[高二数学]高二淮阴中学2010-2011学年度第一学期高二阶段测试数学试卷

##中学2010-2011学年度第一学期高二阶段测试数学试卷2010.12
一、填空题：〔本大题共14小题,每小题5分,共70分〕
1.若复数11i z =-,224i z =+,其中i 是虚数单位,则复数12z z 的实部是 ▲ . 2．曲线3
1y x x =++在点〔1 , 3〕处的切线方程是_____▲___。

3．命题"2
,20x R x x ∃∈+-≤"的否定是▲.
4．从五个数字7,5,4,2,1中任取两个相加,则和为奇数的概率为▲
5. 点P 是椭圆
1361002
2=+y x 上一点,12,F F 分别是左、右焦点,若16=PF ,则2PF 的值为▲ 6．双曲线
22
1916
x y -=的右焦点是抛物线的焦点,则抛物线的标准方程是▲. 7．已知1F 〔-3,0〕,2F 〔3,0〕,点M 满足1021=+MF MF ,则M 的轨迹方程为▲ 8．若椭圆2
2
42x y k +=上两点间最大的距离为8,则实数k 的值是▲
9．若点P 是以12,F F 为焦点的双曲线22221-=x y a b
上一点,满足12⊥PF PF ,且122=PF PF ,
则此双曲线的离心率为▲.
10．P 为2
2
3515x y -=上第四象限内一点,12,F F 为其两焦点,
且1226F PF S ∆=,则P 点坐标为▲
11.已知函数()y f x =与其导函数()y f x '=的图象如图所示,则f <3>＝▲．
12．已知椭圆22
143
x y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2,P 为椭圆上一点,且∠F 1PF 2＝60°, 则22
12PF PF +的值为▲
13．有下列命题：①双曲线
192522=-y x 与椭圆135
22
=+y x 有相同的焦点； ②"02
1
<<-
x "是"2x 2－5x －3＜0"必要不充分条件； ③"若xy ＝0,则x 、y 中至少有一个为0”的否命题是真命题.；
④若p 是q 的充分条件,r 是q 的必要条件,r 是s 的充要条件,则s 是p 的必
要条件；
其中是真命题的有：_ __ ▲ _．〔把你认为正确命题的序号都填上〕 14.已知数列{}n a ,{}n b 满足11a =,22a =,12b =,且对任意的正整数,,,i j k l ,当i j k l +=+时,
都有i j k l a b a b =,则1010a b +的值是▲．
高二数学试卷答题纸
一、填空题：
1、_________
2、__________
3、
4、_________
5、_________
6、____________
7、_____________________
8、_________
9、_________10、_______ 11、__________________ 12、________ 13、_________14、_____________________ 二、解答题：〔本大题共6小题,共90分〕
15．〔本题满分14分〕设方程
22
1823
y x m m +=--表示曲线C. 〔1〕m ＝5时,求曲线C 的离心率和准线方程；
〔2〕若曲线C 表示椭圆,求椭圆焦点在y 轴上的概率。

16．〔本题满分14分〕已知函数3
2
2
()(0)f x x ax bx a a =+++>在x ＝1处有极值10. 〔1〕求a 、b 的值； 〔2〕求)(x f 的单调区间；
〔3〕求)(x f 在[0,4]上的最大值与最小值。

17．〔本题满分14分〕ABC ∆中,A 、B 两点的坐标分别是〔-2,0〕〔2,0〕,AC 、AB 、BC 成等差数列。

〔1〕求顶点C 的轨迹方程；
〔2〕直线y ＝x －2与C 点轨迹交于MN 两点,求线段MN 长度。

18．〔本题满分16分〕已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>,顺次连接其实轴、虚轴端点所
得四边形的面积为8,
〔1〕求双曲线焦距的最小值,并求出焦距最小时的双曲线方程；
〔2〕设A 、B 是双曲线上关于中心对称的两点,P 是双曲线上另外一点,若直线PA 、PB 的斜
率乘积等于1
4
,求双曲线方程。

19．〔本题满分16分〕已知椭圆122
22=+b
y a x <a>b>0>
〔1〕当椭圆的离心率1
2
e =
,一条准线方程为x ＝4 时,求椭圆方程； 〔2〕设(,)P x y 是椭圆上一点,在〔1〕的条件下,求2z x y =+的最大值与相应的P 点坐标。

