上海市位育中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题
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【详解】
根据题意知，曲线 与 轴围成的封闭图形为半椭圆，
如图所示，
该平面图形绕 轴旋转一周而成的几何体为 ，
构造圆柱与倒立的圆锥，利用祖暅原理，
可知 的体积为 .
故答案为： .
13．C
【分析】
根据充分，必要条件的定义，判断选项.
【详解】
平行四边形中无任何三点共线，但是四点共面，反过来，若四点不共面，连结四点，构成空间四边形，无任何三点共线，所以“无任何三点共线”是“四点不共面”的必要不充分条件.
（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1 ）；
（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？
20．已知点 、 ，为双曲线 的左、右焦点，过 作垂直于 轴的直线，在 轴的上方交双曲线 于点 ，且 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）若直线 过点（0，1）且与双曲线 交于 、 两点，若 、 中点的横坐标为1，求直线 的方程；
参考答案
1．
【详解】
试题分析：将直线 化为普通方程为 ，斜率为 .
考点：参数方程与普通方程互化；直线方程
2．6
【分析】
根据线面平行的位置关系，转化为空间向量的坐标运算，即可求解.
【详解】
，且直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，
，即 ，
解得： .
故答案为：
3．
【分析】
根据空间图形，根据向量加，减法的规则计算结果.
（2）由DD1∥CC1，知∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A1C与DD1所成角的大小．
【详解】
（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝3，
∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：
＝ ＝ ＝4．
（2）∵DD1∥CC1，∴∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角（或所成角的补角），
连接MC,过P作PQ∥A1C,交MC于Q.所以Q在平面ABCD内.
故选：A
16．C
【分析】
根据题意，对于①若点 在线段 上，设 点坐标为 ，然后代入验证显然 成立．对于②在 中，若 ，则| 是几何距离而非题目定义的距离，明显不成立，对于③在 中，用坐标表示 ，然后根据绝对值不等式可得到大于等于 ．推出不成立，故可得到答案．
7．地球(地球半径为R)表面上从A地(北纬45°东经120°)到B地(北纬45°东经30°)的球面距离为__________.
8．已知三个球的半径 满足 ，则它们的体积 满足的等量关系是_______________________．
9．如图，在空间直角坐标系 中，四面体 的主视图 是面积为 的直角三角形，且 ， 是正三角形，且点 在平面 上，则此四面体的左视图的面积等于__________.
（2）设直线 的方程为 ，与双曲线的方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，以及中点坐标公式，解方程可得 ，进而得到直线 的方程；
（3）设 ，则 ，求得双曲线的渐近线方程分别与相应的垂线方程联立，求得交点 ， ，以及 、 的坐标，由向量数量积的坐标表示，化简整理，即可得证．
∵tan∠A1CC1＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ．
∴异面直线A1C与DD1所成角的大小为 ；
【点睛】
本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注空间思维能力的培养．
18．（1）( , ).（2）
【分析】
（1）根据条件列关于P点坐标得方程组，解得结果，（2）先根据点到直线距离公式结合条件解得点M坐标，再建立 的函数解析式，最后根据二次函数性质求最小值.
本题考查空间几何体的三视图问题的求解，关键是能够根据垂直关系确定左视图的图形，从而利用长度关系来进行求解.
10．
【分析】
构造棱长为1的正方体，建立空间直角坐标系，把问题转化为解直角三角形问题．
【详解】
解：由题意可建立如图所示的空间直角坐标系，
其中 是棱长为1的正方体，直线 为 ，
平面 、 、 分别在正方体的三个面上，满足两两垂直，
于是 = ,又－6≤ ≤6,解得 =2.
椭圆上的点( , )到点M的距离为 ,
则 ,
由于－6≤ ≤6, ∴当 = 时, 取得最小值 .
【点睛】
本题考查直线与椭圆位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.
