第10章 耦合电感和理想变压器

1 11 12 L1i1 Mi2 2 22 21 L2i2 Mi1
(6 3)
当i1、i2随时间变化时，磁链也将随之变化。根据电磁 定律，变化的磁链将在线圈中产生感应电压。则
u1
d1
dt
L1
di1 dt
M
di2 dt
u11
u12
u2
d 2
dt
L2
di2 dt
M
di1 dt
u22
解 求互感系数M
M k L1L2 0.5 1 4 1H
因为是顺接，故
g
R1 L1 M g
u
L2
u
i
R2
Re Le
i
Re R1 R2 1 2 3k
(a)
(b)
Le L1 L2 2M 1 4 21 7H
Z Re jLe 3000 j314 7 3719.033 36.229o
第十章 耦合电感和理想变压器
什么是耦合电感？ 如果一个线圈中的磁通是由其它线圈中的电流产生 的，该磁通就称为互感磁通或耦合磁通，这种现象称 为磁耦合。具有磁耦合的电感线圈称为耦合电感元件， 简称为耦合电感。
10-1 耦合电感元件 10-2 含耦合电感的电路分析 10-3 空心变压器 10-4 理想变压器
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
U&1 jL1I&1 jMI&2
u2
L2
di2 dt
M
di1 dt
U&2 jMI&1 jL2I&2
式中 jM ZM 互感复阻抗 M 互感抗 单位均为: Ω
耦合电感可用受控源表示
1
I&1
•
j L1
U&1
j MI&2
1
2
j L2
•
U&2
j MI&1
2
I&2
工程上用耦合系数 k 定量反映两个耦合线圈磁耦 合的紧密程度，定义为
L2 u2
i1 M
•
1.5V L1
L2 u2
•
(a)
(b)
解 (a) 开关闭合瞬间，di1>0，故有
u2
M
di1 dt
0
(b) 开关闭合瞬间，di1>0，故有
u2
M
di1 dt
0
此为实验测定耦合线圈同名端的方法。
10-2 含耦合电感的电路分 分析依析据仍然是两类约束关系。不同的是，元件 的VCR中包括耦合电感元件的VCR。 1.串联
(R1 R2) j(L1 L2 2M)I&
顺接
U& (R1I& jL1I& jMI&) (R2I& jL2I& jMI&)
i R1 • L1
M R2
L2
•
u1
u2
u
(a) 顺接串联
(R1 R2) j(L1 L2 2M)I&
等效电路为
Re R1 R2
顺接 Le L1 L2 2M
同侧并联等效电路见左图
i i1 i2
u
R1i1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u
R2i2
L2
di2 dt
M
di1 dt
整理方程，得出u的表达式
u
R1i1
(L1
M)
di1 dt
M
di dt
u
R2i2
(L2
M)
di2 dt
M
di dt
耦合电感并联的去耦等效电路与各电压电流的 参考方向无关，只与其同侧或异侧连接有关。
方向（依据右手螺旋定则），就可以确定磁链的增磁 与消磁，从而确定两个互感电压的正负。
图中，互
L1
N1
L2
N2
感与自感磁链
方向相同，u12 Φ11
Φ21
和u21均取正号。
若i1由1端流入， i2 由 2 端流入，
i1
1
•
u12
u1
1
2
u21 u2
i2
•
2
(a)
则互感磁链有“去磁”作用， u12和u21取负号。
di2 dt
M
di1 dt
整理方程得
u13
R1i1
(L1
M
)
di1 dt
M
di dt
u23
R2i2
(L2
【例10-4】电路如图。求各支路电流和支路1、2的复功率。已
知 u 50 2 cos(t 20o)V，R1 3，L1 7.5，
R2 5，L2 12.5，M 8。
解 根据去耦等效电路
i L1
u
R1
Z jM R1 j(L1 M )R2 j(L2 M )
i1
R1 j(L1 M ) R2 j(L2 M )
I& U& Z
220 30o 3719.033 36.229o
59.155
6.229o mA
i 59.155 2 cos(314t 6.229o) mA
反接时
Le L1 L2 2M 1 4 21 3H
Z Re jLe 3000 j314 3 3144.418 17.432o
第一个线圈的自感磁链 第二个线圈的自感磁链 互感磁链
互感磁链
每个线圈中的磁链等于自感、互感磁链的代数和，即
1 11 12 第一个线圈的总磁链
2 22 21 第二个线圈的总磁链 12 、 21 前面的正号，表示互感磁链与自感磁链方向 相同；负号表示相反。方向相同时具有“增磁”或 “助磁”作用；方向相反时具有“消磁”或“去磁” 作用。
复功率守恒
3.T形联接 (分为同侧联接和异侧联接)
1 i1 R1
u13
L1 M L2 ••
R2 i2 2
i
u23
3
(a) 同侧联接
1 i1 R1 L1 M
L2 M R2 i2 2
u13
M
u23
i
3
同侧联接等效电路
i i1 i2
u13
R1i1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u23
R2i2
L2
互感磁链的作用（增磁或去磁）与电流的流入 （或流出）端有关。
在两个耦合线圈中，各指定一个端子使之同时流
入或流出电流，
若产生的互感
磁链有“增磁”
作用，则这两
Φ11
个端子称为：
“同名端”。
常用同名端标记
L1
N1
L2
N2
i1
1
•
u12
u1
1
2
u21 u2
i2
•
2
(a)
Φ21
“•”“V”“”“o”
I& Re jLe
U&
反接 Le L1 L2 2M
电路复阻抗为
Z UI&& (R1 R2 ) j(L1 L2 2M ) Re jLe
【例10-3】电路如图a。已知：L1 1H，L2 4H，R1=1k，R2 =2k，
k 0.5，u 220 2 cos 314t 30o V，求电流i。改为反接再求i。
)
代入参数求得
I&1 4.4 39.14o A
I&1
R2
U& jMI& j(L2 M )
