高二数学上学期第一次月考试题 文(含解析)-人教版高二全册数学试题

2015-2016学年某某市巫山中学高二（上）第一次月考数学试卷（文
科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）
A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）
2．在等差数列{a n}中，a1=2，a3+a5=10，则a7=（）
A．5 B．8 C．10 D．14
3．为了调查城市PM2.5的情况，按地域把48个城市分成大型、中型、小型三组，对应的城市数分别为8，16，24．若用分层抽样的方法抽取12个城市，则中型组中应抽取的城市数为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．设a，b，c∈R，且a＞b，则（）
A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b3
5．要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）
A．向左平移单位B．向右平移单位
C．向左平移单位D．向右平移单位
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）
A．44π B．48π C．D．
7．在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“﹣1≤log x≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．
8．已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（）A．B．C．D．
9．设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=（）
A．31 B．32 C．63 D．64
10．设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
11．设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）
A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数
C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数
12．已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若a m，a n满足=8a1，则+的最小值为（）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．执行如图的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是．
14．若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值为．
15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，C=，则△ABC的面积为．
16．已知函数f（x）=e x+e﹣x（其中e是自然对数的底数），若关于x的不等式mf（x）≤e ﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，则实数m的取值X围是．
三、解答题：本大题共7小题，共70分.
17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点．
（1）求证：BC1∥平面CA1D；
（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B．
18．某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）
参加书法社团未参加书法社团
参加演讲社团8 5
未参加演讲社团 2 30
（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；
（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．
19．袋中装有3个红球和2个黑球，一次取3个球．
（Ⅰ）求取出的3个球中有2个红球的概率；
（Ⅱ）取出的3个球中，红球数多于黑球数的概率．
20．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x﹣，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（2）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足sinB﹣2sinA=0且c=3，f（C）=0，求a、b的值．
21．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC 上，PC⊥平面BDE．
（I）证明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=1，AD=2，求点B到平面PCD的距离．
22．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S13=91，等比数列{b n}中首项b1=3，公比q=2，且
a3是﹣42和b5的等差中项．
（I）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设=2+（﹣1）n a n，求数列{}的前2n项和T2n．
23．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH．（Ⅰ）证明：GH∥EF；
（Ⅱ）若EB=2，求四棱锥D﹣GEFH的体积．
2015-2016学年某某市巫山中学高二（上）第一次月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）
A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）
【考点】交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】求出集合B，然后求解集合的交集．
【解答】解：B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}={x|1＜x＜3}，A={x|2＜x＜4}，
∴A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．
故选：C．
【点评】本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．
2．在等差数列{a n}中，a1=2，a3+a5=10，则a7=（）
A．5 B．8 C．10 D．14
【考点】等差数列的通项公式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由题意可得a4=5，进而可得公差d=1，可得a7=a1+6d，代值计算即可．
【解答】解：∵在等差数列{a n}中a1=2，a3+a5=10，
∴2a4=a3+a5=10，解得a4=5，
∴公差d==1，
∴a7=a1+6d=2+6=8
故选：B
【点评】本题考查等差数列的通项公式，属基础题．
3．为了调查城市PM2.5的情况，按地域把48个城市分成大型、中型、小型三组，对应的城市数分别为8，16，24．若用分层抽样的方法抽取12个城市，则中型组中应抽取的城市数为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】分层抽样方法．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】用样本容量乘以中型组城市数所占的比例，即得中型组中应抽取的城市数．
【解答】解：中型组城市数所占的比例为=，样本容量为12，
故中型组中应抽取的城市数为12×=4，
故选：B．
【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，各层的个体数之比等于各层对应的样本数之比，
4．设a，b，c∈R，且a＞b，则（）
A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b3
【考点】不等关系与不等式．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】对于A、B、C可举出反例，对于D利用不等式的基本性质即可判断出．
【解答】解：A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；
B、1＞﹣2，但是，故B不正确；
C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正确；
D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．
故选：D．
【点评】熟练掌握不等式的基本性质以及反例的应用是解题的关键．
5．要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）
A．向左平移单位B．向右平移单位
C．向左平移单位D．向右平移单位
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．
【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，
要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点．
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）
