上城区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

上城区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 已知，满足不等式则目标函数的最大值为（ ）
y 430,35250,1,x y x y x -+≤⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
2z x y =+A ．3
B ．
C ．12
D ．15
13
2
2． 已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A ．m ⊂α，n ∥m ⇒n ∥α
B ．m ⊂α，n ⊥m ⇒n ⊥α
C ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ⇒α∥β
D ．n ⊂β，n ⊥α⇒α⊥β
3． 在等差数列中，已知，则
（ ）
A ．12
B ．24
C ．36
D ．48
4． 三角函数的振幅和最小正周期分别是（ ）
()sin(2)cos 26
f x x x π
=-+A
B
C
D
2
π
π
2
π
π
5． 若x ，y 满足且z=y x 的最小值为 2，则k 的值为（ ）
A ．1
B ． 1
C ．2
D ． 2
6． 复数Z=（i 为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（
）
A ．（1，3）
B ．（﹣1，3）
C ．（3，﹣1）
D ．（2，4）
7． 直线x+y 1=0与2x+2y+3=0的距离是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 某大学数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ）
A ．80
B ．40
C ．60
D ．
20
9． 高三年上学期期末考试中，某班级数学成绩的频率分布直方图如图所示，数据分组依次如下：[70，90），[90，110），[100，130），[130，150），估计该班级数学成绩的平均分等于（
）
A ．112
B ．114
C ．116
D ．120
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2 b 2=bc ，sinC=2sinB ，则A=（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
11．实数a=0.2
，b=log
0.2，c=
的大小关系正确的是（
）
A ．a ＜c ＜b
B ．a ＜b ＜c
C ．b ＜a ＜c
D ．b ＜c ＜a
12．A 是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A 、B 两点，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．已知α为钝角，sin （
+α）=，则sin （
α）= ．
14．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，asinA=bsinB+（c b ）sinC ，且bc=4，则△ABC 的面积为 ．
15．函数y=f （x ）的图象在点M （1，f （1））处的切线方程是y=3x 2，则f （1）+f ′（1）= ．　16．
如图，P 是直线x ＋y －5＝0上的动点，过P 作圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0的两切线、切点分别为A 、B ，当四边形PACB 的周长最小时，△ABC 的面积为________．17．已知，，与的夹角为，则
．
||2=a ||1=b 2-a 13
b 3
π
|2|+=a b 18．已知函数f （x ）=x 2+
x b+（a ，b 为正实数）只有一个零点，则+的最小值为 ．
三、解答题
19．已知一个几何体的三视图如图所示．（Ⅰ）求此几何体的表面积；
（Ⅱ）在如图的正视图中，如果点A 为所在线段中点，点B 为顶点，求在几何体侧面上从点A 到点B 的最短路径的长．
20．已知数列{a n}是等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，且a3=3，S3=9
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log2，且{b n}为递增数列，若c n=，求证：c1+c2+c3+…+c n＜1．
21．已知命题p：∀x∈[2，4]，x2 2x 2a≤0恒成立，命题q：f（x）=x2 ax+1在区间上是增函数．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
22．已知函数且f（1）=2．
（1）求实数k的值及函数的定义域；
（2）判断函数在（1，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．
23．已知函数y=f（x）的图象与g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）的图象关于x轴对称，且g（x）的图象过（4，2）点．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x 1）＞f（5 x），求x的取值范围．
24．已知四棱锥P ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N 分别是棱AD、PC的中点．
（1）证明：DN∥平面PMB；
（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；
（3）求点A到平面PMB的距离．
上城区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
考点：线性规划问题．
