2020届高考数学大二轮复习层级二专题四立体几何第2讲空间中的平行与垂直课时作业

第2讲 空间中的平行与垂直
限时50分钟 满分60分
解答题(本大题共5小题，每小题12分，共60分) 1.
(2020·泉州模拟)如图，已知四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA 1
＝6，且A 1A ⊥底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱DD 1，BC 上，BQ ＝4.
(1)若DP ＝2
3DD 1，证明：PQ ∥平面ABB 1A 1.
(2)若P 是D 1D 的中点，证明：AB 1⊥平面PBC . 证明：(1)在AA 1上取一点N ，使得AN ＝2
3AA 1，
因为DP ＝2
3
DD 1，且A 1D 1＝3，AD ＝6，
所以PN
2
3
AD ， 又BQ 2
3
AD ，所以PN BQ .
所以四边形BQPN 为平行四边形， 所以PQ ∥BN .
因为BN ⊂平面ABB 1A 1，PQ ⊄平面ABB 1A 1， 所以PQ ∥平面ABB 1A 1.
(2)如图所示，取A 1A 的中点M ， 连接PM ，BM ，PC ，
因为A 1A ，D 1D 是梯形的两腰，P 是D 1D 的中点，
所以PM ∥AD ，于是由AD ∥BC 知，PM ∥BC ， 所以P ，M ，B ，C 四点共面．
由题设可知，BC ⊥AB ，BC ⊥A 1A ，AB ∩AA 1＝A ， 所以BC ⊥平面ABB 1A 1， 所以BC ⊥AB 1，
因为tan ∠ABM ＝AM AB ＝36＝A 1B 1
A 1A
＝tan ∠A 1AB 1，
所以∠ABM ＝∠A 1AB 1，
所以∠ABM ＋∠BAB 1＝∠A 1AB 1＋∠BAB 1＝90°， 所以AB 1⊥BM ，
再BC ∩BM ＝B ，知AB 1⊥平面PBC .
2．(2019·烟台三模)如图(1)，在正△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 边上的点，且BE ＝AF ＝2CF .点P 为边BC 上的点，将△AEF 沿EF 折起到△A 1EF 的位置，使平面A 1EF ⊥平面BEFC ，连接A 1B ，A 1P ，EP ，如图(2)所示．
(1)求证：A 1E ⊥FP ；
(2)若BP ＝BE ，点K 为棱A 1F 的中点，则在平面A 1FP 上是否存在过点K 的直线与平面A 1BE 平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
(1)证明：
在正△ABC 中，取BE 的中点D ，连接DF ，如图所示．
因为BE ＝AF ＝2CF ，所以AF ＝AD ，AE ＝DE ，而∠A ＝60°，所以△ADF 为正三角形．又AE ＝DE ，所以
EF ⊥AD .
所以在题图(2)中，A 1E ⊥EF ，
又A 1E ⊂平面A 1EF ，平面A 1EF ⊥平面BEFC ， 且平面A 1EF ∩平面BEFC ＝EF ， 所以A 1E ⊥平面BEFC .
因为FP⊂平面BEFC，所以A1E⊥FP.
(2)解：在平面A1FP上存在过点K的直线与平面A1BE平行．
理由如下：
如题图(1)，在正△ABC中，因为BP＝BE，BE＝AF，
所以BP＝AF，所以FP∥AB，所以FP∥BE.
如图所示，取A1P的中点M，连接MK，
因为点K为棱A1F的中点，
所以MK∥FP.
因为FP∥BE，所以MK∥BE.
因为MK⊄平面A1BE，BE⊂平面A1BE，
所以MK∥平面A1BE.
故在平面A1FP上存在过点K的直线MK与平面A1BE平行．
3.
如图所示，已知BC是半径为1的半圆O的直径，A是半圆周上不同于B，C的点，F为弧AC的中点．梯形ACDE中，DE∥AC，且AC＝2DE，平面ACDE⊥平面ABC.求证：
(1)平面ABE⊥平面ACDE；
(2)平面OFD∥平面ABE.
解：(1)因为BC是半圆O的直径，A是半圆周上不同于B，C的点，
所以∠BAC＝90°，即AC⊥AB.
因为平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，AB⊂平面ABC，
所以AB⊥平面ACDE.