19．（1） ；（2）
【分析】
（1）根据“笼具”的构造，可知其体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，即可求出；
【详解】
地球表面上从A地(北纬 东经 )到B地(北纬 东经 )
的纬圆半径是 ，经度差是 ，所以 ，
球心角是 ， 、 两地的球面距离是 ，
故答案为 ．
【点睛】
本题主要考查球面距离及其他计算，考查空间想象能力，属于中档题．
8．
【分析】
利用球的体积公式，用 表示 ，代入 ，化简即可得结果.
【详解】
因为
，
同理 ，
（2）求出“笼具”的表面积，即可求出50个“笼具”的总造价．
【详解】
设圆柱的底面半径为 ，高为 ；圆锥的母线长为 ，高为 ，
根据题意可知：
（1） ， cm， cm，
所以“笼具”的体积 cm ．
（2）圆柱的侧面积 cm ，圆柱的底面积 cm ，
圆锥的侧面积 cm ，所以“笼具”的表面积为 cm ，
故造50个“笼具”的总造价： 元．
3．在平行六面体 中，设 ， ， ，用 、 、 作为基底向量表示 ________．
4．已知抛物线 过点A（2，2），则点A到准线的距离为________．
5．水平放置的边长为1的正三角形经过斜二测画法得到的直观图面积为________．
6．若一个圆柱的轴截面是面积为 的正方形，则它的表面积是_________．
（4）若 ， ，则 或 和 相交，故（4）错误．
故选：B．
15．A
【分析】
连接A1P并延长，使其交AD于M，确定M点在AD上，再过M点作A1C平行线与平面ABCD内线段MC交于Q点，即可判断.
【详解】
过P作PN⊥A1A于N，A1N=3，PN=2，连接A1P，延长A1P交AD于M，设AM=x,
，即 .于是 .
【详解】
解:（1）由已知可得点A(－6,0),F(4,0)
设点P( , ),则 ={ +6, }, ={ －4, },
由已知可得
则2 +9 －18=0,解得 = 或 =－6.
由于 >0,只能 = ,于是 = .
∴点P的坐标是( , ).
（2）直线AP的方程是 － +6=0.
设点M( ,0),则M到直线AP的距离是 .
，
，
，
即 ，故答案为 .
【点睛】
本题主要考查球的体积公式，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于基础题.
9．6
【分析】
作 ，根据 平面 可知 平面 ，得到左视图为 ；根据 可求得底面正三角形边长，进而求得 ，从而得到左视图面积.
【详解】
作 ，交 轴于 ，连接
平面 ， 平面
此四面体的左视图为
故答案为
【点睛】
【详解】
有图形可知
.
故答案为：
4．
【分析】
首先求抛物线方程，再求点到准线的距离.
【详解】
由条件可知， ，得 ，
即抛物线方程 ，准线方程 ，
则点 到准线 的距离 .
故答案为：
5．
【分析】
求出边长为1的正三角形的面积S，再根据斜二测画法得到的直观图面积与原图形的面积比求出即可.
【详解】
边长为1的正三角形的面积为 ，
14．设 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数是（）
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，则 ；
（3）若 ，则 ；
（4）若 ，则 ；
A．1B．2C．3D．4
15．在棱长为10的正方体 中， 为左侧面 上一点，已知点 到 的距离为3， 到 的距离为2，则过点 平行于 的直线与正方体表面（）相交
18．点A、B分别是椭圆 长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于 轴上方， .
（1）求点P的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于 ，求椭圆上的点到点M的距离 的最小值.
19．某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为 ，高为 ，圆锥的母线长为 .
由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的 ， ，
上坡即 到山顶 的距离 越来越小，下坡即 到山顶 的距离 越来越大，
∴下坡段的铁路，即图中的 ，
由 ，得 .
故答案为：18
【点睛】
本题考查圆锥侧面展开图、解三角形，考查等价转化思想方法以及基本分析求解能力，属基础题.