【易错点睛】线性规划求解中注意的事项：（1）线性规划问题中，正确画出不等式组表示的平面区域是解题的基础．（2）目标函数的意义，有的可以用直线在轴上的截距来表示，还有的可以用两点连线的斜率、两y 点间的距离或点到直线的距离来表示．（3）线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界上取得，特别地对最优整数解可视情况而定．2． 【答案】D
【解析】解：在A 选项中，可能有n ⊂α，故A 错误；在B 选项中，可能有n ⊂α，故B 错误；在C 选项中，两平面有可能相交，故C 错误；
在D 选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D 正确．故选：D ．
【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．　
3． 【答案】B 【解析】，所以，故选B
答案：B
4． 【答案】B 【解析】()sin
cos 2cos
sin 2cos 26
6
f x x x x
π
π
=-+
31
cos 222sin 2)22
x x x x ==-
，故选B ．
6
x π
=+5． 【答案】B
【解析】解：由z=y x 得y=x+z ，作出不等式组对应的平面区域如图：
平移直线y=x+z 由图象可知当直线y=x+z 经过点A 时，直线y=x+z 的截距最小，此时最小值为 2，即y x= 2，则x y 2=0，当y=0时，x=2，即A （2，0），
同时A 也在直线kx y+2=0上，代入解得k= 1，故选：B
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．本题主要考查的难点在于对应的区域为线段．　
6． 【答案】A
【解析】解：复数Z==
=（1+2i ）（1﹣i ）=3+i 在复平面内对应点的坐标是（3，1）．
故选：A ．
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．　
7． 【答案】A
【解析】解：直线x+y 1=0与2x+2y+3=0的距离，就是直线2x+2y 2=0与2x+2y+3=0的距离是：
=
．
故选：A ．　
8． 【答案】B
【解析】解：∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，
∴三年级要抽取的学生是×200=40，
故选：B．
【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果．
9．【答案】B
【解析】解：根据频率分布直方图，得；
该班级数学成绩的平均分是
=80×0.005×20+100×0.015×20
+120×0.02×20+140×0.01×20
=114．
故选：B．
【点评】本题考查了根据频率分布直方图，求数据的平均数的应用问题，是基础题目．
10．【答案】A
【解析】解：∵sinC=2sinB，∴c=2b，
∵a2 b2=bc，∴cosA===
∵A是三角形的内角
∴A=30°
故选A．
【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，解题的关键是边角互化，属于中档题．
11．【答案】C
【解析】解：根据指数函数和对数函数的性质，知log0.2＜0，0＜0.2＜1，，
即0＜a＜1，b＜0，c＞1，
∴b＜a＜c．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数数值的大小比较，利用指数函数，对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键．　
12．【答案】B
【解析】解：在圆上其他位置任取一点B，设圆半径为R，
则B点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2πR，
其中满足条件AB的长度大于等于半径长度的对应的弧长为2πR，
则AB弦的长度大于等于半径长度的概率P==．
故选B．
【点评】本题考查的知识点是几何概型，其中根据已知条件计算出所有基本事件对应的几何量及满足条件的基本事件对应的几何量是解答的关键．
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：∵sin（+α）=，
∴cos（ α）=cos[ （+α）]
=sin（+α）=，
∵α为钝角，即＜α＜π，
∴＜ ，
∴sin（ α）＜0，
∴sin（ α）=
=
= ，
故答案为： ．
【点评】本题考查运用诱导公式求三角函数值，注意不同角之间的关系，正确选择公式，运用平方关系时，必须注意角的范围，以确定函数值的符号．
14．【答案】 ．
【解析】解：∵asinA=bsinB+（c b）sinC，
∴由正弦定理得a2=b2+c2 bc，即：b2+c2 a2=bc，
∴由余弦定理可得b2=a2+c2 2accosB，
∴cosA===，A=60°．可得：sinA=，
∵bc=4，
∴S△ABC=bcsinA==．
故答案为：
【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题．
15．【答案】　4　．
【解析】解：由题意得f ′（1）=3，且f （1）=3×1 2=1所以f （1）+f ′（1）=3+1=4．故答案为4．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，要注意分清f （a ）与f ′（a ）．　
16．【答案】
【解析】解析：圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0的标准方程为（x －1）2＋（y ＋2）2＝9.圆心C （1，－2），半径为3，连接PC ，
∴四边形PACB 的周长为2（PA ＋AC ）＝2＋2AC ＝2＋6.
PC 2－AC 2PC 2－9当PC 最小时，四边形PACB 的周长最小．此时PC ⊥l .
∴直线PC 的斜率为1，即x －y －3＝0，
由，解得点P 的坐标为（4，1），{x ＋y －5＝0x －y －3＝0
)
由于圆C 的圆心为（1，－2），半径为3，所以两切线PA ，PB 分别与x 轴平行和y 轴平行，即∠ACB ＝90°，
∴S △ABC ＝AC ·BC ＝×3×3＝.
