广东省江门市2019-2020学年高考第三次质量检测数学试题含解析

广东省江门市2019-2020学年高考第三次质量检测数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合{}2|
0,|121x A x B x x x +⎧⎫=≤=-<<⎨⎬-⎩⎭，则A B I =（ ） A ．[2,2)-
B ．(]1,1-
C ．()11-，
D ．()12-， 【答案】C
【解析】
【分析】
求出集合A ，然后与集合B 取交集即可．
【详解】 由题意，{}2|
0|211x A x x x x +⎧⎫=≤=-≤<⎨⎬-⎩⎭，{|12}B x x =-<<，则{|11}A B x x =-<<I ，故答案为C.
【点睛】
本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题．
2．若不等式22ln x x x ax -+…对[1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(,0)-∞
B ．(,1]-∞
C ．(0,)+∞
D ．[1,)+∞
【答案】B
【解析】
【分析】
转化22ln ,[1,)x x x ax x -+∈+∞…为2ln a x x +…，构造函数()2ln ,[1,)h x x x x =+∈+∞，利用导数研究单调性，求函数最值，即得解.
【详解】
由22ln ,[1,)x x x ax x -+∈+∞…，可知2ln a x x +…．
设()2ln ,[1,)h x x x x =+∈+∞，则2()10h x x
'=
+>， 所以函数()h x 在[1,)+∞上单调递增，
所以min ()(1)1h x h ==．
所以min ()1a h x =…．
故a 的取值范围是(,1]-∞．
【点睛】
本题考查了导数在恒成立问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 3．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）种.
A ．408
B ．120
C ．156
D ．240
【答案】A
【解析】
【分析】
利用间接法求解，首先对6门课程全排列，减去“乐”排在第一节的情况，再减去“射”和“御”两门课程相邻的情况，最后还需加上“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻的情况；
【详解】
解：根据题意，首先不做任何考虑直接全排列则有66720A =（种）， 当“乐”排在第一节有55120A =（种），
当“射”和“御”两门课程相邻时有25
25240A A =（种），
当“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻时有242448A A =（种）， 则满足“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻的排法有72012024048408--+=（种）， 故选：A ．
【点睛】
本题考查排列、组合的应用，注意“乐”的排列对“射”和“御”两门课程相邻的影响，属于中档题． 4．已知ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且60A =︒，3b =，AD 为BC 边上的中线，若72AD =
，则ABC V 的面积为（ ）
A B ．4 C ．154 D ．4
【答案】B
【解析】
【分析】
延长AD 到E ，使AD DE =，连接,BE CE ，则四边形ABEC 为平行四边形，根据余弦定理可求出5AB =，进而可得ABC V 的面积.
解：延长AD 到E ，使AD DE =，连接,BE CE ，则四边形ABEC 为平行四边形，
则3BE AC ==，18060120ABE ∠=-=o o o ，27AE AD ==，
在ABE △中，2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠
则2227323cos120AB AB =+-⨯⨯⨯o ，得5AB =， 113153sin 605322ABC S AB AC =⋅⋅=⨯⨯⨯=o V . 故选：B.
【点睛】
本题考查余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，其中根据中线作出平行四边形是关键，是中档题. 5．在等差数列{}n a 中，若n S 为前n 项和，911212a a =+，则13S 的值是（ ）
A ．156
B ．124
C ．136
D ．180
【答案】A
【解析】
【分析】
因为711911212a a a a +==+，可得712a =，根据等差数列前n 项和，即可求得答案.
【详解】 Q 711911212a a a a +==+，
∴712a =，
∴()113137131313121562
a a S a +===⨯=. 故选：A.
【点睛】
本题主要考查了求等差数列前n 项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前n 项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
6．已知实数0a >，1a ≠，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩
在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是
（ ）
A ．12a <≤
B ．5a <
C ．35a <<
D ．25a ≤≤
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，对于函数分2段分析：当1,()x x f x a <=，由指数函数的性质分析可得1a >①，当241,()ln x f x x a x x ≥=++，由导数与函数单调性的关系可得24()20a f x x x x
'=-+≥，在[1,)+∞上恒成立，变形可得2a ≥②，再结合函数的单调性，分析可得14a ≤+③，联立三个式子，分析可得答案.
