成都七中实验学校(初中部)九年级数学上册第一单元《一元二次方程》测试(答案解析)

一、选择题
1．下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．20ax bx c ++= B ．210x y -+= C ．2
1
20x x
+
-=
D ．(1)(2)1x x x -+=-
2．已知三角形的两边长分别为4和6，第三边是方程217700x x -+=的根，则此三角形
的周长是（ ） A ．10
B ．17
C ．20
D ．17或20
3．某超市今年1月份的营业额为50万元，已知2月至3月营业额的月增长率是1月至2月营业额的月增长率的2倍，3月份的营业额是66万元，设该超市1月至2月营业额的月增长率为x ，根据题意，可列出方程（ ） A ．()50166x += B ．()2
50166x += C ．()2
501266x +=
D ．()()5011266x x ++= 4．若关于x 的方程kx²+4x-1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k-4且k≠0
B ．k≥-4
C ．k>-4且k≠0
D ．k>-4
5．由于疫情得到缓和，餐饮行业逐渐回暖，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元，若设每天的增长率为x ，则x 满足的方程是（ ） A ．5000（1+x ）＝6050 B ．5000（1+2x ）＝6050 C ．5000（1﹣x ）2＝6050
D ．5000（1+x ）2＝6050
6．日历中含有丰富的数学知识，如在图1所示的日历中用阴影圈出9个数，这9个数的大小之间存在着某种规律.小慧在2020年某月的日历中也按图1所示方式圈出9个数（如图2），发现这9个数中最大的数与最小的数乘积是297，则这9个数中，中间的数e 是（ ） 日
一
二 三 四 五 六
图1
图2
A ．17
B ．18
C ．19
D ．20
7．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝a （a <2），BC ＝2．以点D 为圆心，CD 的长为半径画弧，交AD 于点E ，交BD 于点F ．下列哪条线段的长度是方程2240x ax +-=的一个根（ ）
A ．线段AE 的长
B ．线段BF 的长
C ．线段B
D 的长
D ．线段DF 的长
8．用配方法解方程23620x x -+=时，方程可变形为（ ） A ．2
1(3)3x -= B ．2
1(1)33
x -=
C ．21(1)3
-=
x D ．2(31)1x -=
9．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．2
10x x
+
= B ．ax 2+bx +c ＝0 C ．(x ﹣1)(x ﹣2)＝0 D ．3x 2+2＝x 2+2(x ﹣1)2 10．不解方程，判断方程23620x x --=的根的情况是（ ）
A ．无实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．有两个不相等的实数根
D ．以上说法都不正确
11．如图，是一个简单的数值运算程序，则输入x 的值为（ ）
A ．31+
B ．31-+
C ．31+或31-+
D ．无法确定
12．如图，BD 为矩形ABCD 的对角线，将△BCD 沿BD 翻折得到BC D '△，BC '与边AD 交于点E ．若AB ＝x 1，BC ＝2x 2，DE ＝3，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣4x+m ＝0的两个实根，则m 的值是（ ）
A ．
165
B ．
125
C ．3
D ．2
二、填空题
13．已知12,x x 是一元二次方程2
1402
x mx m -+-=的两个实数根且12111x x +=，则m 的值为______．
14．填空：（1）214x x ++________2(7)x =+；（2）29x x -+_______=（x-____）2 15．已知方程2230x x +-=的解是11x =，23x =-，则方程2(3)2(3)30x x +++-=的解是_____．
16．已知实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，则21
a
+3β的值为________．
17．已知()0n n ≠是一元二次方程240x mx n ++=的一个根，则m n +的值为______． 18．若a ，b 是方程22430x x +-=的两根，则22a ab b +-=________．
19．北京奥运会的主会场“鸟巢”让人记忆深刻．在鸟巢设计的最后阶段，经过了两次优化，鸟巢的结构用钢量从5.4万吨减少到4.2万吨．若设平均每次用钢量降低的百分率为x ，根据题意，可得方程_______
20．关于x 的一元二次方程有两个根0和3，写出这个一元二次方程的一个一般式为______．
参考答案
三、解答题
21．解方程：
（1）26160x x +-=． （2）22430x x --=． 22．解方程： （1）()2
