2018-2019学年河北省张家口市高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

2018-2019学年河北省张家口市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）从已经编号的180（1～180）名学生中抽取20人进行调查，采用系统抽样法．若第1组抽取的号码是2，则第10组抽取的号码是（）
A．74B．83C．92D．96
2．（5分）命题“∃x0∈R，e≤log2x0+x02”的否定是（）
A．“∃x0∈R，e＞log2x0+x
B．“∃x0∈R，e≥log2x0+x
C．∀x∈R，e x≤log2x+x2
D．∀x∈R，e x＞log2x+x2
3．（5分）甲在微信群中发布5元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人依次抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”（即乙领取的钱数不少于丙、丁）的概率是（）
A．B．C．D．
4．（5分）对甲、乙两个大学生一周内每天的消费额进行统计，得到样本的茎叶图，如图所示，则下列判断错误的是（）
A．甲消费额的众数是57，乙消费额的众数是63
B．甲消费额的中位数是57，乙消费额的中位数是56
C．甲消费额的平均数大于乙消费额的平均数
D．甲消费额的方差小于乙消费额的方差
5．（5分）抛物线C：y2＝16x的焦点为F，点M为C上第一象限内一点，|MF|＝8，y轴上一点N位于以MF为直径的圆上，则N的纵坐标为（）
A．2B．3C．4D．5
6．（5分）已知a∈R，函数f（x）＝ae x﹣1﹣xlnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l 在y轴上的截距为（）
A．﹣2B．﹣1C．2D．1
7．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0）的一个焦点和抛物线y2＝﹣8x的焦点相同，则双曲线C的渐近线方程为（）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝±x
8．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，则直线OD1与平面OA1B1所成角的正弦值为（）
A．B．C．D．
9．（5分）函数f（x）＝x3﹣3ax2+bx﹣2a2在x＝2时有极值0，那么a+b的值为（）A．14B．40C．48D．52
10．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的n＝8，则输出的s，k依次是（）
A．15，4B．15，5C．31，6D．31，7
11．（5分）已知双曲线C：x2﹣＝1，P是双曲线C上不同于顶点的动点，经过P分别
作曲线C的两条渐近线的平行线，与两条渐近线围成平行四边形OAPB，则四边形OAPB 的面积是（）
A．2B．1C ．D ．
12．（5分）已知抛物线C：y2＝4x，过点P（2，0）的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，设Q（﹣2，0），λ＝，且λ∈[，1）∪（1，2]时，则直线MN斜率的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）
C．[﹣2，0）∪（0，2]D．[﹣3，0）∪（0，3]
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）函数f（1）＝x sin x+cos x的图象在点（，f （））处的切线斜率为．14．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的所有顶点都在球O的球面上，P A⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，P A＝AB＝2．现在球O的内部任取一点，则该点取自四棱锥P﹣ABCD 的内部的概率为．
15．（5分）椭圆C ：
+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C
上的点，cos∠F1PF2＝，S ＝，则椭圆C的短轴长是．
16．（5分）函数f（x）＝x（e x+x）+4，g（x）＝﹣4x﹣e x+a，a∈R，若存在实数x，使得f （x0）＜g（x0）成立，则a的取值范围是．
三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知p：x2﹣4x+3≤0，q：e x≥2x+a，且q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
18．（12分）某洗车店对每天进店洗车车辆数x和用次卡消费的车辆数y进行了统计对比，得到如下的表格：