12．
【分析】
由曲线 与 轴围成的封闭图形为半椭圆，绕 轴旋转一周而成的几何体为 ，根据对称性构造圆柱和倒立的圆锥，利用祖暅原理，即可求解.
12．在平面 上，将曲线 与 轴围成的封闭图形记为 ，记 绕 轴旋转一周而成的几何体为 ，试构造圆柱与倒立的圆锥，利用祖暅原理得出 的体积值为________．
二、单选题
13．空间内不同的四个点，“无任何三点共线”是“四点不共面”的（）
A．充要条件B．充分非必要条件
C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件
故选：C
14．B
【分析】
直接利用线面平行的判定和性质，面面平行的判定和性质的应用判断（1）（2）（3）（4）的结论．
【详解】
解： ， 是两条不同的直线 ， ， 是三个不同的平面，
对于（1），若 ， ，则 ，故（1）正确；
对于（2），若 ， ，所以 ，由于 ，则 ，故（2）正确；
对于（3），若 ， ，则 或 和 异面或 和 相交，故（3）错误；
10．若三个平面 、 、 两______．
11．如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里， 是母线 上一点，且 公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从 绕山一周到 的观光铁路.这条铁路从 出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为______________公里.
【详解】
①若点 在线段 上，设点 ，那么 在 之间． 在 ， 之间， 在 之间，
∴
，故①正确；
② ，显然，平方后不能消除 ， ，所以命题不成立，故②不正确；
③在 中，由绝对值不等式的性质可得： ，
，故③不正确．
故选C．
17．（1）4；（2） .
【分析】
（1）四棱锥A1﹣ABCD的体积 ，由此能求出结果．
（3）过双曲线 上任意一点 作该双曲线两条渐近线的垂直，垂足分别为 、 ，求证： 为定值．
21．如图， 是底面边长为1的正四棱柱， 为 与 的交点．
（1）设 与底面 所成角的大小为 ，异面直线 与 所成角的大小为 ，求证： ；
（2）若点 到平面 的距离为 ，求二面角 ；
（3）在（2）的条件下，若平面 内存在点 满足 到直线 的距离与到直线 的距离相等，求 的最小值．
， ，
此时直线 与三个平面 、 、 所成角都相等，等于 ，
于是直线 与平面 成角为 ， ，
故答案为： ．
11．18
【分析】
先展开圆锥的侧面，确定观光铁路路线，再根据实际意义确定下坡段的铁路路线，最后解三角形得结果.
【详解】
如图，展开圆锥的侧面，过点 作 的垂线，垂足为 ，
记点 为 上任意一点，联结 ， ，
答：这种“笼具”的体积约为 cm ，生产50个“笼具”的总造价为 元.
【点睛】
本题主要考查简单组合体的体积和表面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
20．（1） ；（2） ；（3）为定值 ，证明见解答．
【分析】
（1）由题意可得 ，由直角三角形的性质和双曲线的定义，解方程可得 ，即可得到双曲线的方程；
经过斜二测画法得到的直观图面积为 .
故答案为:
6．
【分析】
求出圆柱的底面半径和母线长，进而可求得圆柱的表面积.
【详解】
设圆柱的底面半径为 ，则圆柱的母线长为 ，由题意可得 ，解得 ，
因此，该圆柱的表面积为 .
故答案为： .
7．
【分析】
、 两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出 弦长，以及球心角，然后求出球面距离．
上海市位育中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．直线 的斜率为______________________．
2．已知直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，且 ，则 ________．
A． B．
C． D．
16．对于空间坐标系内任意两点 ， ，定义它们之间的一种“新距离”： ，给出下列三个命题：
①若点 在线段 上，则 ；
②在 中，若 ，则 ；
③在 中， ．
其中的真命题为（）
A．①②③B．①②C．①D．②③
三、解答题
17．如图，长方体 中， .