316x -=
（2）22410x x --=（用公式法解） 23．计算题
（1）解方程：2
690x x ++= （2）解不等式组：315
2(2)7x x x ->⎧⎨+<+⎩
24．解方程．
（1）230x x +-=． （2）4(21)12x x x -=-． 25．解方程：
（1）2
(1)80x --=；
（2）25210x x +-=．
26．阅读下列材料：
对于任意的正实数a ，b ，总有2a b ab +≥成立（当且仅当a b =时，等号成立），这个不等式称为“基本不等式”利用“基本不等式”可求一些代数式的最小值． 例如：若0x >，求式子1
x x
+的最小值． 解：∵0x >，∴11
2212x x x x
+
≥⋅==，∴1x x +的最小值为2．
（1）若0x >，求9
x x
+
的最小值； （2）已知1x >，求2
251
x x x -+-的最小值．
（3）如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AOB 、COD △的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
利用一元二次方程定义进行解答即可． 【详解】
A 、当a ＝0时，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
B 、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
C 、不是整式方程，故此选项不合题意；
D 、是一元二次方程，故此选项符合题意； 故选：D ． 【点睛】
此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意
抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．B
解析：B 【分析】
根据第三边是方程x 2﹣17x +70＝0的根，首先求出方程的根，再利用三角形三边关系求出即可． 【详解】
解：∵217700x x -+=， ∴(10)(7)0x x --=， ∴110x =，27x =，
∵4610+=，无法构成三角形， ∴此三角形的周长是：46717++=． 故选B ． 【点睛】
此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，正确利用因式分解法解一元二次方程可以大大降低计算量．
3．D
解析：D 【分析】
根据2月份的营业额=1月份的营业额×（1+x ），3月份的营业额=2月份的营业额×（1+2x ），把相关数值代入即可得到相应方程． 【详解】
解：∵1月份的营业额为50万元，2月份的营业额比1月份增加x ， ∴2月份的营业额=50×（1+x ）， ∴3月份的营业额=50×（1+x ）×（1+2x ）， ∴可列方程为：50（1+x ）（1+2x ）=66． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b ．注意先求得2月份的营业额．
4．B
解析：B 【分析】
分k=0和k≠0两种情况考虑，当k=0时可以找出方程有一个实数根；当k≠0时，根据方程有实数根结合根的判别式可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出k 的取值范围．结合上面两者情况即可得出结论．
【详解】
解：当k=0时，原方程为-4x+1=0， 解得：x=
14
， ∴k=0符合题意； 当k≠0时，
∵方程kx 2-4x-1=0有实数根， ∴△=（-4）2+4k≥0， 解得：k≥-4且k≠0．
综上可知：k 的取值范围是k≥-4． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
5．D
解析：D 【分析】
根据开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元列方程即可得到结论． 【详解】
解：设每天的增长率为x ， 依题意，得：5000（1+x ）2＝6050． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．C
解析：C 【分析】
根据日历的特点得到8i e =+，8a e =-，列出一元二次方程解出e 的值． 【详解】
解：根据日历的特点，同一列上下两个数相差7，前后两个数相差1， 则7h e =+，18i h e =+=+，7b e =-，18a b e =-=-， ∵最大的数与最小的数乘积是297，
∴()()88297ai e e =-+=，解得19e =±，取正数，19e =． 故选：C ． 【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程进行求解．
7．B
解析：B 【分析】
根据勾股定理求出BF ，利用求根公式解方程，比较即可． 【详解】
解：∵四边形ABCD 是矩形 ∴CD=AB=a
在Rt △BCD 中，由勾股定理得，BD =
∴a ，
解方程2
240x ax +-=得x a =±=-
∴线段BF 的长是方程2240x ax +-=的一个根． 故选：B ． 【点睛】
