【高考数学二轮复习压轴题微专题】第48讲 构造法在解析几何问题中的应用与第49讲 轨迹探求-解析版

第48讲 构造法在解析几何问题中的应用
构造法在解析几何问题中的应用主要体现在以下两个方面.
(1)解析几何模型是-种代数化的形式,即用代数的方法解答解析几何中的问题，在解题过程中势必要运用代数的构造方法,从而将解题过程进行到底.比如在研究直线与圆锥曲线位置关系时经常面对相交弦问题、最值问题、定值问题、定点问题、定直线问题,就需要使用方程的根的构造法方程组解的构造法、函数模型构造法、重要恒等式.不等式的构造性方法,从而使解析几何问题获得简捷的代数解法.
(2)把各种类型的代数题或实际问题,通过分析.观察和试验,合理地将所研究的问题转化为几何模型,特别是通过构造解析几何模型、运用两点间距离公式、点到直线的距离公式斜率公式、直线方程以及圆锥曲线方程可以巧妙地解决许多数学问题.而构造的过程是发散思维和创造性思维的过程.通过联想而构造相应的解析几何模型是数学核心素 养的体现.
典型例题
【例1】（1）解方程
10=;
（2）解方程
6=;
(3) 求函数 ()f x =
的最大值.
【分析】第(1)、第(2)问是解无理方程,如果 直接移项、平方、再移项、再平方,则势必出现高次,而对于高次方程我们不一-定能解,碰到特殊的高次方程,即使能解,运算也十分繁杂。

而如果我们对方程左边实施配方,适当代换,把原方程转化为一个动点到两个定点的距离之和或距离之差,则原问题立即转变为解析几何问题.第(3)问,函数结构复杂,无法用常规方法解,若把两根式内部进行配方,转化为距离问题,则原问题向几何方向转化,一-定会得到一种妙思巧解.
【解析】(1) 原方程变形为
10=.
将方程中的常数“2“看作变量, 即令 2
2y =,
则
10=. ①
令 12(,),(3,0),(3,0)P x y F F -, 则①式为 1210PF
PF +=.
由椭圆的定义可知, 点 P 的轨迹为以 12,F F 为焦点, 长轴为 10 的椭圆,
5a =,222
3,16c b a c ==-=. 其方程为 22
12516x y +=.
再将 2
2y = 代人, 求得原方程的解为
5144x =±
.
（2）原方程可以等价变形为
22(5)1(5)16x x -+-++=.
令 2
1y =, 则有
2222(5)(0)(5)(0)6x y x y -+--++-=,
令 12(,),(5,0),(5,0)P x y F F -, 即 216PF PF -=. 点 P 的轨迹为以 1F 、
2F 为焦点, 实轴长为 6 的双曲线左支, 2223,5,16a c b c a ===-=.
其方程为 22
1(3)916x y x -=.
再将 2
1y = 代人,求得原方程的解为
317
4x =-
.
(3) 将给定的函数表达式变形为
(
)
2
22
()2(3)f x x x =
-+-
(
)
2
22
1x x -
-+, 问题转化为求点 ()
2
,P x x 到点 (3,2)A 与 (0,1)B 距离之差
的最大值. 而 P 点的轨迹为 抛物线,如图 3-35 所示.
由 A B 、 的位置知直线 AB 必交抛物
线 2
y x = 于第二象限的一点 C , 由三角形两
边之差小于第三边可知 P 位于 C 时, ()f x 才能取 到最大值.
22max ()||(30)(21)10f x AB ==-+-=
【例2】 如图 336- 所示, 过椭圆 22
143x y += 的左焦点 1F 作 一直线交椭圆于 ,P Q
两点, A 为椭圆的右顶点,求PAQ ∆面积的最大值.