A．44π B．48π C．D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是球与圆柱体的组合体；结合图中数据求出它的表面积即可．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是上部为球，下部为圆柱体的组合体；
且球的直径为4，圆柱体的底面圆直径也为4，高为6；
所以该几何体的表面积为
S=4π•22+（2π•22+2π•2•6）=48π．
故选：B．
【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的根据是由三视图得出原图形的结构特征，是基础题目．
7．在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“﹣1≤log x≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．
【考点】几何概型．
【专题】概率与统计．
【分析】由题意可得区间长度，解对数不等式可得事件所占区间长度，由几何概型的概率公式可得．
【解答】解：在区间[0，2]上随机地取一个数x，则x所占的区间长度为2﹣0=2，
不等式“﹣1≤log x≤1可化为“log2≤log x≤log，
解得≤x≤2，
∴事件“﹣1≤log x≤1”发生x所占的区间长度为2﹣=，
∴由几何概型可得所求概率为
故选：A
【点评】本题考查几何概型，涉及对数不等式的解法，属基础题．
8．已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（）A．B．C．D．
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【专题】平面向量及应用．
【分析】由已知向量垂直得到数量积为0，于是得到非零向量的模与夹角的关系，求出夹角的余弦值．
【解答】解：由已知非零向量满足||=4||，且⊥（），设两个非零向量的夹角为θ，
所以•（）=0，即2=0，所以cosθ=，θ∈[0，π]，所以；
故选C．
【点评】本题考查了向量垂直的性质运用以及利用向量的数量积求向量的夹角；熟练运用公式是关键．
9．设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=（）
A．31 B．32 C．63 D．64
【考点】等比数列的前n项和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，代入数据计算可得．
【解答】解：S2=a1+a2，S4﹣S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6﹣S4=a5+a6=（a1+a2）q4，
所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，
即3，12，S6﹣15成等比数列，
可得122=3（S6﹣15），
解得S6=63
故选：C
【点评】本题考查等比数列的性质，得出S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列是解决问题的关键，属基础题．
10．设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】根据空间线线，线面，面面之间的位置关系分别进行判定即可得到结论．
【解答】解：A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故A错误．
B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故B错误．
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α，正确．
D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故D错误．
故选：C
【点评】本题主要考查空间直线，平面之间的位置关系的判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．
11．设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）
A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数
C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【专题】导数的综合应用．
【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．
【解答】解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），
函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数．
排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B错误，A正确．
故选：A．
【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．
12．已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若a m，a n满足=8a1，则+的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】基本不等式．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】由等比数列的性质易得m+n=8，可得+=（+）（m+n）=（10++），由基本不等式求最值可得．
【解答】解：∵正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，
∴q2a5=qa5+2a5，即q2﹣q﹣2=0，
解得公比q=2，或q=﹣1（舍去）
又∵a m，a n满足=8a1，
∴a m a n=64a12，∴q m+n﹣2a12=64a12，
∴q m+n﹣2=64，∴m+n﹣2=6，即m+n=8，
∴+=（+）（m+n）=（10++）
≥（10+2）=2
当且仅当=即m=2且n=6时取等号，
故选：A．
【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及等比数列的通项公式，属基础题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．执行如图的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是13 ．
【考点】程序框图．
【专题】图表型；算法和程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出得到的x，y的值，当x=2时不满足条件x＜2，计算并输出y的值为13．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
x=1
满足条件x＜2，x=2
不满足条件x＜2，y=13
输出y的值为13．
故答案为：13．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基本知识的考查．
14．若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值为7 ．
【考点】简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+3y对应的直线进行平移，可得当x=1且y=2时，z取得最大值．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的三角形及其内部，由
可得A（1，2），z=x+3y，将直线进行平移，
当l经过点A时，目标函数z达到最大值
∴z最大值=1+2×3=7．
故答案为：7
【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+3y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，C=，则△ABC的面积为．
【考点】正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】由b，sinC，sinB的值，利用正弦定理求出c的值，根据内角和定理和两角和的正弦公式，求出A的正弦值，代入三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．
【解答】解：∵b=2，B=，C=，
∴由正弦定理得，c===，
又sinA=sin（π﹣B﹣C）=sin（）=sin（）
==，
∴△ABC的面积S===，
故答案为：．
【点评】本题考查正弦定理，三角形面积公式，以及两角和的正弦公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
16．已知函数f（x）=e x+e﹣x（其中e是自然对数的底数），若关于x的不等式mf（x）≤e ﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，则实数m的取值X围是（﹣∞，﹣]．
【考点】函数恒成立问题．
【专题】转化思想；换元法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题，即可某某数m的取值X围．
【解答】解：若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，
即m（e x+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，
∵x＞0，∴e x+e﹣x﹣1＞0，
即m≤在（0，+∞）上恒成立，
设t=e x，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，
∵=﹣=﹣≥﹣，
当且仅当t=2时等号成立，
∴m≤﹣．
故答案为：（﹣∞，﹣]．
【点评】本题主要考查函数恒成立问题的解法，注意运用参数分离和最值的求法，属于中档题．
三、解答题：本大题共7小题，共70分.
