如皋理科

2010～2011学年度第一学期期中高三学业水平测试试题
数 学（选修物理）
(满分160分，考试时间120分钟)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题卡相应位置. 1. 函数()()
12sin π4f x x =+的最小正周期是 ▲ .
2．复数2i 1i ++（i 是虚数单位）的实部是 ▲ .
3．若3x >-，则23
x x ++的最小值为 ▲ .
4．若向量a ，b 满足|a |=1，|b |=2，且a 与b 的夹角为3π，则|a +b |= ▲ .
5．等差数列{a n }中，a 3＋3a 8＋a 13=120，则2a 9－a 10的值为 ▲ . 6．当x =3时，下面算法输出的结果是 ▲ .
7．设a ，b 是两个非零实数，且a ≠b ，给出下列三个不等式：
①553223a b a b a b +>+；②222(1)a b a b +--≥；③ 2.a b b a +>
其中恒成立的不等式是 ▲ .（只要写出序号）
8. 关于x 的方程()x a x a a --=的解的个数可能为 ▲ .
9. 若函数2()5f x mx x =++在[2)-+∞，
上是增函数，则m 的取值范围是 ▲ . 10. 设平面内有n 条直线(3)n ≥，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一
点．若用()f n 表示这n 条直线交点的个数，当4n >时，()f n = ▲ .（用n 表示）
11. ()()()()
1121160︒+︒︒+︒=L ▲ .
12. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22m n m n S n S m ≠==，，，则m n S += ▲ . 13. 设()f x 是定义在(]2-∞，上的减函数，且22(sin 1)(cos )f a x f a x --+≤对一切x ∈R 都
成立，则a 的取值范围是 ▲ .
14. 设函数()22f x x x bx c =-++，则下列命题中正确命题的序号是 ▲ .
①当0b <时，()f x 在R 上有最大值； ②函数()f x 的图象关于点()0c ，对称； ③方程()f x =0可能有4个实根； ④当0b >时，()f x 在R 上无最大值；
⑤一定存在实数a ，使()f x 在[)a +∞，上单调递减.
二、解答题：本大题共6题，共90分. 请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在ABC ∆
中，45cos B AC C ∠=︒==，． （1）求BC 边的长度；
（2）若点D 是AB 的中点，求中线CD 的长度．
16. （本题满分14分）
已知函数2
1(0)()21(1)x c cx x c f x c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩，
，，
≤满足29()8f c =．
（1）求常数c 的值； （2
）解不等式()1
f x >+．
17．（本题满分15分）
已知△ABC
的面积为()
18AC AB CB ⋅-=u u u r u u u r u u u r
，向量(tan tan sin 2)A B C =+，m 和
(1cos cos )A B =，n 是共线向量.
（1）求角C 的大小； （2）求△ABC 的三边长.
A
B
C
D M F
E
N
P
·
18. （本题满分15分）
西部大开发十周年，某西部城市生产总值翻了两番，现决定在如图所示的空地ABCD 上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF ，进一步宣传西部大开发未来十年计划、目标等相 关政策. 已知四边形ABCD 是边长为30米的正方形，电源在点P 处，点P 到边AD 、 AB 的距离分别为9米，3米，且MN :NE =16:9. 线段MN 必须过点P ，端点M 、N 分别 在边AD 、AB 上，设AN =x 米，液晶广告屏幕MNEF 的面积为S 平方米. （1）用x 的代数式表示AM ；
（2）求S 关于x 的函数关系式及其定义域；
（3）当x 为何值时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小？
19．（本题满分16分）
已知函数f (x )＝ln x ＋1－x ax
，其中a 为大于零的常数．
（1）若函数f (x )在区间[1，＋∞)内不是单调函数，求a 的取值范围； （2）求函数f (x )在区间[e ，e 2]上的最小值．
20．（本小题满分16分）
设3()f x x =，等差数列{}n a 中37a =，12312a a a ++=，记n S
=f ，令n n n b a S =，
数列1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T .
（1）求{}n a 的通项公式和n S ； （2）求证：13
n T <；
（3）数列{}3*1()2
n
n n n c c c n a +=∈+N 满足，求证{}n c 是单调递增数列.