【分析】 弦长 ||PQ 及点 A 到直线 PQ 的距离,或以 1AF
为底, 设
()()1122,,,P x y Q x y , 则 12y y - 为高,很容易获得解析式（PQ 斜率不存在的情况必须另
行讨论),显然,不管如何求,所得的解析式-一定是无理式,而对无理函数的最值问题的求解是一个难点,关键是.看解题者对 ()PAQ S f k =如何变形构造,不同的构造可以朝不同的知识转化,得到不同的解法,构造能力越强,破解方法也越多. 【解析】∵
1(1,0),(2,0)
F A -, 且 当直线 PQ 的斜率不存在时, 123,PAQ y y S ∆-==
12112139
222y y F A y y -=-=
当直线 PQ 的斜率存在时, 设直线
PQ 的方程为
()()
1122(1)(0),,,,y k x k P x y Q x y =+≠
联立方程组 22(1),
34120,y k x x y =+⎧⎨+-=⎩ 消去 x 并整理得
()22234690k y ky k +--=, 显然
()
222
3636340k k k ∆=++>. ∴
2
12122
269,3434k k y y y y k k +==-++
12121|1
2
PAQ
y y S y y F A ∆∴-===
=∴=-=
或联立方程组
22
(1)34120y k x x y =+⎧⎨+-=⎩消去 y 并整理得
()22223484120k x k x k +++-=,
()
22
1212
22
122
2
122
8412
,
3434
34
121
||
34
k k
x x x x
k k
x x
k
k
PQ x
k
--
∴+==
++
∴-===
+
+
∴=-=
+
又∵(2,0)
A到直线(1)
y k x
=+的距离
d==
,
(
)
2
2
121
11
||
2234
PAQ
k
S PQ d
k
∆
+
∴==⨯=
+
记PAQ
S S
∆
=
, 则
S=
可见上述两种解法中得到的解析式是一样的,解题的关键在于如何求函数
()
g k=
()
42
2
2
(0)
34
k k
k
k
+
≠
+
的最大值. 思考角度之一是通过配方、换元转化为二求函数; 思考角度之二是去分母后转化为二次方程(双二次)运用判别式法; 思考角度之三是通过换元转化为三角函数,再次换元转化为“耐克函数”求最值,思考角度之四是通过分离常数后结合放缩法求()
g k的取值范围,进而求S的取值范围.
【解法1】
()
()()
()
()()
2
22
42
22
22
2
22
113
4343
16816
()
4343
113
168431643
k k
k k
g k
k k
k k
+-+-
+
==
++
=--
++
令2
1
43
t
k
=
+, 则
1
3
t<<
.
()2
2
1311
()()321
1616312
g k t t t t
ϕ⎛⎫
∴==-+-=-++
⎪
⎝⎭
又∵()t
ϕ在
1
0,
3
⎛⎫
⎪
⎝⎭上是减函数, ∴
1
()(0)
3
t
ϕϕϕ
⎛⎫
<<
⎪
⎝⎭,
即
10()16t ϕ<<
也即 1
0()16g k <<
. 从而
90182S <<<. 而当 PQ x ⊥ 轴时
92S =
, 故 PAQ ∆ 面积的最大值为 9
2.
【解法2】
设 tan k θ=, 其中
0,,22
ππθπ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝
⎭, 则
()()
2
2
2
2
2
2
22tan 1tan sec tan ()()34tan 34tan |sec tan ||sin |
1
18181834sec 13sin |sin ||sin |g k θθθθϕθθθθθθθθ
θθ+⎛⎫=== ⎪
+⎝⎭+=⨯
=⨯=⨯
-++设 3(),(0,1)
h t t t t =+∈,
则函数 ()h t 在 (0,1) 上是减函数, ∴()(1)4h t h >=, ∴
9
18()2PAQ S h t ∆=<
; 当
2π
θ=
时,
92PAQ S ∆=
.
综上, PAQ ∆ 面积的最大值为 9
2.
【解法3】
()
()
422424
2
2
42422
242
1191624916216()1624916249
34189
11161624916189;42
k k k k k
k k g k k k k k k k k k S ++--
++=
==+++++⎡⎤+=-<⎢⎥++⎣⎦∴=<
=
当
2π
θ=
时,
9
.
2PAQ S ∆= 综上, PAQ ∆ 面积的最大值为 9
2.
【解法4】
(
)
()
42
4242
2
42
4222
24
2
()162491689
3411
891616k k k k k k g k k k k k k k k k k +++===++++++=
<
+++
以下同解法三.
强化训练
1.已知 a b 、 满足 2
8b a =, 求证
:
27.
【解析】由于所给问题呈现出圆锥曲线的某些结构特征,故可考虑构造解析几何模型来探求其解法.把(a ,b )看成平面直角坐标系中的点A 的坐标,则点A 的轨迹为抛物线2
8y x =.所证不等式的左边可看成点
A 到点()2,0
B 和点()5,3
C 的距离之和,且点B 佮为抛物线
28y x =
的焦点,如答图38-所示,BA CA =+.
