第1节 GGB视角下的直线倾斜角和斜率探究-【触摸数学】GeoGebra高中数学实验探究与应用教程

第五章
实验视角下的解析几何研究
平面直角坐标系的发明使几何研究进入了解析几何时代，也为通过实验视角研究平面解析几何提供了必要的工具和实现的途径．下面，将分若干专题对此开展专门研究，带领读者通过实验视角重新认识这门学科．
第1节 GGB 视角下的直线倾斜角和斜率探究
直线是解析几何研究的最基本对象，倾斜角和斜率是确定直线倾斜程度最常用的几何量．
【实验1】探究直线斜率k 关于倾斜角α的函数图象
教材给出的倾斜角定义为：x 轴正方向与直线向上方向所成的最小正角，而斜率则被定义为倾斜角的正切值．按照这个定义：αtan =k ，[)πα,0∈．倾斜角为
2
π
的直线不存在斜率． 【探究步骤】
1．设置角度单位为弧度，设置x 轴的间距为
2
π； 2．创建参数α，类型为角度，范围为()π,0，增量为rad 1.0； 3．创建定点)0,2(-A ；
4．选择“定值角度”工具，然后依次点击坐标原点和点A ，在弹出的对话框中设置角度为α，得到终边上的点'O ；
5．作出直线'AO ，重命名“直线'AO ”为“直线l ”；
6．在指令栏输入“))tan(,(αα”，得到绘图区内一点C ，跟踪点C ； 7．选择“轨迹”工具，然后依次选择点C 和滑杆α，得到点C 的轨迹，此轨迹即为直线斜率k 关于倾斜角α的函数图象；
8．拉动滑杆α，观察随着直线倾斜角α的增大，直线的倾斜程度和斜率的变化，如图5.1-1．
观察得到以下结论：
图5.1-1
（1）当2
0π
α<
<时，直线l 是单调递增图象，此时斜率0>k ；当
παπ
<<2
时，直线l 是单调递减
图象，此时斜率0<k ；2
π
α＝
时，斜率不存在．
（2）当α越接近
2π时，直线越“陡峭”．但应该注意到当α从左侧趋近2
π
时，斜率趋向正无穷大，而当α从右侧趋近2
π
时，斜率趋向负无穷大．
【实验2】
如图5.1-2，已知点)4,3(),2,1(-N M ，如果过点)0,2(-A 的直线l 与线段MN 有交点，求直线l 斜率的取值范围．
在【实验1】所绘制图象的基础上，作出本题的线段MN ，然后作以下探究：
【探究步骤】
1．拉动滑杆α，使直线l 恰好经过点M ，记下此时直线l 的倾斜角1α； 2．拉动滑杆α，使直线l 恰好经过点N ，记下此时直线l 的倾斜角2α； 3．依图象知道：要使直线l 与线段MN 有交点，倾斜角范围为[]21,αα； 4．利用步骤3所得倾斜角范围[]21,αα去探求斜率的取值范围即是本题答案．
实验可得α的大致范围为[]82.158.0，
，对应的斜率大致范围为01.4,67.0-≤≥k k 或． 下面给出数学求解：
4)
2(30
4,32)2(102-=----==---=
AN AM k k
注意到直线AM 对应的⎪⎭
⎫
⎝⎛∈201πα，，当直线l 从AM 位置绕点A 沿逆时针方向转动且倾斜角为锐角时，
直线的斜率随着α的增大而增大，从而32≥
k ，当倾斜角为钝角，且从2π
增大到2α时，斜率从负无穷大增大到4-，从而得到4-≤k ．综上所述，3
2
≥k ，或4-≤k ．
【实验3】
图5.1-2
若点)1,1(-A ，点B 是函数x x y +=2
图象上任一点，求直线AB 斜率的取值范围． 【探究步骤】
1．在绘图区作出点)1,1(-A ，并锁定；
2．在指令栏输入“x x y +=2^”，作出函数x x y +=2
图象； 3．在函数x x y +=2
图象上取一点B ； 4．作直线AB ，并测量它的斜率；
5．拉动点B ，观察直线AB 斜率的取值范围．
经观察，直线AB 斜率大致为()()+∞-∞-,53.648.0, ． 下面给出数学求解： 由题可设),(2x x x B +，则1
11)1(22-++=---+=x x x x x x k AB
，
令,1t x =-则01≠+=t t x 且，函数式可化为
33
331)1()1(22++=++=++++=t
t t t t t t t k AB
，
由均值不等式可得332,332+-≤+≥AB AB k k 或．
【实验4】
若点)0,1(-A ，点B 是函数x
e y =图象上任一点，求直线AB 斜率的取值范围． 【分析】
对本题进行实验探究非常容易，给出数学求解比较困难． 【探究步骤】
1．在绘图区作出点)0,1(-A ，并锁定；
2．在指令栏输入“x e y ^=”，作出函数x
e y =图象； 3．在函数x
e y =图象上取一点B ； 4．作直线AB ，并测量它的斜率；
5．拉动点B ，观察直线AB 斜率的取值范围．
观察得知，直线AB 斜率大致为()[)∞+∞-，1
0, ． 下面给出数学解答：
依题意得1
+=x e k x
，如果把它视为一个函数，则函数定义域为{}1-≠x x ，
又2
2)1()1()1('+=+-+=x xe x e x e k x
x x ，由0'=k ，求得0=x ． 为研究函数1
+=x e k x
图象特征，列表如下：
()1,-∞-
1-
)0,1(-
),0(+∞
'k <0 <0 0 >0 k
单调递减
无定义
单调递减
极小值1
单调递增
注意1-<x 时，0<k ，当-∞→x 时，0→k ；当--→1x 时，-∞→k ；当
+-→1x 时，+∞→k ；当+∞→x 时，+∞→k ．
函数1
+=x e k x
图象如图5.1-3所示．
斜率k 的取值范围为()[)∞+∞-，1
0, ． 【说明】
本题研究的是函数1
+=x e k x
的值域，但研究这个问题时，容易联想到一个常用不等
式,1+≥x e x 当且仅当0=x 时取等号．1+==x y e y x
与的图象关系如图5.1-4所示．
从图象中我们注意到：当0→x 时，x
e 将与1+x 的数值极其接近．某些相关不等式在证题时，常在0→x 时，把x
e 缩放到1+x ．作为题外话，也给读者以提醒．
图5.1-3
图5．1-4。