江西省红色七校高三数学上学期第一次联考试题 理

江西省红色七校2016届高三第一次联考理科数学试题
（ 分宜中学、莲花中学、任弼时中学、瑞金一中、南城一中、遂川中学，会昌中学） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。

3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的）. 1．已知集合2
{|230}A x x x =--<，{|ln 0}B x x =>，则A∩B=( ) A ．{|1}x x >
B ．{|3}x x <
C ．{|13}x x <<
D ．{|11}x x -<<
2．复数(1)12i z i +=-的虚部是( ) A ． 3
2
-
B ．12
-
C ．32i -
D ．12
i -
3. 等比数列的前n 项和为S n ， 若0,1n a q >>,352620,64a a a a +==则q 公比为
( ) A.
14 B. 1
2
C. 2
D. 4 4．定义在R 上的函数g (x )＝e x
＋e －x
＋|x |，则满足g (2x －1)<g (3)的x 的取值范围是( )
A ．(－∞，2)
B ．(－2，2)
C ．(－1，2)
D ．(2，＋∞) 5．错误!未找到引用源。

的展开式中的有理项且系数为正数的项有( ) A ．1项 B ．2项 C ．3项 D ．4项
6.某几何体的正视图和侧视图如图所示（方格长度为1个单位），则该几何体的体积不可能是( )
A.
13 B. 6π C. 2
3
D. 1 7．执行下面框图，则输出m 的结果是( )
A ． 5
B ． 7
C ． 9
D ．11
8．在下列命题中：
①若向量、共线，则向量、所在的直线平行； ②若向量、所在的直线为异面直线，则向量、不共面；
③若三个向量、、两两共面，则向量、、共面；
④已知空间不共面的三个向量、、，则对于空间的任意一个向量，总存在实数x,y,z ，使得；其中正确的命题的个数是（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2
D ． 3
9.函数sin 26y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图像与函数cos 3y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图像（ ） A 有相同的对称轴但无相同的对称中心 B 有相同的对称中心但无相同的对称轴 C 既有相同的对称轴但也有相同的对称中心 D 既无相同的对称中心也无相同的对称轴 10．不等式组22
04x y -≤≤⎧⎨
≤≤⎩表示的点集为M ，不等式组2
20x y y x
-+≥⎧⎨≥⎩表示的点集记为N ，在M 中任取一点P ，则P N ∈的概率为( ) A ．
716 B ．916 C ．732 D ．932
11、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>与抛物线2
8y x =有一个共同的焦点F ，两曲线的一
个交点为P ，若5PF =，则点F 到双曲线的渐近线的距离为( ) A 3 B ．2 C 6．3
12．对一定义域为D 的函数()y f x =和常数c ，若对任意正实数ξ，x D ∃∈使得0()f x c ξ<-<恒成立，则称函数()y f x =为“敛c 函数”
，现给出如下函数： ①()()f x x x Z =∈ ②()1
()1()2x
f x x Z =+∈ ③()2lo
g f x x = ④()1
x f x x
-=
其中为“敛1函数”的有( )
A ．①②
B ．③④
C ．②③④
D ．①②③ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).
13.过函数f （x ）＝错误!未找到引用源。

－错误!未找到引用源。

＋2x ＋5图像上一个动点作
函数的切线，则切线倾斜角的范围 是________________. 14、已知函数()2
2sin 23sin cos 1f x x x x =+-的图象关于直线(0)2
x π
ϕϕ=≤≤
对称，
则ϕ的值为 .
15.已知函数错误!未找到引用源。

，若方程错误!未找到引用源。

有且仅有两个不等的实根，则实数m 的取值范围是 .
16．已知抛物线2
:4C y x =上一点P ，若以P 为圆心，PO 为半径作圆与抛物线的准线l 交
参加人数 5
25 10 15 20
3 2 A C D
E M 于不同的两点,M N ，设准线l 与x 轴的交点为A ，则11
AM AN
+
的取值范围是 .
三、解答题：(本大题共6小题，共70分).
17．在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ,已知
23cos cos 23sin sinC 2cos B C B A +=+.
(I)求角A 的大小；
(II)若5b =,5
sin sin 7
B C =,求△ABC 的面积S .（12分）
18．如图所示的多面体中，错误!未找到引用源。

⊥平面错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

⊥平面ABC ， 错误!未找到引用源。

，且错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

是错误!未找到引用源。

的中点． （Ⅰ）求证：错误!未找到引用源。

⊥错误!未找到引用源。

； （Ⅱ）求平面错误!未找到引用源。

与平面错误!未找到引用源。

所成的锐二面角的余弦值. （12分）
19．学校高一年段在上学期依次举行了“法律、环保、交通”三次知识竞赛活动，要求每位同学至少参加一次活动.高一（1）班50名学生在上学期参加该项活动的次数统计如图所示. （1）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数不相等的概率.
（2）从该班中任意选两名学生，用错误!未找到引用源。