由抛物线定义,BA |等于A 到准线的距离,
BA CA +不小于()5,3C 到准线的距离7,27
.
2.已知
20=, 求 |34100|x y -- 的最值.
【解析】满足题设的点(),P x y 的轨迹是定点()()0,0,8,0A B 的距离之和为定长20的椭圆,此椭圆的长半轴a 满足
220a =.
即10a =,线段AB
10=,即5c =,所以䧎圆的短半轴长b =.
又椭圆长轴所在直线方程为3
4
y x =
,椭圆中心()4,3M 由答图39-可知.使得椭圆与直线
3
4y x m =
+有公共点的m 的取值范围是原点到直线3
4
y x m =+的距离不超过, 即
30404535
m
⨯-⨯+
解得253
44
m -
.
椭圆上任意一点(),P x y 均满足,3253
444
y x -
-. 由1003341002531000x y -----< 得1003
3410010025 3.x y ---+
故34100x y --的最大值为100+最小值为100-
第49讲 轨迹探求
轨迹探求是解析几何的基本题型,其实质就是建立起动点坐标之间的解析关系式, 常 用的方法有: (1)直接法; (2)转移法; (3)定义法; (4)参数法; (5)交轨法; (6)向量法等.
轨迹探求的关键在于对坐标系、方程形式、参数的选择, 在运用参数法并进行消参时, 要注意运用代数变换的技巧和等价性问题, 确定轨迹的范围是轨迹题中的难点.
本讲就轨迹探求的方法和必须注意的问题加以展开, 同时介绍一些与轨迹探求相关 的综合题. 近年来求轨迹或轨迹方程的考查常常安排在解析几何综合题中的一道小题,在 求出轨迹或轨迹方程后进一步研究与之相关的种种问题, 如果说前面这部分没有做出来, 后续问题的解答就无从谈起,一道综合题的得分可想而知.
典型例题
【例1】 已知椭圆 22
22:1(0)
x y C a b a b +=>> 的两个焦点分别为 12(1,0),(1,0)F F -, 且椭圆 C 经过点 41,33P ⎛⎫
⎪
⎝⎭. 设过点 (0,2)A 的直线 l 与椭圆 C 交于 ,M N 两点,
点 Q 是 线段 MN 上的点,且 222
211
||||||AQ AM AN =+, 求点 Q 的轨迹方程.
【分析】 直接法是求轨迹方程的通常方法,一般利用题目所给条件或常见动点
轨迹的概念把动点坐标直接代入条件求出轨迹方程,当然对运算能力这一核心素养的要求很高,而且本题求x 、y 取值范围非常重要,是难点也是关键点,同时也考查了数形结合、转化与化归、分类与整合等数学思想以及思维的严谨性. 【解析】 由椭圆定义知
12
2a PF PF =+
a ==∴=又由已知
222
1,1c b a c =∴=-=. 椭圆 C 的方程为 2
212x y +=.
设点 Q 的坐标为 (,)x y ,当直线 l 与 x 轴垂直时, 直线 l 与椭圆 C 交于
(0,1),(0,1)- 两点,
此时点 Q 的坐标为
0,25⎛- ⎝⎭. 当直线 l 与x 轴不垂直时, 设直线 l 的方程为 2y kx =+. ∵,M N 在直线 l 上, 可设点 ,M N 的坐标分别为
()()1122,2,,2x kx x kx ++, 则
()()
222222
12
||1,||1AM k x AN k x =+=+, 又
22222
||(2)1AQ x y k x =+-=+ 由
222211
||||||AQ AM AN =+
得
()()()222222
12211
111k x k x k x =+
+++, 即
()2
1212
2221212
2211x x x x x x x x x +-=+=①
将 2y kx =+ 代人 2
212x y += 中, 得
()2221860k x kx +++=.② 由
(
)
2
2
(8)42160
k k ∆=-⨯+⨯>, 得
232k >
.
由②可知,
1212
2286,2121k x x x x k k -+=
=++. 代人①中并化简, 得 2
218103x k =-. ③
∵
点 Q 在直线 2y kx =+ 上, ∴
2
y k x -=
, 代人③中并化简, 得
2210(2)318y x --=.