（1）求四棱锥 的体积；
（2）求异面直线 与 所成角的大小．
根据题意知，曲线 与 轴围成的封闭图形为半椭圆，
如图所示，
该平面图形绕 轴旋转一周而成的几何体为 ，
构造圆柱与倒立的圆锥，利用祖暅原理，
可知 的体积为 .
故答案为： .
13．C
【分析】
根据充分，必要条件的定义，判断选项.
【详解】
平行四边形中无任何三点共线，但是四点共面，反过来，若四点不共面，连结四点，构成空间四边形，无任何三点共线，所以“无任何三点共线”是“四点不共面”的必要不充分条件.
（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1 ）；
（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？
20．已知点 、 ，为双曲线 的左、右焦点，过 作垂直于 轴的直线，在 轴的上方交双曲线 于点 ，且 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）若直线 过点（0，1）且与双曲线 交于 、 两点，若 、 中点的横坐标为1，求直线 的方程；
参考答案
1．
【详解】
试题分析：将直线 化为普通方程为 ，斜率为 .
考点：参数方程与普通方程互化；直线方程
2．6
【分析】
根据线面平行的位置关系，转化为空间向量的坐标运算，即可求解.
【详解】
，且直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，
，即 ，
解得： .
故答案为：
3．
【分析】
根据空间图形，根据向量加，减法的规则计算结果.
（2）由DD1∥CC1，知∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A1C与DD1所成角的大小．
【详解】
（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝3，
∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：
＝ ＝ ＝4．
（2）∵DD1∥CC1，∴∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角（或所成角的补角），
连接MC,过P作PQ∥A1C,交MC于Q.所以Q在平面ABCD内.
故选：A
16．C
【分析】
根据题意，对于①若点 在线段 上，设 点坐标为 ，然后代入验证显然 成立．对于②在 中，若 ，则| 是几何距离而非题目定义的距离，明显不成立，对于③在 中，用坐标表示 ，然后根据绝对值不等式可得到大于等于 ．推出不成立，故可得到答案．
7．地球(地球半径为R)表面上从A地(北纬45°东经120°)到B地(北纬45°东经30°)的球面距离为__________.
8．已知三个球的半径 满足 ，则它们的体积 满足的等量关系是_______________________．
9．如图，在空间直角坐标系 中，四面体 的主视图 是面积为 的直角三角形，且 ， 是正三角形，且点 在平面 上，则此四面体的左视图的面积等于__________.
（2）设直线 的方程为 ，与双曲线的方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，以及中点坐标公式，解方程可得 ，进而得到直线 的方程；
（3）设 ，则 ，求得双曲线的渐近线方程分别与相应的垂线方程联立，求得交点 ， ，以及 、 的坐标，由向量数量积的坐标表示，化简整理，即可得证．
∵tan∠A1CC1＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ．
∴异面直线A1C与DD1所成角的大小为 ；
【点睛】
本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注空间思维能力的培养．
18．（1）( , ).（2）
【分析】
（1）根据条件列关于P点坐标得方程组，解得结果，（2）先根据点到直线距离公式结合条件解得点M坐标，再建立 的函数解析式，最后根据二次函数性质求最小值.
本题考查空间几何体的三视图问题的求解，关键是能够根据垂直关系确定左视图的图形，从而利用长度关系来进行求解.
10．
【分析】
构造棱长为1的正方体，建立空间直角坐标系，把问题转化为解直角三角形问题．
【详解】
解：由题意可建立如图所示的空间直角坐标系，
其中 是棱长为1的正方体，直线 为 ，
平面 、 、 分别在正方体的三个面上，满足两两垂直，
于是 = ,又－6≤ ≤6,解得 =2.
椭圆上的点( , )到点M的距离为 ,
则 ,
由于－6≤ ≤6, ∴当 = 时, 取得最小值 .
【点睛】
本题考查直线与椭圆位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.