（Ⅰ）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（的结果保留两位小数）
（Ⅱ）试根据（I）求出的线性回归方程，预测x＝50时，用次卡洗车的车辆数．
参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是＝x+；
其中，＝）＝，＝﹣b．
19．（12分）过去大多数人采用储蓄的方式将钱储蓄起来，以保证自己生活的稳定．考虑到通货膨胀的压力，如果我们把所有的钱都用来储蓄，这并不是一种很好的方式．随着金融业的发展，普通人能够使用的投资理财工具也多了起来．为了研究某种理财工具的使用情况，现对[20，70]年龄段的人员进行了调查研究，将各年龄段人数分成5组：[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）估计使用这种理财工具的人员年龄的中位数、平均数；
（Ⅱ）采用分层抽样的方法，从第二组、第三组、第四组中共抽取8人，则三个组中各抽取多少人？
（Ⅲ）在（Ⅱ）中抽取的8人中，随机抽取2人，则第三组至少有1个人被抽到的概率是多少？
20．（12分）如图所示的多面体中，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°，ED⊥面ABCD，EF∥DB，EF＝1，异面直线AF，CD所成角的余弦值为．
（Ⅰ）求证：面ACF⊥面EDB；
（Ⅱ）求二面角B﹣AF﹣E的余弦值．
21．（12分）已知P（﹣，0），Q（3，0），圆（x+）2+y2＝16上的动点T满足：线段TQ的垂直平分线与线段TP相交于点K．
（Ⅰ）求点K的轨迹C的方程；
（Ⅱ）经过点A（﹣2，0）的斜率之积为﹣的两条直线，分别与曲线C相交于M，N 两点，试判断直线MN是否经过定点．若是，则求出定点坐标；若否，则说明理由．22．（12分）已知a∈R，f（x）＝2x﹣alnx．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当x≥1时，xf（x）≥x2+1恒成立，求实数a的取值范围．
2018-2019学年河北省张家口市高二（上）期末数学试卷
（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【解答】解：样本间隔为180÷20＝9，
第10组抽取的号码是2+9×9＝83，
故选：B．
2．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题“∃x0∈R，e≤log2x0+x02”
的否定是：∀x∈R，e x＞log2x+x2．
故选：D．
3．【解答】解：如下图，利用隔板法，
得到共计有n＝＝6种领法，
乙领2元获得“最佳手气”的情况有2种，
乙领3元获得“最佳手气”的情况有1种，
乙获得“最佳手气”的情况总数m＝3，
∴乙获得“最佳手气”的概率p＝＝．
故选：A．
4．【解答】解：由茎叶图可得：
对于A，甲组数据中的众数为57，乙组数据中的众数为63，可得正确；
对于B，甲消费额的中位数是57，乙消费额的中位数是56，可得正确；
对于C，＝（40+53+57+57+60+62+63）＝56，＝（45+47+52+56+59+63+63）＝55，可得＞，可得正确；
对于D，＝[（40﹣56）2+（53﹣56）2+（57﹣56）2+（57﹣56）2+（60﹣56）2+
（62﹣56）2+（63﹣56）2]＝52.5858，
S乙2＝[（45﹣55）2+（47﹣55）2+（52﹣55）2+（56﹣55）2+（59﹣55）2+（63﹣55）2+（63﹣55）2]＝45.428，
可得：S甲2＞S乙2，可得甲消费额的方差大于乙消费额的方差，故D错误；
故选：D．
5．【解答】解：抛物线C：y2＝16x的焦点为F（4，0），点M为C上第一象限内一点，|MF|＝8，y轴上一点N位于以MF为直径的圆上，即（x﹣4）2+（y﹣4）2＝16，
x＝0时，y＝4．
故选：C．
6．【解答】解：函数f（x）＝ae x﹣1﹣xlnx，可得f′（x）＝ae x﹣1﹣lnx﹣1，切线的斜率为：k＝f′（1）＝a﹣1，
切点坐标（1，a），切线方程l为：y﹣a＝（a﹣1）（x﹣1），
l在y轴上的截距为：a+（a﹣1）（﹣1）＝1．
故选：D．
7．【解答】解：抛物线y2＝﹣8x的焦点（﹣2，0），双曲线C：﹣＝1（a＞0）的一个焦点和抛物线y2＝﹣8x的焦点相同，可得c＝2，
可得a2+4＝12，解得a＝2，
所以双曲线C的渐近线方程：y＝±x．
故选：B．
8．【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，
则O（1，1，0），D1（0，0，2），A1（2，0，2），B1（2，2，2），
＝（﹣1，﹣1，2），＝（1，﹣1，2），＝（1，1，2），设平面OA1B1的法向量＝（x，y，z），