因为AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面ACDE.
(2)如图所示，设OF∩AC＝M，连接DM.
因为F为弧AC的中点，所以M为AC的中点．
因为AC＝2DE，DE∥AC，所以DE∥AM，DE＝AM.
所以四边形AMDE为平行四边形．所以DM∥AE.
因为DM⊄平面ABE，AE⊂平面ABE，所以DM∥平面ABE.
因为O为BC的中点，所以OM为△ABC的中位线．所以OM∥AB.
因为OM⊄平面ABE，AB⊂平面ABE，所以OM∥平面ABE.
因为OM⊂平面OFD，DM⊂平面OFD，OM∩DM＝M，
所以平面OFD∥平面ABE.
4．(2019·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
(3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．
解析：本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD；
因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD；
因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，
所以BD⊥平面PAC.
(2)证明：因为底面ABCD是菱形且∠ABC＝60°，所以ΔACD为正三角形，所以AE⊥CD，
因为AB∥CD，所以AE⊥AB；
因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，
所以AE⊥PA；
因为PA∩AB＝A
所以AE ⊥平面PAB ，
AE ⊂平面PAE ，所以平面PAB ⊥平面PAE .
(3)存在点F 为PB 中点时，满足CF ∥平面PAE ；理由如下：
分别取PB ，PA 的中点F ，G ，连接CF ，FG ，EG ， 在三角形PAB 中，FG ∥AB 且FG ＝1
2
AB ；
在菱形ABCD 中，E 为CD 中点，所以CE ∥AB 且CE ＝1
2AB ，所以CE ∥FG 且CE ＝FG ，即四边形CEGF 为
平行四边形，所以CF ∥EG ；
又CF ⊄平面PAE ，EG ⊂平面PAE ，所以CF ∥平面PAE . 5.
(2019·青岛三模)已知在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2AC ＝2AA 1＝4，∠A 1AC ＝π
3，AC ⊥BC ，平面ACC 1A 1
⊥平面ABC ，M 为B 1C 1的中点．
(1)过点B 1作一个平面α与平面ACM 平行，确定平面α，并说明理由； (2)求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的表面积． 解析：
(1)如图，取AB 的中点E ，BC 的中点F ，连接B 1E ，B 1F ，EF ，则平面B 1EF ∥平面ACM .
因为平面ACC 1A 1⊥平面ABC ，平面ACC 1A 1∩平面ABC ＝AC ，AC ⊥BC ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1，BC ⊥CC 1，
因为四边形BCC 1B 1为平行四边形，所以四边形BCC 1B 1为矩形，
在矩形BCC 1B 1中，M ，F 分别是B 1C 1，BC 的中点，所以B 1F ∥CM ； 在△ABC 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以EF ∥AC . 又EF ∩FB 1＝F ，AC ∩CM ＝C ， 所以平面B 1EF ∥平面ACM . 所以平面α即平面B 1EF .
(2)由题意知AC ＝2，AA 1＝2，AB ＝4.
因为AC ⊥BC ，所以BC ＝ AB 2
－AC 2
＝ 42
－22
＝23， 所以△ABC 的面积S 1＝12AC ×BC ＝1
2×2×23＝2 3.
在平行四边形ACC 1A 1中，∠A 1AC ＝π
3
，
其面积S 2＝AA 1×AC sin ∠A 1AC ＝2×2sin π
3
＝2 3.
由(1)知四边形BCC 1B 1为矩形，故其面积S 3＝BC ×CC 1＝23×2＝4 3. 连接A 1C ，BA 1，在△AA 1C 中，AC ＝AA 1＝2，∠A 1AC ＝π
3，所以A 1C ＝2.
由(1)知BC ⊥平面ACC 1A 1，所以BC ⊥CA 1， 所以A 1B ＝BC 2
＋CA 2
1＝4.
在△AA 1B 中，AB ＝A 1B ＝4，AA 1＝2，
所以△AA 1B 的面积S △AA 1B ＝12
×2×42
－1＝15，
所以平行四边形ABB 1A 1的面积S 4＝2S △AA 1B ＝2×15＝215.
故三棱柱ABC －A 1B 1C 1的表面积S ＝2S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝2×23＋23＋43＋215＝103＋215.。