1
21292
即△ABC 的面积为.
92
答案：9
2
17．【答案】2
【解析】解析：本题考查向量夹角与向量数量积的应用．与的夹角为，，a b 23
π
1⋅=-a b
∴．
|2|+=
a b 2==18．【答案】　9+4　．
【解析】解：∵函数f （x ）=x 2+x b+只有一个零点，
∴△=a 4（ b+）=0，∴a+4b=1，∵a ，b 为正实数，
∴+=（+）（a+4b）=9++
≥9+2=9+4
当且仅当=，即a=b时取等号，
∴+的最小值为：9+4
故答案为：9+4
【点评】本题考查基本不等式，得出a+4b=1是解决问题的关键，属基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由三视图知：几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体，且圆锥与圆柱的底面半径为2，母线长分别为2、4，
其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．
S圆锥侧=×2π×2×2=4π；
S圆柱侧=2π×2×4=16π；
S圆柱底=π×22=4π．
∴几何体的表面积S=20π+4π；
（Ⅱ）沿A点与B点所在母线剪开圆柱侧面，如图：
则AB===2，
∴以从A点到B点在侧面上的最短路径的长为2．
20．【答案】已知数列{a n}是等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，且a3=3，S3=9
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log2，且{b n}为递增数列，若c n=，求证：c1+c2+c3+…+c n＜1．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【专题】计算题；证明题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，从而可得3（1++）=9，从而解得；
（Ⅱ）讨论可知a2n+3=3•（ ）2n=3•（）2n，从而可得b n=log2=2n，利用裂项求和法求和．
【解析】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，
则3（1++）=9，
解得，q=1或q= ；
故a n=3，或a n=3•（ ）n 3；
（Ⅱ）证明：若a n=3，则b n=0，与题意不符；
故a2n+3=3•（ ）2n=3•（）2n，
故b n=log2=2n，
故c n== ，
故c1+c2+c3+…+c n=1 + +…+
=1 ＜1．
【点评】本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了方程的思想应用及裂项求和法的应用．　
21．【答案】
【解析】解：∀x∈[2，4]，x2 2x 2a≤0恒成立，
等价于a≥x2 x在x∈[2，4]恒成立，
而函数g（x）=x2 x在x∈[2，4]递增，
其最大值是g（4）=4，
∴a≥4，
若p为真命题，则a≥4；
f（x）=x2 ax+1在区间上是增函数，
对称轴x=≤，∴a≤1，
若q为真命题，则a≤1；
由题意知p、q一真一假，
当p真q假时，a≥4；当p假q真时，a≤1，
所以a的取值范围为（ ∞，1]∪[4，+∞）．
22．【答案】
【解析】解：（1）f（1）=1+k=2；
∴k=1，，定义域为{x∈R|x≠0}；
（2）为增函数；
证明：设x1＞x2＞1，则：
=
=；
∵x1＞x2＞1；
∴x1 x2＞0，，；
∴f（x1）＞f（x2）；
∴f（x）在（1，+∞）上为增函数．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）的图象过点（4，2），∴log a4=2，a=2，则g（x）=log2x．…
∵函数y=f（x）的图象与g（X）的图象关于x轴对称，
∴．…
（Ⅱ）∵f（x 1）＞f（5 x），
∴，
即，解得1＜x＜3，
所以x的取值范围为（1，3）…
【点评】本题考查对数函数的性质的应用，注意真数大于零，属于基础题．　
24．【答案】
【解析】解：（1）证明：取PB中点Q，连接MQ、NQ，
因为M、N分别是棱AD、PC中点，
所以QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ．
⇒DN∥平面PMB．
（2）⇒PD⊥MB
又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，
所以MB⊥AD．
又AD∩PD=D，
所以MB⊥平面PAD.⇒平面PMB⊥平面PAD．
（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离．
过点D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB．
故DH是点D到平面PMB的距离.．
∴点A到平面PMB的距离为．
【点评】本题主要考查空间线面的位置关系，空间角的计算等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力，同时考查学生灵活利用图形，借助向量工具解决问题的能力，考查数形结合思想．　。