古尔丁定理

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四川大学数学学院 徐小湛
April 2011
古尔丁定理 6
旋转曲面面积的古尔丁定理 平面上一曲线L绕与曲线不相交的一直线旋转 一周而成的旋转曲面的面积A等于L的弧长s与 L的形心（几何中心）所经过的路程的乘积。 如果 L 的形心到转轴的距 离为 d，L 的弧长为 s， 则 L 绕转轴旋转而成的旋 转曲面的面积为：
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旋转体体积的古尔丁定理 平面上一区域 D 绕区域外一直线旋转一周的 旋转体的体积等于D 的面积与 D 的形心（几 何中心）所经过的路程的乘积。 如果 D 的形心到转轴的距离 为 d，D 的面积为 A， 则 D 绕转轴旋转而成的旋转 D d 体的体积为：
形心
V A 2 d
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转轴
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古尔丁定理 3
证明 不妨假设 D 是 X 型区域（如图）：
D : a x b, 0 y1 ( x) y y2 ( x)
旋转轴为 x 轴
a
y y2 ( x )
D
(x, y)
y y1 ( x )
b
设 D 的形心坐标为 ( x , y )
其中A是D的面积。
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古尔丁定理 5
另一方面，由旋转体体积的计算公式
V [ y2 ( x) y ( x)]dx
2 a 2 1
b
V 2 Ay A 2 y
其中
y
是 D 的形心到旋转轴（x轴）的距离。
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古尔丁定理 10
例
圆
x ( y b) a (b a 0)
2 2 2
绕 x 轴旋转一周，得一圆环体。
圆的形心的纵坐标为 b。
a b
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古尔丁定理 11
根据古尔丁定理，
圆环体的体积为
V A 2 b a 2 b 2a b
2 2
2
其中 A 是圆的面积。 圆环体的表面积为
S s 2 b 2 a 2 b 4ab
其中 s 是圆的周长。
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古尔丁定理 4
设 D 的形心坐标为 ( x , y )
由形心的计算公式
y2 ( x ) 1 1 b y ydxdy dx ydy y1 ( x ) AD A a
1 b 2 2 a [ y2 ( x) y1 ( x)]dx 2A
古尔丁定理 1
古尔丁定理
Paul Guldin（古尔丁） 1577 – 1643 Swiss mathematician who wrote on volumes and centres of gravity.
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古尔丁定理 2
L
形心
d
S s 2d
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转轴
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古尔丁定理 7
证明 不妨假设曲线 L 的参数方程为：
L : x x ( ), y y ( ) a t t 0, t b
旋转轴为x轴。 设 L 的形心坐标为( x, y) 由形心的计算公式
2 2 a
b
S 2 sy s 2 y
其中
y
是L的形心到旋转轴（x轴）的距离。
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古尔丁定理 9
帕波斯另一项值得称道的贡献是提出后来称为“古尔丁定 理”的命题：“封闭的平面图形围绕同一平面内且不与之 相交的轴回转，所产生的体积等于这图形面积乘以图形重 心所描画出的圆周的长”． 他还进一步断言：“可以将封闭平面图形改成一段平面曲 线，它回转所产生的曲面面积等于曲线的长乘以其重心所 画过的圆周的长．” 帕波斯只叙述而没有证明． 后来古尔丁在他的书(1635—1641)中重提这个定理，实际上 他也没有证明，只是作了“形而上学的推理”． 卡瓦列里(Bonaventura Cavalieri，1598—1647)指出这一缺 陷后用自己创立的“不可分法” (method of indivisibles)去 证明它．
1 1 b 2 2 y yds y (t ) x (t ) y (t )dt sL s a
其中 s 是 L 的弧长。
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古尔丁定理 8
另一方面，由旋转曲面的面积公式
S 2 y(t ) x (t ) y (t )dt