云南省昆明市新街中学高三数学文联考试题含解析

云南省昆明市新街中学高三数学文联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数f（x）=，若f（x）的两个零点分别为x1，x2，则|x1﹣x2|=（）
A．B．1+C．2 D． +ln2
参考答案：
C
【考点】54：根的存在性及根的个数判断；5B：分段函数的应用．
【分析】由题意分别讨论两段函数的零点，转化为两个函数图象交点的横坐标，然后结合互为反函数图象的对称性及图象平移求解．
【解答】解：当x＞0时，f（x）=log4（x+1）+x﹣1，
由f（x）=0，可得x﹣1=；
当x≤0时，f（x）=x﹣+3，
由f（x）=0，可得．
作出函数图象如图：
∵函数y=与y=互为反函数，则其图象关于直线y=x对称，
而与分别是把y=与y=向左平移1个单位得到的，
∴两函数图象关于直线y=x+1对称，
又直线y=x﹣1与y=x+3也关于直线y=x+1对称，
不妨设y=x+3（x≤0）与y=的交点的横坐标为x1，y=x﹣1（x＞0）与y=的交点的横坐标为x2，
则|x1﹣x2|=．故选：C．
2. 某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向进行海面巡逻，当航行半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A的北偏东30°方向上，则缉私艇所在的B处与船C的距离是( )
A、5(＋)
B、5(－)
C、10(－)
D、10(＋)
参考答案：
C
由题意，知∠BAC＝60°－30°＝30°，∠ABC＝30°＋45°＝75°，
∠ACB＝180°－75°－30°＝75°，∴AC＝AB＝40×＝20(km)．由余弦定理，
得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC＝202＋202－2×20×20×cos30°
＝800－400＝400(2－)，
∴BC＝＝＝10 (－1)＝10(－)(km)．
3. 设集合，，则（）
A．R B．{0} C．D．
参考答案：
C
4. 已知复数Z1和复数Z2，则
Z1·Z2（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
5. 命题“若α=,则tanα=1”的逆否命题是（）
A．若α≠,则tanα≠1 B．若α=,则tanα≠1
C．若tanα≠1,则α≠ D．若tanα≠1,则α=
参考答案：
C
略
6. 已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
考点：向量的线性运算性质及几何意义；几何概型．
专题：计算题；概率与统计．
分析：根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点P是△ABC边BC上的中线AO 的中点．再根据几何概型公式，将△PBC的面积与△ABC的面积相除可得本题的答案．
解答：解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则
∵，
∴，得=﹣2
由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC的距离的．
∴S△PBC=S△ABC．
将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为P==
故选C
点评：本题给出点P满足的条件，求P点落在△PBC内的概率，着重考查了平面向量加法法则、向量共线的充要条件和几何概型等知识，属于基础题．
7. 函数，
则下列不等式一定成立的是( )
A． B． C． D．
参考答案：
B
8. 已知球的直径SC=6，A、B是该球球面上的两点，且AB=SA=SB=3，则棱锥S﹣ABC的体积为（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】由条件：S﹣OAB为棱长为3的正四面体，由此能求出S﹣ABC的体积．
【解答】解：∵球的直径SC=6，A、B是该球球面上的两点，且AB=SA=SB=3，
∴由条件：S﹣OAB为棱长为3的正四面体，
其体积为=，
同理，
故棱锥S﹣ABC的体积为．
故选：D．
【点评】本题考查线线垂直的证明，考查几何体的表面积的求法，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查数形结合思想等，是中档题．
9. 在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）
A．B．C．2 D．2
参考答案：
B
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，联立方程组求得三角形三个顶点的坐标，代入三角形面积公式得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
不等式组表示的平面区域是一个三角形内部（包括边界）．
其中三个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），B（1，），O（0，0），
∴．
故选：B．
10. 集合A={x|x＞0}，B={﹣2，﹣1，1，2}，则（?R A）∩B=（）
A．（0，+∞）B．{﹣2，﹣1，1，2} C．{﹣2，﹣1} D．{1，2} 参考答案：
C
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据补集和交集的定义，写出运算结果即可．
【解答】解：集合A={x|x＞0}，B={﹣2，﹣1，1，2}，
则?R A={x|x≤0}，
所以（?R A）∩B={﹣2，﹣1}．
故选：C．
【点评】本题考查了交集和补集的定义与运算问题，是基础题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于
两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率
为
．
参考答案：
设椭圆的左、右焦点分别为,将代入椭圆方程可得，可设
,由，可得，即有，即
，可得，代入椭圆方程可得，由
,即有，解得.
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
12. 正偶数列有一个有趣的现象：
①2+4=6
②8+10+12=14+16；
③18+20+22+24=26+28+30，…
按照这样的规律，则2016在第个等式中．
参考答案：
31
考点：归纳推理．
专题：推理和证明．
分析：从已知等式分析，发现规律为：各等式首项分别为2×1，2（1+3），2（1+3+5），…，即可得出结论
解答：解：①2+4=6；
②8+10+12=14+16；
③18+20+22+24=26+28+30，…
其规律为：各等式首项分别为2×1，2（1+3），2（1+3+5），…，
所以第n个等式的首项为2[1+3+…+（2n﹣1）]=2n2，
当n=31时，等式的首项为1922，
所以2016在第31个等式中
故答案为：31．
点评：本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是确定各等式的首项
13. 函数的最小正周期是.
参考答案：
答案：14. 如图所示是函数y＝2sin(ωx＋φ) 的一段图象，
则ω=φ= .
参考答案：
【知识点】的图像.C4
【答案解析】解析：，
由此得：，
，所以.
【思路点拨】利用函数的图像得到函数的周期，从而求得，再由图像过点
得：，
，所以.
15.
的值为
参考答案：
16. 已知正四棱柱的底面边长为2，高为3，则该正四棱柱的外接球的表面积为．参考答案：
17π
17. 如果实数
满足
，则
的最小值为
.
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）已知双曲线的中心在坐标原点, 焦点在轴上, 离心率
,虚轴长为
.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线与曲线
相交于
两点（
均异于左、右顶点），且以
为直径的
圆过双曲线
的左顶点,求证：直线 过定点, 并求出定点的坐标.
参考答案：
（1）（2）
试题解析：
（1）设双曲线的标准方程为
, 由已知得
又
,解
得 ,所以双曲线的标准方程为 .
（2）设
,联立
,得
,有
,
,以为直径的圆过双曲线的左
顶点
,
,即
,
,解得
或
.当
时, 的方程为
,直线过定
点,与已知矛盾；当时,的方程为,直线过定点,经检验符合
已知条件, 所以直线过定点,定点坐标为.
考点：双曲线标准方程，直线过定点
【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
19. （本小题满分12分）在△ABC 中，
．
(I)求角C 的大小； (Ⅱ)若
的外接圆半径为1，求
的面积，
参考答案：
20. 已知函数
（1）若函数在区间上存在极值，其中，求实数的取值范围；
（2）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证:
参考答案：
（1）因为，则…… 2分
当时，；当时，
所以在上单调递增；在单调递减，所以在处取得极大值。