本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．
8．C
解析：C 【分析】
先移项得到2362x x -=-，再把方程两边都除以3，然后把方程两边加上1即可得到
()
2
113
x -=
． 【详解】
移项得：2362x x -=-， 二次系数化为1得：2
223x x -=-
， 方程两边加上1得：22
2113
x x -+=-+， 所以()2
113
x -=． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9．C
解析：C 【分析】
根据一元二次方程的定义解答：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；
含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】
A 、是分式方程．错误；
B 、当a ＝0时不是一元二次方程，错误；
C 、是，一元二次方程，正确；
D 、3x 2+2＝x 2+2(x ﹣1)2整理后为x=0，是一元一次方程，错误； 故选：C ． 【点睛】
考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
10．C
解析：C 【分析】
根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=60＞0，由此即可得出结论． 【详解】
解：∵在方程23620x x --=中，△=（-6）2-4×3×（2）=60＞0， ∴方程23620x x --=有两个不相等的实数根． 故选： C 【点睛】
本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△＞0时方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
11．C
解析：C 【分析】
先根据数值运算程序可得一个关于x 的一元二次方程，再利用直接开平方法解方程即可得． 【详解】
由题意得：()2
319x --=-，
()
2
13x -=，
1-=x ，
1x =±
即1x =
或1x =，
故选：C ． 【点睛】
本题考查了解一元二次方程，根据数值运算程序正确建立方程是解题关键．
12．A
解析：A
【分析】
利用根与系数的关系得到x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝m ，AB ＋
12BC ＝4，m ＝AB×1
2
BC ，再利用折叠的性质和平行线的性质得到∠EBD ＝∠EDB ，则EB ＝ED ＝3，所以AE ＝AD−DE ＝5−2AB ，
利用勾股定理得到AB 2＋（5−2AB ）2＝32，解得AB ＝
105-或AB ＝105
+（舍
去），则BC ＝205
+，然后计算m 的值． 【详解】
∵x 1、x 2是关于x 的方程x 2−4x ＋m ＝0的两个实根， ∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝m ， 即AB ＋
12BC ＝4，m ＝AB×1
2
BC ， ∵△BCD 沿BD 翻折得到△BC′D ，BC′与边AD 交于点E ， ∴∠CBD ＝∠EBD ， ∵AD ∥BC ， ∴∠CBD ＝∠EDB ， ∴∠EBD ＝∠EDB ， ∴EB ＝ED ＝3，
在Rt △ABE 中，AE ＝AD−DE ＝BC−3＝8−2AB−3＝5−2AB ，
∴AB 2＋（5−2AB ）2＝32，解得AB 或AB （舍去），
∴BC ＝8−2AB ，
∴m ＝
12＝165． 故选：A ． 【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的两根时，x 1＋x 2＝−
b a ，x 1x 2＝c
a
．也考查了矩形的性质和折叠的性质． 二、填空题
13．-8【分析】先利用根与系数的关系得到再把变形为从而代入得到方程解之即可【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根∴∵∴即解得：m=-8故答案为：-8【点睛】本题考查了根与系数的关系根据根与系数的关系找
解析：-8 【分析】
先利用根与系数的关系得到12x x m +=，121
42
x x m ⋅=
-，再把12111x x +=变形为
1212x x x x +=，从而代入得到方程，解之即可．
【详解】
解：∵12,x x 是一元二次方程2
1
402
x mx m -+
-=的两个实数根， ∴12x x m +=，121
42
x x m ⋅=
-， ∵
12
11
1x x +=， ∴1212x x x x +=，即1
42
m m =-， 解得：m=-8， 故答案为：-8． 【点睛】
本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系，找出12x x m +=，121
42
x x m ⋅=-是解题的关键．
14．49【分析】运用配方法的运算方法填写即可【详解】解：（1）x2+14x+49=（x+7）2故答案为：49；（2）x2-9x+=（x-）2故答案为：【点睛】此题主要考查了配方法的应用熟练掌握完全平方公