19．（1） ；（2）
【分析】
（1）根据“笼具”的构造，可知其体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，即可求出；
【详解】
地球表面上从A地(北纬 东经 )到B地(北纬 东经 )
的纬圆半径是 ，经度差是 ，所以 ，
球心角是 ， 、 两地的球面距离是 ，
故答案为 ．
【点睛】
本题主要考查球面距离及其他计算，考查空间想象能力，属于中档题．
8．
【分析】
利用球的体积公式，用 表示 ，代入 ，化简即可得结果.
【详解】
因为
，
同理 ，
（2）求出“笼具”的表面积，即可求出50个“笼具”的总造价．
【详解】
设圆柱的底面半径为 ，高为 ；圆锥的母线长为 ，高为 ，
根据题意可知：
（1） ， cm， cm，
所以“笼具”的体积 cm ．
（2）圆柱的侧面积 cm ，圆柱的底面积 cm ，
圆锥的侧面积 cm ，所以“笼具”的表面积为 cm ，
故造50个“笼具”的总造价： 元．
3．在平行六面体 中，设 ， ， ，用 、 、 作为基底向量表示 ________．
4．已知抛物线 过点A（2，2），则点A到准线的距离为________．
5．水平放置的边长为1的正三角形经过斜二测画法得到的直观图面积为________．
6．若一个圆柱的轴截面是面积为 的正方形，则它的表面积是_________．
（4）若 ， ，则 或 和 相交，故（4）错误．
故选：B．
15．A
【分析】
连接A1P并延长，使其交AD于M，确定M点在AD上，再过M点作A1C平行线与平面ABCD内线段MC交于Q点，即可判断.
【详解】
过P作PN⊥A1A于N，A1N=3，PN=2，连接A1P，延长A1P交AD于M，设AM=x,
，即 .于是 .
【详解】
解:（1）由已知可得点A(－6,0),F(4,0)
设点P( , ),则 ={ +6, }, ={ －4, },
由已知可得
则2 +9 －18=0,解得 = 或 =－6.
由于 >0,只能 = ,于是 = .
∴点P的坐标是( , ).
（2）直线AP的方程是 － +6=0.
设点M( ,0),则M到直线AP的距离是 .
，
，
，
即 ，故答案为 .
【点睛】
本题主要考查球的体积公式，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于基础题.
9．6
【分析】
作 ，根据 平面 可知 平面 ，得到左视图为 ；根据 可求得底面正三角形边长，进而求得 ，从而得到左视图面积.
【详解】
作 ，交 轴于 ，连接
平面 ， 平面
此四面体的左视图为
故答案为
【点睛】
【详解】
有图形可知
.
故答案为：
4．
【分析】
首先求抛物线方程，再求点到准线的距离.
【详解】
由条件可知， ，得 ，
即抛物线方程 ，准线方程 ，
则点 到准线 的距离 .
故答案为：
5．
【分析】
求出边长为1的正三角形的面积S，再根据斜二测画法得到的直观图面积与原图形的面积比求出即可.
【详解】
边长为1的正三角形的面积为 ，
14．设 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数是（）
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，则 ；
（3）若 ，则 ；
（4）若 ，则 ；
A．1B．2C．3D．4
15．在棱长为10的正方体 中， 为左侧面 上一点，已知点 到 的距离为3， 到 的距离为2，则过点 平行于 的直线与正方体表面（）相交
18．点A、B分别是椭圆 长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于 轴上方， .
（1）求点P的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于 ，求椭圆上的点到点M的距离 的最小值.
19．某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为 ，高为 ，圆锥的母线长为 .
由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的 ， ，
上坡即 到山顶 的距离 越来越小，下坡即 到山顶 的距离 越来越大，
∴下坡段的铁路，即图中的 ，
由 ，得 .
故答案为：18
【点睛】
本题考查圆锥侧面展开图、解三角形，考查等价转化思想方法以及基本分析求解能力，属基础题.