则，取z＝1，得＝（﹣2，0，1），
设直线OD1与平面OA1B1所成角为θ，
则sinθ＝＝＝．
∴直线OD1与平面OA1B1所成角的正弦值为．
故选：A．
9．【解答】解：函数f（x）＝x3﹣3ax2+bx﹣2a2，f'（x）＝3x2﹣6ax+b，若在x＝2时有极值0，
可得，
则，解得：a＝2，b＝12．或a＝4，b＝36，
当a＝4，b＝36时，f'（x）＝3x2﹣24x+36，满足题意函数f（x）＝x3﹣3ax2+bx﹣2a2在x ＝2时有极值0．
当a＝2，b＝12时，f'（x）＝3x2﹣12x+12，不满足题意：函数f（x）＝x3﹣3ax2+bx﹣2a2在x＝2时有极值0．
∴a+b＝40．
故选：B．
10．【解答】解：模拟程序的运行，可得
n＝8，i＝1，s＝0，k＝0
第1次执行循环体，r＝0，s＝1，k＝1，i＝2
第2次执行循环体，r＝0，s＝3，k＝2，i＝3
第3次执行循环体，r＝2，i＝4
第4次执行循环体，r＝0，s＝7，k＝3，i＝5
第5次执行循环体，r＝3，i＝6
第6次执行循环体，r＝2，i＝7
第7次执行循环体，r＝1，i＝8
第8次执行循环体，r＝0，s＝15，k＝4，i＝9
此时，满足条件i＞8，退出循环，输出s，k的值分别为：15，4．
故选：A．
11．【解答】解：设P（m，n），则4m2﹣n2＝4，
设P A和渐近线y＝2x平行，PB和渐近线y＝﹣2x平行，
由P A：y＝2（x﹣m）+n，PB：y＝﹣2（x﹣m）+n，
且P A和渐近线y＝2x的距离为d＝，
由y＝2x和y＝﹣2（x﹣m）+n，求得B（，），
可得|OB|＝|2m+n|，
即有四边形OAPB的面积是d|OB|＝•|2m+n|＝•|4m2﹣n2|＝•4＝1．故选：B．
12．【解答】解：设直线l的方程为x＝my+2，则m≠0，设点M（x1，y1）、N（x2，y2）．将直线l的方程与抛物线C的方程联立，消去x得，y2﹣4my﹣8＝0，由韦达定理得．
∵＝＝
＝．
所以，k MQ+k NQ＝0，所以，x轴为∠MQN的角平分线，∴，所以，y1＝﹣λy2．①
将①式代入韦达定理得y1+y2＝（1﹣λ）y2＝4m，∴．②
，则，所以，，∵，所以，．
设直线MN的斜率为k，则，
即，所以，k2≥4，解得k≤﹣2或k≥2．
故选：A．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．【解答】解：∵f（x）＝x sin x+cos x，
∴f′（x）＝（x sin x）′+（cos x）′
＝x（sin x）′+（x）′sin x+（cos x）′
＝x cos x+sin x﹣sin x
＝x cos x
∴k＝f′（）＝0．
函数f（1）＝x sin x+cos x的图象在点（，f（））处的切线斜率为：0．
故答案为：0．
14．【解答】解：四棱锥P﹣ABCD扩展为正方体，
则正方体的对角线的长是外接球的直径，
即2＝2R，即R＝，
则四棱锥的条件V＝×2×2×2＝，球的体积为＝4π，
则该点取自四棱锥P﹣ABCD的内部的概率P＝＝，
故答案为：
15．【解答】解：椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上的点，
cos∠F 1PF2＝，S＝，F1P＝m，PF2＝n，
可得：4c2＝m2+n2﹣2mn cos∠F1PF2，∠F1PF2＝，m+n＝2a，
a2＝c2+b2，
解得：b＝
则椭圆C的短轴长是2．
故答案为：2．
16．【解答】解：函数f（x）＝x（e x+x）+4，g（x）＝﹣4x﹣e x+a，a∈R，若存在实数x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，
可得f（x0）﹣g（x0）＜0成立，
可令h（x）＝x（e x+x）+4+4x+e x﹣a，
h′（x）＝（x+1）e x+2x+4+e x＝（x+2）（e x+2），
由e x＞0，x＞﹣2时，h′（x）＞0，h（x）递增；
x＜﹣2时，h′（x）＜0，h（x）递减，
可得x＝﹣2处h（x）取得极小值，且为最小值﹣a﹣e﹣2，
可得﹣a﹣e﹣2＜0，解得a＞﹣e﹣2，
故a的范围是（﹣e﹣2，+∞）．
三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．【解答】解：由x2﹣4x+3≤0得1≤x≤3，即p：1≤x≤3，
若q是p的必要条件，即p⇒q，
即当1≤x≤3时，e x≥2x+a恒成立，
即e x﹣2x≥a恒成立，
设f（x）＝e x﹣2x，函数的导数f′（x）＝e x﹣2，
当1≤x≤3时，f′（x）≥0恒成立，即此时f（x）为增函数，
即当x＝1时，函数f（x）取得最小值为f（1）＝e﹣2，
则a≤e﹣2，
即实数a的取值范围是（﹣∞，e﹣2]．
18．【解答】解：（Ⅰ），．
+40×23﹣5×26×15＝310，
﹣5×262＝616．
∴．
∴．