〔3〕过B<0,－b>作椭圆122
22=+b
y a x <a>b>0>的弦,若弦长的最大值不是2b,求椭圆离心率
的取值范围。

20．〔本题满分16分〕已知,()ln f x ax x =-,()
()f x g x x
-=,.a R ∈ ⑴当1=a 时, 讨论()f x 的单调性、极值； ⑵当1a =-时,求证：211121
()()2,,(0,)2
g x f x x x x -<+
∀∈+∞成立； ⑶是否存在实数a ,使(0,]x e ∈时,()f x 的最小值是3,若存在,求出a 的值；若不存在,说明理由.
##省##中学高二数学阶段测试参考答案
一、填空题
1、6
2、y=4x-1、
3、2
,20x R x x ∀∈+-> 4、
35
5、14
6、2
20y x = 7、
22
12516
x y += 8、8
9 10、 11、
3
2
12、8 13、①③④ 14、1536
二、解答题
15、解：〔1〕离心率e =
准线方程为：1x =±
〔2〕设椭圆焦点在y 轴上的事件为A (2)
()3
P A =
16、解：〔1〕由2
(1)320,(1)110f a b f a b a '=++==+++=,得a=4,ora=-3
0,4,11a a b >∴==-〔经检验符合〕
〔2〕
322()41116,()3811f x x x x f x x x '=+-+=+-,由()0f x '=得
1211
,13
x x =-
= 列表分析得：f<x>在11(,),(1,)3-∞-
+∞上单调递增,11
(,1)3
-上单调递减。

〔3〕由〔2〕知: f 〔x 〕在〔0,1〕上单调递减,〔1,4〕上单调递增,
又因为f 〔0〕=16,f 〔1〕=10,f 〔4〕=100,所以f 〔x 〕的最大值为100,最小值为10。

17、解：〔1〕
28(8)CA CB AB AB +==>,∴C 点在以A 、B 为焦点的椭圆上。

4,2,a c b ==∴=,椭圆方程为2211612x y +=,又因为A 、B 、C 三点不共线,
所以C 点轨迹方程为
22
1(0)1612
x y y +=≠
〔2〕由22
23448
y x x y =-⎧⎨+=⎩得：2
12121632716320,,77x x x x x x --=⇒+==-
48
||7
MN ==
18、解：〔1〕由题意：s=2ab=8,ab=4,焦距2c ==
当a=b=2时取等号。

所以焦距的最小值为,此时双曲线方程为：
22
144
x y -=
〔2〕设
11(,)
A x y ,
22(,)
P x y ,则
11(,)B x y --,2
221212122
21212114
AP BP
y y y y y y k k x x x x x x -+-===--- 又因为2211221x y a b -=,2222221x y a b
-=,
所以222
21222
21y y b x x a -=-,所以2214b a =
4,ab b a =∴==所以双曲线方程为：22182
x y -=
19、解：〔1〕2
12
,1,2,4
c e a c a b a c
⎧
==⎪⎪∴===⎨⎪=⎪⎩
椭圆方程为22143x y += 〔2〕因为(
,)P x y 在椭圆22
143
x y +=上,所以可设2cos ,x y θθ==, 则
2cos 4sin()4
6
z π
θθθ=+=+≤,
max 4
z ∴=,此时
2()3
k k Z π
θπ=+
∈,
相应的P 点坐标为3(1,)2。

〔3〕设弦为BP ,其中P<x,y>,22
2
2
2
222
2()2a BP x y b a y y by b b
=++=-+++
＝
2234222
2222222()(),()c c b b y by a b y a b f y b y b b b c c
-+++=--+++=-≤≤, 因为BP 的最大值不是2b,又2
()4f b b =
,
所以f 〔y 〕不是在y=b 时取最大值,而是在对称轴3
2b y c =处取最大值,
所以32b b c
<,所以22
b c <,解得离心率e ∈ 20、解：〔1〕a=1时,1
()ln ,()(0)x f x x x f x x x
-'=-=>,1x >时,()0,0f x x '><时,()0f x '<,
所以f 〔x 〕在〔0,1〕上单调递减,(1,)+∞上单调递增,f 〔x 〕有极小值f 〔1〕=1 〔2〕a=-1时,2
ln ln 1ln ()1,()x x x x g x g x x x x +-'=
=+=,设1
()()22h x f x x =++, 则1()ln 2h x x x =-+,由〔1〕知h 〔x 〕的最小值为3
2。

又因为g 〔x 〕在〔0,e 〕上单调递增,(,)e +∞单调递减,
所以g 〔x 〕最大值为min 13
()1()2
g e h x e =+
<=, 所以2112()()(,(0,)g x h x x x <∈+∞从而：
211121
()()2,,(0,)2
g x f x x x x -<+∀∈+∞成立
〔3〕假设存在实数a ,使x ax x f ln )(-=〔],0(e x ∈〕有最小值3,/1()f x a x
=-
①当0≤a 时,)(x f 在],0(e 上单调递减,31)()(min =-==ae e f x f ,e
a 4
=
〔舍去〕,
所以,此时)(x f 无最小值。

②当e a <<
10时,)(x f 在)1,0(a 上单调递减,在],1
(e a
上单调递增 3ln 1)1
()(min =+==a a
f x f ,2e a =,满足条件.
③当e a ≥1时,)(x f 在],0(e 上单调递减,31)()(min =-==ae e f x f ,e
a 4
=〔舍
去〕,
所以,此时)(x f 无最小值.
综上所述,存在实数2e a =,使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值3。