由③及 2
32k >, 可知 2302x <<, 即
x ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 又
0,25⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 满足 2210(2)318y x --=, 故
,22x ⎛∈- ⎝⎭. 由题意, (,)Q x y 在椭圆 C 内, ∴11y -.
又由 2210(2)183y x -=+, 有 2
99(2),54y ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭, 且 11y -, 则
1,225y ⎛∈- ⎝⎦. ∴ 点 Q 的轨迹方程为
22
10(2)318y x --=, 其中
1,,,22225x y ⎛⎫⎛∈-∈- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.
【例2】已知椭圆 2222:1(0)x y C a b a b +=>> 的一个焦点为
0), 离心率为
3.
(1) 求椭圆 C 的标准方程;
(2) 若动点 ()00,P x y 为椭圆外一点,且过点 P 作椭圆 C 的两条切线相互垂直,求 点 P 的轨迹方程.
【分析】本题解答的关键是动静转换与整体代换,点P 是两条切线的交点(定点)又是所求轨迹上的动点，两切线的关系是相互垂直,把一条直线的斜率k 换成−1
k 可以减少运算量;利用相切的条件由Δ=0得关于k 与−1
k 的一元二次方程,利用根与系数的关系及可求得动点P 的轨迹方程,这是常规解法,还可以有其他解法,如结合向量来解,由PA ⊥PB 得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,又如利用椭圓的参数方程解可以减少运算量,倘若借助柯西不等式则是一种奇妙的解法..
【解析】(1) 依题意得
,
3c c e a ==
=. 因此 2223,4a b a c ==-=.
故椭圆 C 的标准方程是 22
194x y +=.
（2）【解法1】设两切线为 2
l l l 、.
1、当 1l x
⊥ 轴或
1//l x
轴时,对应
2//l x
轴或
2l x
⊥ 轴, 可知 (3,2)P ±±.
2、当
1
l 与 x 轴不垂直且不平行时, 03x ≠±, 设 1l 的斜率为 k . 则 2
0,k l ≠ 的斜 率
为 1
k -.由上可得 1l 的方程为 ()00y y k x x -=-, 其与椭圆方程 22194x y += 联立,
消去 y 得
()
()()2
2
2000094189360
k
x y kx kx y kx ++-+--=.
∵ 直线
1
l 与椭圆 C 相切, ∴0∆=, 得
()()
()22
22000099440
y kx k k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦
足
()
222
00009240
x
k x y k y --+-=.
∴k 是方程
()
()
2
22
000092403x
x x y x y x --+-=≠± 的一个根,
同理,
1
k -
是方程 ()
()2220000092403x x x y x y x --+-=≠± 的另一个根.
由韦达定理得 2
020419y k k x -⎛⎫-= ⎪-⎝⎭, 从而得 22
0013x y +=, 其中 03x ≠±.
∴ 点 P 的轨迹方程为
()
22000133x y x +=≠±.
∵(3,2)P ±± 满足上式, ∴ 点 P 的轨迹方程为 22
0013x y +=.
因此动点 P 的轨迹方程是
22
13x y +=. 【解法2】向量法) 过点
()
00,P x y 作椭圆 C 的两条切线, 设切点分别为 (1
A x ,
)()122,,y B x y , 则直线 AB 的方程为 00194x x y y
+=.
当 000x y ≠ 时, 由 0022
1,941,94x x y y
x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 消去 y 得 22220000222
00049840819x y x y x x y y y +--+=.
于是 ()
2
00
12122222
000081472,4949y x x x x x x y x y -+==++ 同理 ()
2
00
1212222
2
000016972,4949x y y y y y x y x y -+==++,
∵()()
10102020,,,PA x x y y PB x x y y =--=--, 且 PA PB ⊥
∴
()()22
1201201201200
PA PB x x x x x x y y y y y y ⋅=-+++-++=
将 12121212 ,x x x x y y y y ++、、 的值代人(1)式并整理得
()22002200361310
49x y x y ⎛⎫+--= ⎪+⎝⎭
又点 ()00,P x y 为椭圆外一点, ∴2200
194x y +>. 即 22
00361049x y -<+.
∴220013
x y +=
当
000
x y = 时, 所得符合题意的两切线的交点也满足方程 22
0013
x y +=.