表示这两人
参加活动次数之差的绝对值，求随机变量错误!未找到引用源。

的分
布列及数学期望错误!未找到引用源。

.
（3）从该班中任意选两名学生，用错误!未找到引用源。

表示
这两人参加活动次数之和，记“函数错误!未找到引用源。

在区间（3，5）上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率. （12分）
20.椭圆
的上顶点为
是C 上的一点，以AP 为直径的圆经
过椭圆C 的右焦点F ． （1）求椭圆C 的方程；
（2）动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，问：在x 轴上是否存在两个定点，它们到
直线l 的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由. （12分）
21.已知函数()(1)(13)f x mx nx =+-.
(1)若1,()1m y f x x ===求曲线在的切线方程;
(2) 若函数()f x 在(0,)+∞上是增函数,求实数m 的取值范围;
(3) 设点1122(,()),(,())A x f x B x f x 满足1212121.131(.)8,()nx nx n x x x x =-≠,判断是否存在点P (m,0),使得以AB 为直径的圆恰好过P 点，说明理由. （12分）
请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．
22．选修4-1：几何证明选讲
如图，AB 切O e 于点B ，直线D A 交O e 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ． （I ）证明：C D D ∠B =∠BA ； （II ）若D 3DC A =
，C B =，求O e 的直径．（10分）
A
23. 选修4—4：极坐标与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. 已知曲线C 1：4cos ,
3sin ,
x t y t =-+⎧⎨
=+⎩ （t 为参数）， C 2：8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）。

（I ）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （II ）若C 1上的点P 对应的参数为2
t π
=
，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线
()3:cos 2sin 7C ρθθ-= 距离的最小值.（10分）
24.选修4—5：不等式选讲
已知函数()|5||3|f x x x =-+-.（Ⅰ）求函数()f x 的最小值m ；
（Ⅱ）若正实数,a b 满足
11a b +=2212
m a b
+≥. （10分）
江西省红色七校2016届高三第一次联考
数学 (理科) 参考答案
CACCB DBBAD AC
13. 3[0,)[,)24
π
ππU 14. 3π 15.
9(,2][0,2)4m ∴∈--U 16. (0,2)
17． (I)由2
3cos cos 23sin sinC 2cos B C B A +=+，得
22cos 3cos 20A A +-=，即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=…………………………2分
解得1
cos cos 2()2
A A =
=-或舍去……………………………………………………4分 因为0A π<<，所以3
A π
=
……………………………………………………………6分
(II)由又由正弦定理，得225
sin sin sin sin sin 7
b c bc B C A A A a a a =
==g …………8分 由余弦定理，得2
2
2
2cos a b c bc A =+-,又5b =，所以25
44
c c ==
或…………10分 1
sin 2
S bc A =1253538S S ∴==或……………………………………………12分 18．（I ）错误!未找到引用源。

是错误!未找到引用源。

的中点错误!未找到引用源。

．
又Θ错误!未找到引用源。

平面错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

． 错误!未找到引用源。

平面错误!未找到引用源。

∴错误!未找到引用
源。

…………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）以错误!未找到引用源。

为原点，分别以错误!未找到引用源。

,错误!未找到引用源。

为x ，y 轴，如图建立坐标系错误!未找到引用源。

， 则错误!未找到引用源。

……………………6分 错误!未找到引用源。

设平面错误!未找到引用源。

的一个法向量错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

取错误!未找到引用源。

所以错误!未找到引用源。

………………………………………………8分
设平面错误!未找到引用源。

的一个法向量错误!未找到引用源。

， 则错误!未找到引用源。

取错误!未找到引用源。

，所以错误!未找到引用源。

………………………10分
错误!未找到引用源。

……………………………………………………11分
所以平面错误!未找到引用源。

与平面错误!未找到引用源。

所成的锐二面角的余弦值错误!未找到引用源。

. …………………………12分 19．（1）从该班任取两名学生，他们参加活动的次数恰好相等的概率：
P =错误!未找到引用源。

2949=
,故2029
14949
P =-=…………………………………………4分
(2) 从该班中任选两名学生，用
表示这两学生参加活动次数之差的绝对值，则
的可能取
值分别为：0 ，1，2，…………………………………………………………………………5分 P( = 0)= 20
49 , P(
= 1)= 错误!未找到引用源。