代入参数求得 I&2 1.99 90.589o A
各支路复功率 (注意：要回到原电路求解)
S1 U&I&1* 50 20o 4.4 39.14o 220 59.14o V A (112.847 j188.853)V A
10-1 耦合电感元件 两个具有磁耦合的电感线圈
其中
Φ11
L1
N1
L2
N2
Φ21
i1
1
•
u12
u1
1
2
u21 u2
i2
•
2
(a)
L1 、L2 两个电感的自感系数；
N1 、N2 两个电感的匝数； i1 、i2 施感电流；
Φ11 第一个 线圈的自感磁
L1
N1
L2
N2
通，由i1产生； Φ11
Φ21
U& R1I&1 j(L1 M )I&1 jMI& U& R2I&2 j(L2 M )I&2 jMI&
I& jM
U& j(L1 M )
R1
I&1
j(L2 M )
R2 I&2
同侧并联
I&
jM
j(L1 M )
U&
R1
I&1
j(L2 M )
R2 I&2
异侧并联
并联等效电路的相量形式
Φ22 第二个 线圈的自感通，
i1
1
•
u12
u1
1
2
u21 u2
i2
•
2
由i2产生；
(a)
Φ21、互感磁通，由i1产生与第二个线圈交链的磁通。
Φ12、互感磁通，由i2产生与第一个线圈交链的磁通。
各磁通的方向与施感电流满足右手螺旋定则。
相应磁通与交链线圈匝数的乘积，称为磁链 。
11 N1Φ11 22 N2Φ22 21 N2Φ21 12 N1Φ12
k 21 12 M ≤ 1
11 22
L1L2
k ＝1时，称为全耦合。
两个线圈之间的耦合程度或耦合系数 k 的大小与 线圈的结构、相对位置、距离及周围的磁介质有关。
1 2
1 2
(a) k 1
2
2
1
1
(b) k 0
【例10-2】试判断在开关闭合瞬间，u2大于零还是小于零。
i1 M
••
1.5V L1
取负号。
图b的伏安关系为
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
L2
di2 dt
M
di1 dt
【例10-1】试写出各耦合元件的伏安关系。
i1 • L1
M
L2
•
i2
i1
L1
u1
u2
u1
(a)
解
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
M
di1 dt
L2
di2 dt
i1
M i2
••
u1 L1
L2 u2
1 i1 M
2
•
图b是图a的图形符 号表示。
u1 L1
L2 u2
•
1
i2 2 (b)
伏安关系列写规则
当u1与i1、 u2与i2取关联参 考方向时，自感电压取正号， 否则取负号；当施感电流由同 名端流入，而产生它的互感电
1 i1 M
2
•
u1 L1
L2 u2
•
1
i2 2 (b)
压选则同名端为参考正极时，互感电压取正号，否则
(b)
(c)
M •
• i2 L2
u2
(b)
i1 M
•
u1 L1
L2 u2
•
i2 (d)
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
M
di1 dt
L2
di2 dt
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
M
di1 dt
L2
di2 dt
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
M
di1 dt
L2
di2 dt
当施感电流为同频正弦量且为正弦稳态时，可用 相量表示伏安关系。如式 (6 5) 可表示为
S2 U&I&2* 50 20o 1.99 90.589o 99.5 110.589o V A (34.99 j93.145)V A
S U&I&* 50 20o 5.851 54.561o 292.55 74.561o V A (77.88 j281.993)V A
S S1 S2
当线圈周围的介质为非铁磁材料时，其磁路为线性磁 路，此时满足
11 L1i1 ， 22 L2i2 12 M12i2 ， 21 M 21i1
(6 2)
M12、M 21称为互感系数，简称互感，为正实常数。单位为 H(亨[利])。可以证明：M12 M 21 。常省去下标，记为M。
两个线圈的总磁链为
u21
(6 4)
式中
u11
L1
di1 dt
，u22
L2
di2 dt
为自感电压，u1与i1、 u2与i2取关联方向，自感电压取
正号；否则取负号。
u12
M
di2 dt
，u21
M
di1 dt
为互感电压，互感与自感磁链方向相同时，即起“增磁”
作用时，取正号；否则取负号。
根据两个线圈的绕向和相对位置，及施感电流的
M L2
R2 i2
(R1 jL1)(R2 jL2 ) 2M 2 R1 R2 j(R1 L2 2M )
i M
L1 M L2 M
u
代入参数求得 Z 8.546 74.561o
R1
R2
i1
i2
I& U& 代入参数求得 I& 5.851 54.561o A
Z
I&1
R1
U& jMI& j(L1 M
正弦稳态时的相量表示
同侧并联
u
R1i1
(L1
M)
di1 dt
M
di dt
u
R2i2
(L2
M)
di2 dt
M
di dt
异侧并联
u
R1i1
(L1
M)
di1 dt
M
di dt
u
R2i2
(L2
M)
di2 dt
M
di dt
U& R1I&1 j(L1 M )I&1 jMI& U& R2I&2 j(L2 M )I&2 jMI&
i R1 • L1
M R2
L2
•
u1
u2
u
(a) 顺接串联
i R1 L1
M R2
L2
•
•
u1
u2
u
(b) 反接串联
顺接串联
u
u1
u2
R1i
L1
di dt
M
di dt
R2i
L2
di dt
M
di dt
R1
R2
i
L1
L2
2M
di dt
反接串联
u
u1
u2
R1i
L1
di dt
M
di dt
R2i
L2
di dt
M
di dt
R1
R2
i
L1
L2
2M
di dt
i R1
L1
M R2
L2