湖南师大附中高三数学模拟卷试题(一) 理 湘教版

湖南师大附中2014届高三高考模拟卷（一）
数学（理）试题
（考试范围：高中理科数学全部内容）
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的，
1．已知全集为R，集合
1 {1,0,1},
|()1
2
x
A B x
⎧⎫
=-=≤
⎨⎬
⎩⎭
，则A B
I
R
ð等于
A．(,0)
-∞B．[0,)
+∞C．{－1} D．{0，1}
2．设a，b是非零实数，若a<b，则下列不等式成立的是
A．a2<b2B．ab2 <a2b C．
22
11
ab a b
<D．
b a
a b
<
3．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是4．设
2
()1()
1
f x
g a
x
=+
-
是奇函数，则使()0
f x<的x的取值范围是
A．（－1，0）B．（0，1）
C．（－∞,0）D．（－∞,0）U（1,+ ∞）
5．设*
1
()(,
1
n
i
f n n N i
i
+
⎛⎫
=∈
⎪
-
⎝⎭
为虚数单位），则集合{|()}
x x f n
=中元素
的个数是
A．1 B．2
C．3 D．4
6．为调查某市中学生平均每人每天参加体育锻炼时间x（单位：分钟），撩锻
炼时间分下列四种情况统计：①0～10分钟；②11～20分钟；③21～30分
钟；④30分钟以上有10 000名中学生参加了此项活动，右图是此次调查
中某一项的流程图，其输出的结果是6 200，则平均每天参加体育锻炼时
间在0—20分钟内的学生的频率是
A．3 800
B．6 200
C．0．62
D．0．38
7．若变量z，y满足约束条
0,
10,
1,
x y
x y
y
+≤
⎧
⎪
-+≥
⎨
⎪≥
⎩
则|2|
z y x
=-的最大值为
A．6 B．5 C．4 D．3
8．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”．给出下列函数：
①()sin cos f x x x =+；②（()2(sin cos )f x x x =+；③()sin f x x =；
④()2(sin 1)f x x =
+．其中“互为生成函数”函数的是
A ①②
B ．②③
C ．①④
D ．③④
9．设M （x 0，y 0）为抛物线C:x 2
=8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物
线C 的准线相变，则y o 的取值范围是 A （0,2） B ．[0,2] C ．（2,+∞） D ．[2,+ ∞）
10．对数列{}n a ，如果*
121122,,,,,k n k n k n k k n k N R a a a a λλλλλλ++-+-∃∈∈=+++L L 及使成立
*n N ∈其中 则称{}n a 为k 阶递归数列．给出下列三个结论：
①若{}n a 是等比数列，则{}n a 为1阶递归数列； ②若{}n a 是等差数列，则{}n a 为2阶递归数列；
③若数列{}n a 的通项公式为a n =n 2
，则{}n a 为3阶递归数列．
其中正确结论的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后
的横线上．
（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前2题给分） 11．如图，已知：△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，AD 是⊙O 的切线，若∠B=30°， AC=1，则AD 的长为 ．
12．已知a ∈R ，若关于x 的方程2
1
||04
x x a a ++-
+=有实根，则a 的取值范围是 。

13．已知曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为cos 3,4cos (0,0)2
π
ρθρθρθ==≥≤<，
则曲线C 1 与C 2交点的极坐标为 ． （二）必做题（14至16题） 14．17cos()6
π
-
= 。

15．从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重 （单位：kg ）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数 据可知体重的平均值为 kg,若要从体重在[60，70）， [70，80），[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方 法选取12人参加一项活动，再从这12人选两人当正负队 长，则这两人体重不在同一组内的概率为 。

16．已如数列,{|1,()A i j A T x x a a i j n card T ==+≤<≤ 表示集合T A 中元素个数． （1）若A ：l ，3，5，7，9，则card （T A ） ； （2）若1(i i a a c c +-=为常数，711
i n ≤≤
-），则card （T A ）= 。

三、解答题：本大题共6个小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分12分）
某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发
生此种事故的每辆汽车，单位可获9 000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次），设这三辆车在一年
内发生此种事故的概率分别为111
,,91011
，
且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中： （1）获赔的概率，
（2）获赔金额ξ的分布列与期望．
18．（本题满分12分）
如图，已知三棱柱ABC —A 1B 1C l 的侧棱与底面垂直，AA 1=AB=AC=1，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，N 是BC 的
中点，点P 在直线A 1B 1上，且满足111A P A B λ=u u u r u u u u r
(1)当λ取何值时，直线PN 与平面ABC 所成的角θ最大？
(2)若平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为45°，试确定点P 的位置． 19．（本题满分12分） 已知数列{}n a 中a 1=a ，a 2=t （常数t>0），S n 是其前n 项的和，且1()
2
n n n a a S -= （1）求a 的值；
（2）试确定数列{}n a 是否是等差数列，若是，求其通项公式；若不是，说明理由； （3）令2112
n n n n n S S b S S ++++=
+，证明：*
12223,()n n b b b n n N <+++<+∈L ． 20．（本题满分13分）
某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1 000万元的投资收益．现准备制定
一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超遵投资收益的20%．
（1）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求； （2）现有两个奖励函数模型：①2150
x
y =
+；②413y gx =-．试分析这两个函数模型是否符合公司要求？
21．（本题满分13分）
已知双曲线
22
143
x y -=的左、右顶点分别为A 1和A 2 ,M （x 1，一y 1）和N （x 1，y 1）是双曲线上两个不同的动点．
（1）求直线A 1M 与A 2N 交点Q 的轨迹C 的方程；
（2）过点P （l ，0）作斜率为k （k ≠0）的直线l 交轨迹C 于A 、B 两点，
①求OA u u u r ·OB uuu r
的取值范围；
②若AP PB λ=u u u r u u u r ，问在x 轴上是否存在定点E ，使得OP uuu r ⊥EA EB λ-u u u r u u u r
?若存在，求出E 点的坐标；若
不存在，说明理由，
22．（本题满分13分）
已知a>0，函数()1a
f x nx x x
=-
-． （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若A 、B 是曲线y=()f x 上的任意不同两点，其横坐标分别为m 、n ，曲线y=()f x 在x=t 处的切线
与直线AB 平行，求证：m+n>2t ．。