12．
【分析】
由曲线 与 轴围成的封闭图形为半椭圆，绕 轴旋转一周而成的几何体为 ，根据对称性构造圆柱和倒立的圆锥，利用祖暅原理，即可求解.
12．在平面 上，将曲线 与 轴围成的封闭图形记为 ，记 绕 轴旋转一周而成的几何体为 ，试构造圆柱与倒立的圆锥，利用祖暅原理得出 的体积值为________．
二、单选题
13．空间内不同的四个点，“无任何三点共线”是“四点不共面”的（）
A．充要条件B．充分非必要条件
C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件
故选：C
14．B
【分析】
直接利用线面平行的判定和性质，面面平行的判定和性质的应用判断（1）（2）（3）（4）的结论．
【详解】
解： ， 是两条不同的直线 ， ， 是三个不同的平面，
对于（1），若 ， ，则 ，故（1）正确；
对于（2），若 ， ，所以 ，由于 ，则 ，故（2）正确；
对于（3），若 ， ，则 或 和 异面或 和 相交，故（3）错误；
10．若三个平面 、 、 两______．
11．如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里， 是母线 上一点，且 公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从 绕山一周到 的观光铁路.这条铁路从 出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为______________公里.
【详解】
①若点 在线段 上，设点 ，那么 在 之间． 在 ， 之间， 在 之间，
∴
，故①正确；
② ，显然，平方后不能消除 ， ，所以命题不成立，故②不正确；
③在 中，由绝对值不等式的性质可得： ，
，故③不正确．
故选C．
17．（1）4；（2） .
【分析】
（1）四棱锥A1﹣ABCD的体积 ，由此能求出结果．
（3）过双曲线 上任意一点 作该双曲线两条渐近线的垂直，垂足分别为 、 ，求证： 为定值．
21．如图， 是底面边长为1的正四棱柱， 为 与 的交点．
（1）设 与底面 所成角的大小为 ，异面直线 与 所成角的大小为 ，求证： ；
（2）若点 到平面 的距离为 ，求二面角 ；
（3）在（2）的条件下，若平面 内存在点 满足 到直线 的距离与到直线 的距离相等，求 的最小值．
， ，
此时直线 与三个平面 、 、 所成角都相等，等于 ，
于是直线 与平面 成角为 ， ，
故答案为： ．
11．18
【分析】
先展开圆锥的侧面，确定观光铁路路线，再根据实际意义确定下坡段的铁路路线，最后解三角形得结果.
【详解】
如图，展开圆锥的侧面，过点 作 的垂线，垂足为 ，
记点 为 上任意一点，联结 ， ，
答：这种“笼具”的体积约为 cm ，生产50个“笼具”的总造价为 元.
【点睛】
本题主要考查简单组合体的体积和表面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
20．（1） ；（2） ；（3）为定值 ，证明见解答．
【分析】
（1）由题意可得 ，由直角三角形的性质和双曲线的定义，解方程可得 ，即可得到双曲线的方程；
经过斜二测画法得到的直观图面积为 .
故答案为:
6．
【分析】
求出圆柱的底面半径和母线长，进而可求得圆柱的表面积.
【详解】
设圆柱的底面半径为 ，则圆柱的母线长为 ，由题意可得 ，解得 ，
因此，该圆柱的表面积为 .
故答案为： .
7．
【分析】
、 两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出 弦长，以及球心角，然后求出球面距离．
上海市位育中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．直线 的斜率为______________________．
2．已知直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，且 ，则 ________．
A． B．
C． D．
16．对于空间坐标系内任意两点 ， ，定义它们之间的一种“新距离”： ，给出下列三个命题：
①若点 在线段 上，则 ；
②在 中，若 ，则 ；
③在 中， ．
其中的真命题为（）
A．①②③B．①②C．①D．②③
三、解答题
17．如图，长方体 中， .
（1）求四棱锥 的体积；
（2）求异面直线 与 所成角的大小．