= 25
49
,P(
= 2)= 错误!未找到引用源。

= 4
49 , ……7分 从而的分布列为：
0 1 2 P 20
49
2549
449
E = 02049 + 1 2549 + 2 449 = 33
49
.…………………………………………………………8分
(3) 因为函数2
()1f x x x η=-- 在区间(3,5)上有且只有一个零点，且06η≤≤ 所以()f x 在区间(3,5)为增函数, …………………………………………………………9分 即(3)(5)0f f < , 8
24
35
η∴<<
…………………………………………………………10分 又由于的取值分别为：2,3,4,5,6,故34η=或, ………………………………………11分
故所求的概率为：()P A = 错误!未找到引用源。

3
7
=
…………………………………12分 20．(1)因为(,0),(0,),0F c A b FA FP =u u u r u u u r g 由题设可知得2
241033
c c b -+=……………2分
P Q 在椭圆上，2
222161299b a a b +==可得…………………………………………………3分
222,1,1b c a c b +=∴==Q 又………………………………………………………………4分
故所求椭圆方程2
212
x y +=…………………………………………………………………5分 (2)当直线l 斜率存在时，设直线:l y kx m =+代入椭圆方程得
222(21)4220k x kmx m +++-=…………………………………………………………6分
22021m k ∆=∴=+Q ………………………………………………………………………7分
假设存在1122(,0),(,0)M M λλ满足题设
21212121222
|()()||(2)()1|111
k m k m k km d d k k λλλλλλ++++++===++对任意k 恒成立 121221,0λλλλ+=+=…………………………………………………………………9分
A
12121,11,1λλλλ=-===-或
当直线l 斜率不存在时，经检验符合题意……………………………………………………11分 综上可知存在两个定点12(1,0),(1,0),M M -使它们到直线距离之积等于1.……………12分 21．()()()()'
'1
x lnx-3x 11-1x
f
f =++⋅
=，则，………………………………………1分 ()1-6f =，所以切线方程为05=++y x ；………………………………………………3分
（2）()()()()()'
mx lnx-3mx 1mx lnx-211x m lnx-3mx 1x x x
f
+++=++⋅
==，……4分 若函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，则()0'
≥x f 在()∞+，
0上恒成立，有()012≥+-lnx mx 在()∞+，0上恒成立，…………………………………………………………………………5分
设()()2-lnx x x h =，()1-lnx x h '
=，()x h 在()e ，0是减函数，在()∞+，e 是增函数，所以()
x h 的值域为[)∞+，
e -，即01≥+mt 在[)∞+，e -上恒成立。

…………………………7分 ⎩
⎨
⎧≥+≥010em -m ，解得e m 1
0≤≤ ……………………………………………………………8分 （3） 依题意得()()()()，
，，，2211x f m -x PB x f m -x PA ==……………………………9分 ()()()()
()()()()()()
()()()
()()()()
()
()0
11193131312122
1
2
12
22121212121212221212211212121>++=++++++=++++++++=+++=+=⋅x x m x x m x
x m m x x m -x x lnx lnx -lnx lnx x x m x x m m x x m -x x -lnx mx -lnx mx m -x m -x x f x f m -x m -x ）（ …………………………………………………………………………………………………11分
∴不存在实数m ，使得APB ∠为直角． …………………………………………………12分 (22)．解：（I ）因为DE 为圆O 的直径，则BED EDB ∠+∠=90o
， 又BC ⊥DE ，所以∠CBD+∠EDB=90°，从而∠CBD=∠BED.
又AB 切圆O 于点B ，得∠DAB=∠BED ，所∠CBD=∠DBA. ……………………………5分
（II ）由（I ）知BD 平分∠CBA ，则
=3BA AD
BC CD
=,又
BC AB =
所以4AC =，所以D=3A .……………………………7分
由切割线定理得2
=AD AB AE ×，即2
=AD
AB AE =6，
故DE=AE-AD=3，即圆O 的直径为3. ……………………………10分
（23）（Ⅰ）22
2
2
12:(4)(3)1,:
1649
x y C x y C ++-=+=，……………………………3分 1C 为圆心是(4,3)-，半径是1的圆.2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，
短半轴长是3的椭圆. …………………………………………………………5分 （Ⅱ）当2
t π
=
时，(4,4).(8cos ,3sin )P Q θθ-，故3
(24cos ,2sin )2
M θθ-++
，
3C 为直线270x y --=，M 到3C 的距离|4cos 3sin 13|d θθ=
-- ……………8分
从而当43
cos ,sin 55
θθ=
=-时，d ………………………………10分
(24)解：（Ⅰ）∵()|5||3|532f x x x x x =-+-≥-+-=，………………………………2分 当且仅当[3,5]x ∈时取最小值2， 2m ∴=．………………………………………………5分
（Ⅱ）222
22121(
)[1](13a b a ++≥⨯=Q ，……………………………………7分
222123
()2
a b ∴+⨯≥，………………………………………………………………………8分 ∴22
122a b +≥………………………………………………………………………………10分。