取值范围是[−4,−1)∪(5,6).
18. （本题满分12分）一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，求此圆的方程．
解析 方法一：∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，且与y 轴相切， ∴设所求圆的圆心为C(3a ，a)，半径为r ＝3|a|.
又圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27，圆心C(3a ，a)到直线y ＝x 的距离为d ＝|3a －a|
12＋12.
∴有d 2
＋(7)2
＝r 2
.即2a 2
＋7＝9a 2
，∴a ＝±1.
故所求圆的方程为(x －3)2
＋(y －1)2
＝9或(x ＋3)2
＋(y ＋1)2
＝9. 方法二：设所求的圆的方程是(x －a)2
＋(y －b)2
＝r 2
，
则圆心(a ，b)到直线x －y ＝0的距离为|a －b|2.∴r 2＝(|a －b|2)2＋(7)2
.
即2r 2
＝(a －b)2
＋14 ① 由于所求的圆与y 轴相切，∴r 2
＝a 2
②
又因为所求圆心在直线x －3y ＝0上，∴a －3b ＝0. ③
联立①②③，解得a ＝3，b ＝1，r 2
＝9或a ＝－3，b ＝－1，r 2
＝9. 故所求的圆的方程是(x －3)2
＋(y －1)2
＝9或(x ＋3)2
＋(y ＋1)2
＝9. 19.解析：(1) 1a =时，2
e ()2x
f x x ex =---
∵e ()2x
f x x e '=--， ∴2
1
(1)112e 3f e =--⨯-=-，(1)2f '=- ∴曲线y ()f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为
32(1)y x +=--即2y 10x ++= ……6分
20. 解析 (1)设FC 的中点为I ，连接GI ，HI ，在△CEF 中，因为点G 是CE 的中点，所以GI ∥EF.又EF ∥OB ，所以GI ∥OB.
在△CFB 中，因为H 是FB 的中点，所以HI ∥BC. 又HI ∩GI ＝I ，OB ∩BC ＝B ，所以平面GHI ∥平面ABC. 因为GH ⊂平面GHI ，所以GH ∥平面ABC. (2)方法一：连接OO ′，则OO ′⊥平面ABC.
又AB ＝BC ，且AC 是圆O 的直径，所以BO ⊥AC.
以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz. 由题意得B(0，23，0)，C(－23，0，0)．
过点F 作FM 垂直OB 于点M ，所以FM ＝FB 2
－BM 2
＝3，可得F(0，3，3)． 故BC →＝(－23，－23，0)，BF →
＝(0，－3，3)． 设m ＝(x ，y ，z)是平面BCF 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，
m ·BF →＝0，
可得⎩⎨⎧－23x －23y ＝0，－3y ＋3z ＝0.
可得平面BCF 的一个法向量m ＝(－1，1，3
3)．
因为平面ABC 的一个法向量n ＝(0，0，1)，所以cos m ，n
m ·n |m |·|n |＝7
7
.
所以二面角F －BC －A 的余弦值为
7
7
.
方法二：连接OO ′.过点F 作FM 垂直OB 于点M ，则有FM ∥OO ′. 又OO ′⊥平面ABC ，所以FM ⊥平面ABC.
可得FM ＝FB 2
－BM 2
＝3.过点M 作MN 垂直BC 于点N ，连接FN. 可得FN ⊥BC ，从而∠FNM 为二面角F －BC －A 的平面角． 又AB ＝BC ，AC 是圆O 的直径，所以MN ＝BMsin45°＝
62
，
从而FN ＝
422，可得cos ∠FNM ＝77.所以二面角F －BC －A 的余弦值为77
. 21.（1）解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立方程组223y px x my ⎧=⎨=+⎩
，消元得2
260y pmy p --=，
所以122y y pm +=，126y y p =-.……2分
又2
121212122
()9664y y OA OB x x y y y y p p =+=
+=-=，……4分 所以12
p =
，从而抛物线E 的方程为2
y x =.……5分 （2）因为1111136y y k x my =
=++，22
22236
y y k x my ==++， 所以
1116
m k y =+，2
216m k y =+，……………………………6分
因此2222
221212
11662()()2m m m m k k y y +-=+++- 22221212
1111
212(
)36()2m m m y y y y =++++-……………………8分 22
2121212
22
1212
()2212362y y y y y y m m m y y y y ++-=++- 又122y y pm m +==，1263y y p =-=-，………………………9分
所以222
2221211622123622439m m m m m m k k -++-==+⨯
+⨯-=.………………11分 即222
12112m k k +-为定值.……………………………………………12分 22.解：（1）
()()1ln 1ln f x a x x a x x ⎡
⎤'=-+⋅=⎢⎥⎣
⎦，令()0f x '>，
当0a >时，解得1x >；当0a <时，解得01x <<， 所以当0a >时，函数()y f x =的单调递增区间是()1,+∞； 当0a <时，函数()y f x =的单调递增区间是()0,1.…………4分
（2）①
2211
()()()ln 22
h x g x x f x x a x ''==
-=-，由题意得()min 0h x ≥，
因为()2a x a h x x x x
-'=-==，故当x ∈时，()0h x '<，()h x 递
减；当)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；min 1
()2
h x h a a ∴==-
由
1
02
a a -≥，得ln 1a ≤，解得0e a <≤，所以实数a 的取值范围是(]0,e ．…9分
②由（1）知e a =时，()21
eln 02
h x x x =-≥在()0,x ∈+∞上恒成立，当x =立，*x ∴∈N 时，22eln x x <，令1,2,3,x n =⋅⋅⋅，累加可得
()22222e ln1ln 2ln3ln 123n n +++
+<+++
+ ，
即()2222e
2ln 123123,n n ⨯⨯⨯
⨯<+++
+()*n ∈N .…………12分。