解析：49 814 92
【分析】
运用配方法的运算方法填写即可． 【详解】
解：（1）x 2+14x+49=（x+7）2 故答案为：49； （2）x 2-9x+81
4=（x-92
）2， 故答案为：814，92
． 【点睛】
此题主要考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是关键．
15．【分析】把（x+3）看成一个整体另一个方程和已知方程的结构形式完全相同所以x+3与已知方程的解也相同根据此题意解题即可【详解】解：∵是已知方程的解由于另一个方程与已知方程的形式完全相同∴x+3=1或 解析：122,6x x =-=-
把（x+3）看成一个整体，另一个方程和已知方程的结构形式完全相同，所以x+3与已知方程的解也相同，根据此题意解题即可．
【详解】
解：∵ 1213x x ==-，是已知方程2230x x +-=的解，
由于另一个方程()()2
32330x x +++-=与已知方程的形式完全相同，
∴x+3=1或x+3=﹣3，
解得：1226x x =-=-，．
故答案为：1226x x =-=-，．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，能根据方程的解得出x+3=1和x+3=-3是解此题的关键，此题属于换元法解方程． 16．10【分析】原方程变为（）-3（）-1=0得到β是方程x2-3x-1=0的两根根据根与系数的关系得到关系式代入求出即可【详解】解：∵α2+3α﹣1＝0∴（）-3（）-1=0∵实数αβ满足α2+3α﹣
解析：10
【分析】 原方程变为（
21a
）-3（1a ）-1=0，得到1a 、β是方程x 2-3x-1=0的两根，根据根与系数的关系得到关系式，代入求出即可．
【详解】
解：∵α2+3α﹣1＝0， ∴（2
1a ）-3（1a ）-1=0， ∵实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1， ∴
1a 、β是方程x 2﹣3x ﹣1＝0的两根， ∴1a +β＝3， a β ＝﹣1，2131a a
=+， ∴原式＝1+
3a +3β＝1+3（1a
+β）＝1+3×3＝10， 故答案为10．
【点睛】 本题考查了根与系数的关系，熟练的根据根与系数的关系进行计算是解题的关键． 17．【分析】根据一元二次方程的解的定义把代入得到继而可得的值【详解】∵是关于x 的一元二次方程的一个根∴即∵∴即故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义因式分解的应用注意：能使一元二次方程左右两
【分析】
根据一元二次方程的解的定义把x n =代入240x mx n ++=得到240n mn n ++=，继而可得m n +的值．
【详解】
∵n 是关于x 的一元二次方程240x mx n ++=的一个根，
∴240n mn n ++=，即()40n n m ++=，
∵0n ≠，
∴4n m ++，即4m n +=-，
故答案为：4-．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义、因式分解的应用．注意：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
18．4【分析】根据根与系数的关系得出a+b=-2ab=-再变形后代入即可求出答案
【详解】解：∵是方程的两根∴故答案为：4【点睛】本题考查了根与系数的关系能够整体代入是解此题的关键
解析：4
【分析】
根据根与系数的关系得出a+b=-2，ab=-
32
，再变形后代入，即可求出答案． 【详解】
解：∵a ，b 是方程22430x x +-=的两根， ∴42232a b ab ⎧+=-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， ()()()222222224a ab b a a b b a b a b +-=+-=--=-+=-⨯-=．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，能够整体代入是解此题的关键．
19．54（1-x ）2=42【分析】根据题意经过两次的钢量减少最后的结果应该是原来的（1-x ）2倍列出方程即可【详解】解：根据题意有：54（1-x ）2=42故答案为：54（1-x ）2=42【点睛】本题考查
解析：5.4（1-x ）2=4.2
【分析】
根据题意，经过两次的钢量减少，最后的结果应该是原来的（1-x ）2倍，列出方程即可．
【详解】
解：根据题意有：5.4（1-x ）2=4.2
故答案为：5.4（1-x ）2=4.2
【点睛】
本题考查一元二次方程的实际应用问题，属于基础题．
20．【分析】根据方程的解的定义可以得到方程【详解】解：根据题意知方程符合题意即：故答案是：【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义熟悉相关性质是解题的关键
解析：230x x -=
【分析】
根据方程的解的定义可以得到方程-=(3)0x x ．