【详解】
解：根据题意，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩
在R 上单调递增，
当1,()x x f x a <=，若()f x 为增函数，则1a >①， 当241,()ln x f x x a x x
≥=++， 若()f x 为增函数，必有24()20a f x x x x '=-
+≥在[1,)+∞上恒成立， 变形可得：242a x x
≥
-， 又由1x ≥，可得()242g x x x =-在[1,)+∞上单调递减，则244221
2x x -≤-=， 若242a x x ≥-在[1,)+∞上恒成立，则有2a ≥②， 若函数()f x 在R 上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值，
则需有145a ≤+=，③
联立①②③可得：25a ≤≤.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质.
7．设全集U =R ，集合()2log 41{|}A x x =-≤，()()35{|}0B x x x =-->，则()U B A =I ð（ ）
A ．[2]5，
B ．[2]3，
C ．[)24，
D ．[)34，
【答案】D
【解析】
【分析】 求解不等式，得到集合A ，B ，利用交集、补集运算即得解
【详解】
由于2log (4)124x x -≤∴≤<
故集合[
)24A =， ()()350x x -->3x ∴<或5x >
故集合()()35B =-∞⋃+∞，
， ∴ ()[)|3
4U B A ⋂=，ð 故选：D
【点睛】
本题考查了集合的交集和补集混合运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题. 8．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l α⊄,l β⊄则 （ ）
A ．α∥β且l ∥α
B ．α⊥β且l ⊥β
C ．α与β相交，且交线垂直于l
D ．α与β相交，且交线平行于l 【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：由m ⊥平面α，直线l 满足l m ⊥，且l α⊄，所以//l α，又n ⊥平面β，,l n l β⊥⊄，所以l β//，由直线,m n 为异面直线，且m ⊥平面,n α⊥平面β，则α与β相交，否则，若//αβ则推出//m n ，与,m n 异面矛盾，所以,αβ相交，且交线平行于l ，故选D ．
考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．
9．已知函数13()4sin 2,0,63f x x x π⎛
⎫⎡⎤=-∈π ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,...,n x x x x ，且123...n x x x x <<<<，则123122...2n n x x x x x -+++++=（ ）
A ．503π
B ．21π
C ．1003π
D ．42π
【答案】C
【解析】
【分析】 令()262x k k Z π
ππ-=+∈，求出在130,3⎡⎤π⎢⎥⎣⎦的对称轴，由三角函数的对称性可得122315232,2,...,2366
n n x x x x x x -πππ+=⨯+=⨯+=⨯，将式子相加并整理即可求得123122...2n n x x x x x -+++++的值.
【详解】 令()262x k k Z π
π
π-=+∈，得()123x k k Z π=π+∈，即对称轴为()123
x k k Z π=π+∈. 函数周期T π=，令113233k ππ+=π，可得8k =.则函数在130,3x ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦
上有8条对称轴. 根据正弦函数的性质可知122315232,2,...,2366n n x x x x x x -πππ+=
⨯+=⨯+=⨯， 将以上各式相加得：
12312582322...2...26666n n x x x x x -ππππ⎛⎫+++++=++++⨯ ⎪⎝⎭()2238100323
+⨯ππ=⨯= 故选:C.
【点睛】
本题考查了三角函数的对称性，考查了三角函数的周期性，考查了等差数列求和.本题的难点是将所求的式子拆分为1223341...n n x x x x x x x x -++++++++的形式.
10．在ABC ∆中，D 为AC 的中点，E 为AB 上靠近点B 的三等分点，且BD ，CE 相交于点P ，则AP =u u u r
（ ） A ．2132AB AC +u u u r u u u r B ．1124AB AC +u u u r u u u r C ．1123
AB AC +u u u r u u u r D ．2133
AB AC +u u u r u u u r 【答案】B
【解析】
【分析】 设AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r ，则2AP xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r ，32
x AP AE y AC =+u u u r u u u r u u u r ， 由B ，P ，D 三点共线，C ，P ，E 三点共线,可知21x y +=，
312
x y +=,解得,x y 即可得出结果. 【详解】
设AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r ，则2AP xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r ，32
x AP AE y AC =+u u u r u u u r u u u r ， 因为B ，P ，D 三点共线，C ，P ，E 三点共线，
所以21x y +=，
312x y +=，所以12x =，14y =. 故选:B.
【点睛】
本题考查了平面向量基本定理和向量共线定理的简单应用,属于基础题.
11．函数22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-的一个单调递增区间是（ ）
A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B ．3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
C ．5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．59,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】D
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x 表达式，再根据三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调区间，由此确定正确选项.