因为在区间（其中）上存在极值。

所以：，解得：……4分（2）不等式即为记
所以
………… 6分
令，则，，在上单调递
增，
，从而，故在上也单调递增，
所以，所以
. ………… 8分
（3）由（2）知：恒成立，即，
令，则，…………10分
所以,
，
，
……
，
叠加得：
=n-2(1-)＞n-2+＞n-2 . ………… 12分
略
21. 已知对称中心在原点的椭圆的一个焦点与圆x2+y2﹣2x=0的圆心重合，且椭圆过点（，1）．（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点P（0，1）的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若=2，求△AOB的面积．参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）设椭圆方程为=1（a＞b＞0），先求出c=，由椭圆过点（，1），得=1，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）由，得，设直线方程为y=kx+1，代入椭圆，得（2k2+1）x2+4kx ﹣2=0，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出△AOB的面积．
【解答】解：（1）∵对称中心在原点的椭圆的一个焦点与圆x2+y2﹣2x=0的圆心重合，且椭圆过点（，1），
∴设椭圆方程为=1（a＞b＞0），c为半焦距，c=，
∴a2﹣b2=2，①
由椭圆过点（，1），得=1，②
由①②，得a2=4，b2=2，∴所求椭圆的标准方程为．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，
设直线方程为y=kx+1，代入椭圆，得（2k2+1）x2+4kx﹣2=0，
解得x=，设，，
则﹣=2?，解得，
∴△AOB的面积S=|OP|?|x1﹣x2|=?==．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、向量的数量积的合理运用．
22. （本小题满分12分）
已知等比数列中，项的和为S n．
（1）若的值；
（2）求不等式的解集．
参考答案：
解：（Ⅰ）得
是以为首项，２为公差的等差数列.
..8分
（Ⅱ）
即，所求不等式的解集为…12分
略。