2018版高考数学浙江专用专题复习 专题6 数列与数学归

1．(2016·东营期中)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( ) A ．15 B ．12 C ．－12
D ．－15
2．(2016·山西晋中联考)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数
n 等于( ) A ．13
B ．10
C ．9
D ．6
3．(2016·河南中原名校联考二)已知函数f (x )＝x 2＋ax 的图象在点A (0，f (0))处的切线l 与直线2x －y ＋2＝0平行，若数列{1
f (n )}的前n 项和为S n ，则S 20的值为( )
A.325462
B.1920
C.119256
D.2 0102 011
4．(2016·衡水期中)1＋(1＋12)＋(1＋12＋14)＋…＋(1＋12＋14＋…＋1
210)的值为( )
A ．18＋1
29
B ．20＋1
210
C ．22＋1
2
11
D ．18＋
1210
5．数列{a n }满足a 1＝1，且对于任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1
a 2 013等于
( ) A.2 012
2 013
B.2 013
1 007
C.2 0121 007
D.2 0132 014
二、填空题
6．(2016·富阳质检)已知数列{a n }前n 项的和为S n ， ①若a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝2n －1，则S 49＝________； ②若a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则S 40＝________.
7．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1
＝1
2，a n＝f(n)(n∈N
*)，则数列{a
n
}的前n项和S n的取值范围是________________．
8．数列{a n}的通项公式a n＝n cos nπ
2＋1，前n项和为S n，则S2 012＝________.
9．(2016·云南师大附中月考)设S＝1＋1
12＋
1
22＋1＋
1
22＋
1
32＋1＋
1
32＋
1
42＋…＋
1＋1
2 0142＋1
2 0152，则不大于S的最大整数[S]＝________.
三、解答题
10．(2016·浙江镇海中学测试(八))已知等比数列{a n}(其中n∈N*)的公比q不为1，前n项和记为S n，且满足：a1，a3，a2成等差数列，S1＋S2＝S1·S3.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)求数列{a n·log2|a n|}(n∈N*)的前n项和T n.
答案解析
1．A 2.D
3．A [因为f (x )＝x 2＋ax ，所以f ′(x )＝2x ＋a ，
又函数f (x )＝x 2＋ax 的图象在点A (0，f (0))处的切线l 与直线2x －y ＋2＝0平行，所以f ′(0)＝a ＝2，
所以f (x )＝x 2＋2x ， 所以1f (n )＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)
＝12(1n －1n ＋2
)， 所以S 20＝12[(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋…＋(120－1
22)]
＝12(1＋12－121－1
22) ＝
325
462
.故选A.] 4．B [设a n ＝1＋12＋122＋…＋1
2n －1
＝1－1
2n
1－12＝2(1－12n )
＝2－1
2n －1，
∴S n ＝2n －1－12
n
1－12
＝2n －2(1－12n )＝2n －2＋1
2n －1，
∴S 11＝20＋1
2
10，故选B.]
5．B [因为a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ＝1＋a n ＋n ， 所以a n ＋1－a n ＝n ＋1.
用累加法：a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)
2，
所以1a n ＝2
n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭
⎫1n －1n ＋1.
所以1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 013
＝2(1－12＋12－13＋13－14＋…＋12 013－12 014)
＝2⎝⎛⎭⎫1－12 014＝2 0131 007，故选B.] 6．1 177 820
解析 ①S 49＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 48＋a 49＝1＋3＋7＋…＋95＝1＋24
2
(3＋95)＝1＋1 176＝1 177；
②由已知，a 2＋a 3＝3，a 4＋a 5＝7，…，a 38＋a 39＝75， a 2－a 1＝1，a 4－a 3＝5，…，a 40－a 39＝79， 所以a 1＋a 3＝2，a 7＋a 5＝2，…，a 37＋a 39＝2， a 2＋a 4＝8，a 6＋a 8＝24，a 10＋a 12＝40，…， S 40＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 40＝
(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋…＋a 37＋a 39)＋(a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 38＋a 40) ＝2×10＋10×8＋1
2×10×9×16
＝820. 7．[1
2
，1)
解析 由已知可得a 1＝f (1)＝1
2，
a 2＝f (2)＝[f (1)]2＝(1
2)2，
a 3＝f (3)＝f (2)·f (1) ＝[f (1)]3＝(1
2)3，…，
a n ＝f (n )＝[f (1)]n ＝(1
2)n ，
所以S n ＝12＋(12)2＋(1
2)3＋…
＋(1
2)n ＝12[1－(12)n ]1－12
＝1－(12
)n ，
因为n ∈N *，所以1
2≤S n ＜1.
8．3 018
解析 由于f (n )＝cos
n π
2
的值具有周期性， 所以可从数列的周期性及从头开始连续四项的和为定值入手解决． 当n ＝4k ＋1(k ∈N )时， a n ＝(4k ＋1)·cos
4k ＋1
2
π＋1＝1， 当n ＝4k ＋2(k ∈N )时， a n ＝(4k ＋2)·cos
4k ＋2
2
π＋1 ＝－(4k ＋2)＋1＝－4k －1， 当n ＝4k ＋3(k ∈N )时， a n ＝(4k ＋3)cos
4k ＋3
2
π＋1＝1， 当n ＝4k ＋4(k ∈N )时， a n ＝(4k ＋4)cos
4k ＋4
2
π＋1 ＝(4k ＋4)＋1＝4k ＋5，
∴a 4k ＋1＋a 4k ＋2＋a 4k ＋3＋a 4k ＋4＝1－4k －1＋1＋4k ＋5＝6. ∴S 2 012＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋… ＋a 2 012
＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 2 009＋a 2 010＋a 2 011＋a 2 012) ＝6×503＝3 018. 9．2 014 解析 ∵ 1＋1n 2＋1(1＋n )2
＝
(n 2＋n )2＋2(n 2＋n )＋1
n 2(1＋n )2
＝n 2＋n ＋1n (n ＋1)
＝1＋(1n －1n ＋1)，
∴S ＝1＋(11－12)＋1＋(12－13)＋…＋1＋(12 014－1
2 015)
＝2 015－1
2 015，故[S ]＝2 014.
10．解 (1)由已知条件可得
⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＋a 1q ＝2a 1q 2
，a 1＋a 1＋a 1q ＝a 1·(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝2，q ＝－12或⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＝1，q ＝1(舍)， 所以a n ＝－(－12)n －
2(n ∈N *)．
(2)设b n ＝a n ·log 2|a n |， 则b n ＝－(－12)n －2·log 2(12)n －2
＝(n －2)·(－12
)n －
2，
则T n ＝2＋0＋(－12)1＋2(－12)2＋…＋(n －2)·(－12
)n －
2，①
－12T n ＝－1＋0＋(－12)2＋2·(－12)3＋…＋(n －3)·(－12)n －2＋(n －2)·(－12)n －
1，② ①－②得32T n ＝2＋1＋(－12)＋(－12)2＋(－12)3＋…＋(－12)n －2－(n －2)·(－12)n －1，
所以T n ＝169－23(n －43)·(－12)n －
1.。