【详解】
解：根据题意，知方程-=(3)0x x 符合题意，
即：230x x -=．
故答案是：230x x -=．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解的定义，熟悉相关性质是解题的关键．
三、解答题
21．（1）18x =-，2
2x =；（2）1x =，2x =． 【分析】
（1）运用因式分解法求解即可；
（2）运用公式法求解即可．
【详解】
解：（1）26160x x +-= ()()820x x +-=
解得18x =-，22x =．
（2）22430x x --=，
∵2a =，4b =-，3c =-，
∴224(4)42(3)162440b ac -=--⨯⨯-=+=，
x ===
∴122
x +=，222x =． 【点睛】
本题考查了解一元二次方程，在解答中注意计算的正确性．
1212
22【分析】 （1）两边除以3后再开方，即可得出两个一元一次方程，求解即可；
（2）求出24b ac -的值，代入公式求出即可．
【详解】
解：（1）()2316x -=
方程两边除以3，得：()2
12x -=，
两边开平方，得：1x -=
则：11x =+21x =
（2）22410x x --=
∵2a =，4b =-，1c =-，
∴()()224442124b ac -=--⨯⨯-=
∴x ==，
∴11x =21x =； 【点睛】 本题考查了解一元二次方程的应用，熟悉相关的解法是解题的关键．
23．（1）123x x ==-； （2）23x <<
【分析】
（1）利用因式分解法求解即可．
（2）分别求出两个不等式的解集，最后找出公共部分即可．
【详解】
解：（1）2690x x ++=
因式分解得：()2
30x +=
解得：123x x ==-． （2）()3151227
2x x x ->⎧⎨+<+⎩ 解不等式1得：2x >
解不等式2得：3x <
∴不等式组的解集是23x <<．
【点睛】
本题考察解一元二次方程和一元一次不等式组，解题的关键是：（1）用因式分解法求解一元二次方程（2）不等式组解集的确定，原则是“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”．
1222
1224【分析】 （1）用配方法解即可；
（2）先移项然后提取公因式，即可求解．
【详解】
（1）23+=x x ， ∴211344
x x ++=+， ∴211324x ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，
∴122
x +=±．
12x x ∴=
= （2）移项，得4(21)(21)0x x x -+-=，
提取公因式，得(21)(41)0x x -+=，
210x ∴-=或410x +=，
1211,24
x x ∴==-． 【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，掌握基本解法并熟练进行解题是关键．
25．（1）1x =±；（2）1x =，2x =【分析】
（1）根据直接开方法即可求出答案；
（2）利用公式法求解一元二次方程，即可得到答案．
【详解】
（1）∵2(1)80x --=， ∴2(1)8x -=， ∴
1x -=±∴
1x =±；
（2）∵5a =，2b =，1c =-
∴2245(1)240∆=-⨯⨯-=>，
∴21105x -±-±==，即115
x -=，215x --=． 【点睛】
此题考查了解一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和二次根式的性质，从而完成求解．
26．（1）6；（2）4；（3）25．
【分析】
（1
）将原式变形为9x x +≥ （2）结合阅读材料将原式变形为()411
x x -+
-后即可确定最小值； （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，则由等高三角形可知：BOC AOB COD AOD S S S S =△△△△，用含x 的式子表示出36AOD S x =
△，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】
解：（1）∵0x >，
∴9x x +≥又
∵6=， ∴96x x
+
≥ ∴9x x
+的最小值为6； （2）∵1x >
∴10x ->， ∴222521411x x x x x x -+-++=--()2141x x -+=-()411x x =-+-
≥
∵
∴22541
x x x -+≥- ∴2251
x x x -+-的最小值为4． （3）设(0)BOC S x x =>△，
则由等高三角形可知：
BOC AOB COD AOD S S S S =△△△△ ∴49AOD x S =△，即36AOD S x
=△，
∴四边形ABCD 面积364913x x =+++
≥，
∵13=25，当且仅当x=6时，取等号， ∴四边形ABCD 面积的最小值为25．
【点睛】
本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用，本题中等难度略大．。