因此动点 P 的轨迹方程是
22
13x y +=. 【解法3】当两条切线斜率均存在且不为 0 时, 设过点 P 的切线 l 的方程为
y = ()00k x x y -+, 设椭圆上任一点为 (3cos ,2sin )Q θθ, 则点 Q 到 l 的距离 d =
若 l 与椭圆相切, 则
00
kx y =-, 即
()22
2
0009240
x k x y k y -+-+=. 又两
切线垂直, 则 2
122
0419y k k x -==--. 即 ()22000133x y x +=≠±.
当一条切线的斜率不存在,另一条切线斜率为 0 时,易知 (3,2)P ±± 满足 2x + 213y = 综上, 点 P 的轨迹方程为
22
13x y +=. 【解法4】（运用柯西不等式）
当两条切线斜率均存在且不为 0 时,设过点 P 的直线 l 的方程是
()00
y k x x y =-+,
椭圆上任一点为 (,)Q x y , 若直线与椭圆相切, 则 00
kx y kx y -=- 存在最大(最小)值.
由柯西不等式知
()222
2
()
9494x y kx y k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭, 当且仅当 233
2x yk = 时取 等号. 则
()2
20094
kx y k -=+ 时, 直线 l 为切线.
整理得
()22
2
0009240
x k
x y k y -+-+=.
又已知过点 P 向椭圆作的两条切线互相垂直,则 2
122
419y k k x -==--. 即得
()
22000133x y x +=≠±.
而当其中一条切线的斜率不存在,另一条切线斜率为 0 时,易得 (3,2)P ±± 满足
220013x y +=
综上,点 P 的轨迹方程为
22
13x y +=. 强化训练
1、 已知抛物线
2
:2C y x = 的焦点为 F , 平行于 x 轴的两条直线 12,l l 分别交 C 于 ,A B 两 点,交 C 的准线于 ,P Q 两点.
(1) 若 F 在线段 AB 上, R 是 PQ 的中点, 证明: //AR FQ ; (2) 若 PQF ∆ 的面积是 ABF ∆ 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程.
【解析】由题知1,02F ⎛⎫
⎪⎝⎭,设12:,:l y a l y b ==,则0ab ≠且22,,,22a b A a B b ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
111,,,,,.2222a b P a Q b R +⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
记过,A B 两点的直线为l ,则l 的方程为()20x a b y ab -++=. (1)【证明】
由于F 在线段AB 上,故10ab +=.
记AR 的斜率为1,k FQ 的斜率为2k ,则122211a b a b ab
k b k a a ab a a
---=
====-=+-. AR 与FQ 不重合,//AR FQ ∴.
(2)设l 与x 轴的交点为()1,0D x ,则1111222
ABF
S
b a FD b a x =
-=--, POF
2
a b S
-=
.
由题设可得111
,022
a b b a x x ---
=∴=(舍去)或11x =. 设满足条件的AB 的中点为(),E x y .
当AB 与x 轴不垂直时,由AB DE k k =可得
()211
y
x a b x =≠+-, 而
()2,112
a b
y y x x +=∴=-≠.当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合. ∴所求轨迹方程为21y x =-.
2. 已知圆
221x y +=, 点 (1,0),A ABC ∆ 内接于该圆,且 60BAC ∠=︒, 当 ,B C 在圆上运 动时,求 BC 中点的轨迹方程.
【解析】由于B ,C 两点在圆2
2
1x y +=上,可设点()cos ,sin B αα,点()cos ,sin C ββ.
60,120,BAC BOC ∠∠=∴=
120βα∴=+,且0240.α<<
设线段BC 中点为(),M x y ,由中点坐标公式得cos cos ,2
sin sin .2x y αβαβ+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
由于120βα=+,则()()
11
cos cos cos cos 12022
x αβαα⎡⎤=
+=++⎣⎦
()
11111cos cos cos cos 6022222
αααααα⎛⎫⎛⎫=-==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()
1
cos 602
x α∴=+
同理有()
1
sin 602
y α=
+.(2) (1)22
(2)+可得22
14
x y +=
. 0240,6060300αα<<∴<+<,则()
11cos 602α-+<
,即11
24
x -
<. 综上所述,线段BC 中点的轨迹方程为22
1144x y x ⎛⎫
+=
< ⎪⎝⎭
.。