【详解】
因为22
()2cos (sin cos )2f x x x x =++-
1cos 21sin 2224x x x π⎛⎫=+++-=+ ⎪⎝
⎭，由()f x 单调递增，则222242k x k πππππ-≤+≤+（k ∈Z ），解得388
k x k ππππ-≤≤+（k ∈Z ），当1k =时，D 选项正确.C 选项是递减区间，A ，B 选项中有部分增区间部分减区间.
故选：D
【点睛】
本小题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想，应用意识.
12．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，对称轴与准线的交点为T ，P 为C 上任意一点，若2PT PF =，则PTF ∠=（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
【答案】C
【解析】
【分析】
如图所示：作PM 垂直于准线交准线于M ，则PM PF =，故2PT PM =，得到答案. 【详解】
如图所示：作PM 垂直于准线交准线于M ，则PM PF =，
在Rt PTM ∆中，2PT PM =，故30PTM ∠=︒，即60PTF ∠=︒.
故选：C .
【点睛】
本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为____分钟.
【答案】7.5
【解析】
【分析】
分别求出所有人用时总和再除以总人数即可得到平均数.
【详解】
76+147+1584107.5714154
⨯⨯⨯+⨯=+++ 故答案为：7.5
【点睛】
此题考查求平均数，关键在于准确计算出所有数据之和，易错点在于概念辨析不清导致计算出错.
14．二项式6
21x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中6x 项的系数为_____． 【答案】15
【解析】
【分析】
由题得，()123161r
r r r T C x -+=-，令1236r -=，解得2r =，代入可得展开式中含x 6项的系数. 【详解】
由题得，()
()6212316611r r r r
r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令1236r -=，解得2r =， 所以二项式621x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中6x 项的系数为()226115C -=. 故答案为：15
【点睛】
本题主要考查了二项式定理的应用，考查了利用通项公式去求展开式中某项的系数问题.
15．曲线()4x f x x e =-在点()()
0,0f 处的切线方程为________. 【答案】310x y --=
【解析】
【分析】
求导，得到()0f '和()0f ，利用点斜式即可求得结果.
【详解】
由于()01f =-，()4x f x e '=-，所以()0413f '=-=，
由点斜式可得切线方程为310x y --=.
故答案为：310x y --=.
【点睛】
本题考查利用导数的几何意义求切线方程，属基础题.
16．点0P 是曲线3ln y x x k =++（k ∈R ）图象上的一个定点，过点0P 的切线方程为410x y --=，则实数k 的值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】
求出导函数，由切线斜率为4即导数为4求出切点0P 横坐标，再由切线方程得纵坐标后可求得k ．
【详解】
设0(,)P x y ， 由题意31y x '=+，∴314x
+=，1x =，4113y =⨯-=，即0(1,3)P ， ∴33ln11k =++，2k =．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，函数图象某点处的切线的斜率就是该点处导数值．本题属于基础题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知()x f x e mx =-.
（1）若曲线ln y x =在点2(,2)e 处的切线也与曲线()y f x =相切，求实数m 的值；
（2）试讨论函数()f x 零点的个数.
【答案】（1）21m e -=-（2）答案不唯一具体见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何意义，设切点的坐标000(,)x
x e mx -，用不同的方式求出两种切线方程，但两条切线
本质为同一条，从而得到方程组000201x x x e m e e x e -⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，再构造函数研究其最大值，进而求得21m e -=-； （2）对函数进行求导后得()x
f x e m '=-，对m 分三种情况进行一级讨论，即0m <，0m =， 0m >，结合函数图象的单调性及零点存在定理，可得函数零点情况.
【详解】
解: （1）曲线ln y x =在点2(,2)e 处的切线方程为2212()y x e e -=
-，即211y x e =+. 令切线与曲线()x f x e mx =-相切于点000(,)x x e mx -，则切线方程为000()(1)x x y e m x e x =---，
∴000201x x x e m e e x e -⎧-=⎪⎨-=⎪⎩
， ∴()221ln()1m e m e --⎡⎤+-+=⎣⎦，
令2m e t -+=，则(1ln )1t t -=，
记()(1ln )g t t t =-，()1(1ln )ln g t t t '=-+=-
于是，()g t 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，
∴max ()(1)1g t g ==，于是21t m e -=+=，21m e -=-.
（2）()x
f x e m '=-，
①当0m <时，()0f x '>恒成立，()f x 在R 上单调递增，且(0)10f m =->，11()10m f e m =-< ∴函数()f x 在R 上有且仅有一个零点；。