答案
（1） 2 （2）32
（3）3
22-（4）7（5） 24 （6） 6 （7）②
（8） 1 （9）⎥⎦⎤⎢⎣⎡41,0（10）222
--n n （11）612（12）-()2n m +（13）⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡--2101,2（14） （1）（3）（5） 15．解：（1
）由cos C =
sin C =
sin sin(18045)sin )2A C C C =--=+=
o o ，………………………………3分 由正弦定理知:
sin sin AC BC A B =
⋅==………………………………7分 （2
）sin 2sin 5AC AB C B =⋅==，112
BD AB ==………………………………10分
由余弦定理知：CD ==……………………………………………………………………………………………14分 16.解：（1）因为01c <<，所以2c c <；………………………………2分 由29()8f c =
，即3918c +=，1
2
c =．………………………………5分 （2）由（1）得411122()211x x x f x x -⎧⎛
⎫+0<< ⎪⎪⎪⎝
⎭=⎨1⎛⎫⎪+< ⎪⎪2⎝⎭⎩
，，≤………………………………6分
由()18f x >
+得，当1
02
x <<
12x <<，…………………9分
当
112x <≤时，解得15
28
x <≤，……………………12分
所以()1f x >
+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪
<<⎨⎬⎪⎪⎩
⎭．………………………………14分
17.解：解：（1）由//m n u r r
可得C B A B A 2sin cos cos )tan (tan =•+ (2)
分
即C B A B A 2sin sin cos cos sin =•+• 即C B A 2sin )sin(=+
即C C C cos sin 2sin = ……………………4分
Θπ<<C 0 ∴0sin ≠C ∴2
1
cos =C ∴3π
=
C ……………………7分
（2）()18AC AB CB ⋅-=u u u r u u u r u u u r 即18)(2
==+•AC BC AB AC
∴23==b ……………………9分
Θ392
32321sin 21=⨯⨯⨯==
∆a C ab S ABC ∴26=a ……………………11分 ∴C ab b a c cos 22
2
2
-+= 2
1
232621872⨯⨯⨯-+= 54= ∴63=c
∴26=a ，23=b ，63=c ……………………15分
18．解：（1）由题意在AMN ∆中，
93,MP NP
x MN AM MN ==
∴931x AM
+= ∴39x
AM x =-…………………………4分
（2）3309
x
AM x =≤-
由图可知9x >
∴33027x x ≤-，即10x ≥
∴定义域为[10，30]……………………7分
MN = ∴2229916(9)x s x x ⎡⎤
=+⎢⎥-⎣⎦ [](10,30)x ∈…………………………9分 （3）224
918(9)92(9)'216(9)x x x x s x x ⎡⎤--⨯-=+⎢⎥-⎣⎦
3
9189(2)16(9)x x x ⨯=
-- 3
3
2(9)819016(9)
x x x ⎡⎤--⎣⎦=⨯=-
得9x =+分
∴(10,9x '∈+时,S <0
(9x '∈+时,S >0……………………14分
∴9x =+S 取得最小值.
答：当9x =+时，液晶广告屏的面积最小. ………………15分
19.解： f '(x )＝ax －1
ax 2
(x ＞0) 2分
（1）由已知，得f '(x )在[1，＋∞)上有解，即a ＝1
x
在(1，＋∞)上有解，
又Θ当x ∈(1，＋∞)时，1
x
＜1，
所以a ＜1．又a ＞0，所以a 的取值范围是(0，1)．………………………………6分
（2）①当a ≥1
e 时，
因为f '(x )＞0在(e ，e 2)上恒成立，这时f (x )在[e ，e 2]上为增函数，
所以当x ＝e 时，f (x )min ＝f (e)＝1＋1－e
ae ……………………………………………… 8分
②当0＜a ≤1
e
2时，
因为f '(x )＜0在(e ，e 2)上恒成立， 这时f (x )在[e ，e 2]上为减函数， 所以，当x ＝e 2时，f (x )min ＝f (e 2)＝2－
1－e 2
a e 2
，…………………………………………10分
③当1e 2＜a ＜1e 时，令f '(x )＝0得，x ＝1
a ∈(e ，e 2)，
又因为对于x ∈(e ，1
a )有f '(x )＜0，
对于x ∈(1
a
，e 2)有f '(x )＞0，
所以当x ＝1a 时，f (x )min ＝f (1a )＝ln 1a ＋1－1
a
．………………………………………14分
综上，f (x )在[e ，e 2]上的最小值为
f (x )min
＝⎩
⎪⎨⎪⎧1＋1－e ae ，当a ≥1e 时，
ln 1a ＋1－1a ，当1e 2＜a ＜1
e 时，2－1－e 2a e 2，当0＜a ＜1
e
2时．
………………………………………16分
20.解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由7213=+=d a a ,12331321=+=++d a a a a .
解得11=a ，d =3 ∴23-=n a n ……………3分
∵3x
x f =)(
∴S n =(
)
3
1+n a f
=131+=+n a n .……………5分
(2) )13)(23(+-==n n S a b n n n
∴
)1
31231(31)13)(23(11+--=+-=n n n n b n ∴3
1)1311(31<+-=
n T n ……… ……10分 (3) ⎪⎭⎫
⎝
⎛+==+
n c c n c c n n n n 311323
由题意 0>∴n c ……………………………………11分 03333
13
1=--++
++n
c c n c c n n n n
()()
()()
()⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+++-=-+++-<-
++++-=+++++++++++n c c c c c c n c n c c c c c c c n c n c c c c c c c n n n n n n n
n n n n n n n n
n n n n n n n 313333302
121112
121112
12
11即
031
12
121>->++++++n n n n n n c c n
c c c c 得
由 即{}n c 是单调递增数列………………………………………16分。