则y关于x的线性回归方程为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的线性回归方程可得，当x＝50时，用次卡洗车的车辆数估计是0.50×50+2＝27．
19．【解答】解：（Ⅰ）年龄在[20，30），[30，40），[40，50）的频率为0.05，0.2，0.4，∵0.05+0.2＜0.5，0.05+0.2+0.4＞0.5，
∴中位数为40+＝46.25，
平均数的估计值为：25×0.05+35×0.2+45×0.4+55×0.2+65×0.15＝47．
（Ⅱ）第二组、第三组、第四组的频率比为1：2：1，
∴三个组依次抽取的人数为2，4，2．
（Ⅲ）在（Ⅱ）中抽取的8人中，随机抽取2人，
基本事件总数n＝＝28，
第三组至少有1个人被抽到的对立事件是第三组没有人被抽到，
∴第三组至少有1个人被抽到的概率p＝1﹣＝．
20．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵ED⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，∴ED⊥AC，
∵BD∩ED＝D，∴AC⊥面EBD，
∵AC⊂面ACF，∴面ACF⊥面EDB．
解：（Ⅱ）∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，∠DAB＝60°，
∴DB＝2，DO＝1，
∵EF∥DB，EF＝1，∴EF∥DO，EF＝DO，
∴四边形EFOD是平行四边形，∴ED∥FO，
∵ED⊥面ABCD，∴FO⊥面ABCD，
以O为原点，OA，OB，OF分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（），D（0，﹣1，0），C（﹣，0，0），设F（0，0，t），
则＝（﹣），＝（﹣），
cos＜＞＝＝＝，（t＞0），
解得t＝，则F（0，0，），＝（0，1，0），
∵B（0，1，0），E（0，﹣1，），∴＝（﹣），＝（﹣），设平面AFB的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，），
设平面AFE的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，0，1），
设二面角B﹣AF﹣E的平面角为θ，由图形得θ为钝角，
则cosθ＝﹣＝﹣＝﹣．
∴二面角B﹣AF﹣E的余弦值为﹣．
21．【解答】解：（Ⅰ）∵|KP|+|KQ|＝|PT|＝4＞|PQ|＝2，
∴点K的轨迹是以P，Q为焦点，长轴长为4，焦距为2的椭圆，
∴点K的轨迹方程为：+y2＝1，
（Ⅱ）设直线AM的斜率为k，则直线AM的方程为y＝k（x+2），
联立可得，整理，可得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4＝0，
则﹣2x M＝，则x M＝，代入y＝k（x+2），可得y M＝，∴M（，），
同理可得N（，），
当M，N的横坐标不相等时，直线MN的斜率k MN＝＝，故直线MN的方程为y﹣＝（x﹣），
令y＝0，可得x＝﹣，
此时直线MN经过点（﹣，0），
当M，N的横坐标相等时，有＝，解得k2＝，
此时点M，N的横坐标为﹣，
此时直线MN经过点（﹣，0），
综上所述直线MN经过点（﹣，0）
22．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）＝2﹣＝（x﹣），
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，
当a＞0时，在（0，）上，f′（x）＜0，f（x）递减，
在（，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）递增，
综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增，
a＞0时，f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；
（Ⅱ）xf（x）≥x2+1恒成立，即xf（x）﹣（x2+1）≥0恒成立，
设g（x）＝xf（x）﹣（x2+1），则g（x）＝x2﹣axlnx﹣1，
g′（x）＝2x﹣a（1+lnx），g′（x）的单调性和f（x）相同，
当a≤0时，g′（x）在[1，+∞）递增，g′（x）≥g′（1）＝2﹣a＞0，故g（x）在[1，+∞）递增，g（x）≥g（1）＝0，
当a＞0时，g′（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，
当0＜a≤2时，≤1，g′（x）在[1，+∞）递增，
g′（x）≥g′（1）＝2﹣a≥0，
故g（x）是增函数，故g（x）≥g（1）＝0，
当a＞2时，在区间（1，）上，g′（x）递减，
故g′（x）＜g′（1）＝2﹣a＜0，
故g（x）递减，故g（x）＜g（1）＝0，不合题意，
综上，a的范围是（﹣∞，2]．。