17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点．
（1）求证：BC1∥平面CA1D；
（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B．
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【专题】证明题．
【分析】（1）连接AC1，交A1C于点O，连接DO，先利用三角形中位线定理证明BC1∥DO，从而利用线面平行的判定定理证明所证结论；
（2）先利用面面垂直的性质定理证明直线CD⊥平面AA1B1B，再由面面垂直的判定定理证明所证结论即可
【解答】解：如图，（1）连接AC1，交A1C于点O，连接DO
在△ABC1中，点D是AB的中点，点O是A1C的中点
∴BC1∥DO，BC1⊈平面CA1D，DO⊆平面CA1D
∴BC1∥平面CA1D
（2）∵AC=BC，D是AB的中点
∴CD⊥AB
∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC=AB
∴CD⊥平面AA1B1B，又CD⊂平面CA1D
∴平面CA1D⊥平面AA1B1B
【点评】本题主要考查了直棱柱中的线面、面面关系，线面及面面平行、垂直的判定定理和性质定理的应用，推理论证的能力和表达能力，注意证明过程的严密性
18．某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）
参加书法社团未参加书法社团
参加演讲社团8 5
未参加演讲社团 2 30
（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；
（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】概率与统计．
【分析】（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；
（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“A1被选中，而B1未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）设“至少参加一个社团”为事件A；
从45名同学中任选一名有45种选法，∴基本事件数为45；
通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15；
这是一个古典概型，∴P（A）=；
（Ⅱ）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；
∴从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15；设“A1被选中，而B1未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2；
这是一个古典概型，∴．
【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用．
19．袋中装有3个红球和2个黑球，一次取3个球．
（Ⅰ）求取出的3个球中有2个红球的概率；
（Ⅱ）取出的3个球中，红球数多于黑球数的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】概率与统计．
【分析】（Ⅰ）列举一次取3个球的所有基本事件，共10种，找出3个球中有2个红球的基本事件个数，即可求解；
（Ⅱ）在（Ⅰ）中列举的基本事件中找出红球数多于黑球数的基本事件个数，利用概率公式计算即可．
【解答】解：将3个红球，分别记为a，b，c，2个黑球分别记为1，2，
一次取3个球，有如下基本事件：
abc，ab1，ab2，ac1，ac2，a12，
bc1，bc2，b12，
c12，共10种情形
（Ⅰ）取出的3个球中有2个红球，
有ab1，ab2，ac1，ac2，bc1，bc2，
共6种情形，故概率为．
（Ⅱ）取出的3个球中红球数多于黑球数，
abc，ab1，ab2，ac1，ac2，bc1，bc2，
共7种情形，故概率为．
【点评】本题考查古典概型概率公式的应用，以及列举法的应用，属于中档题．
20．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x﹣，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（2）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足sinB﹣2sinA=0且c=3，f（C）=0，求a、b的值．
【考点】余弦定理；二倍角的余弦．
【专题】计算题；解三角形．
【分析】（1）f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，即可求出f（x）的最小值，以及最小正周期；
（2）由f（C）=0，及（1）得出的f（x）解析式求出C的度数，利用正弦定理化简已知等式得到a与b的关系式，再由c与cosC的值，利用余弦定理列出关系式，联立求出a与b 的值即可．
【解答】解：（1）f（x）=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1，
∴f（x）的最小值为﹣2，最小正周期为π；
（2）∵f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，即sin（2C﹣）=1，
∵0＜C＜π，﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，∴C=，
∵sinB﹣2sinA=0，
由正弦定理=，得b=2a，①
∵c=3，由余弦定理，得9=a2+b2﹣2abcos，即a2+b2﹣ab=9，②
解方程组①②，得．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的图象与性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
21．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC 上，PC⊥平面BDE．
（I）证明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=1，AD=2，求点B到平面PCD的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．
【专题】数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．
【分析】（I）利用线面垂直的性质定理可得PA⊥BD，PC⊥BD，再利用线面垂直的判定定理即可证明．
（II）由于AB∥CD，只要求出点A到平面PCD的距离即可，利用线面面面垂直的判定与性质定理即可得出．
【解答】（I）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，
∵点E在线段PC上，P C⊥平面BDE．
∴PC⊥BD，又PC∩PA=P，
∴BD⊥平面PAC；
（II）解：∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，
∴AB∥平面 PCD．
∴只要求出点A到平面PCD的距离即可．
过A作AM⊥PD，垂足为M．
∵PA⊥平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD，
∵CD⊥AD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AM，
CD∩PD=D，
∴AM⊥平面ACD，
∵AM===．
∴点B到平面PCD的距离是．
【点评】本题考查了空间位置关系及其距离，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S13=91，等比数列{b n}中首项b1=3，公比q=2，且a3是﹣42和b5的等差中项．
（I）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设=2+（﹣1）n a n，求数列{}的前2n项和T2n．
【考点】数列的求和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（I）利用等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
（II）=2+（﹣1）n a n，=2n+（﹣1）n n．利用等比数列的前n项和公式、“分组求和”即可得出．
【解答】解：（I）∵等比数列{b n}中首项b1=3，公比q=2，∴．
∴b5=3×24=48．
∵a3是﹣42和b5的等差中项．
∴2a3=﹣42+b5=﹣42+48，
解得a3=3．
设等差数列{a n}的公差为d，又S13=91，
∴，
解得a1=d=1．
∴a n=1+（n﹣1）=n．
（II）=2+（﹣1）n a n，=2n+（﹣1）n n．
∴数列{}的前2n项和T2n=+[（﹣1+2）+（﹣3+4）+…+（1﹣2n+2n）]
=22n+1﹣2+n．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“分组求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
23．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH．（Ⅰ）证明：GH∥EF；
（Ⅱ）若EB=2，求四棱锥D﹣GEFH的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质．
【专题】综合题；转化思想；综合法；推理和证明．
【分析】（Ⅰ）证明GH∥EF，只需证明EF∥平面PBC，只需证明BC∥EF，利用BC∥平面GEFH 即可；
（Ⅱ）求出四边形GEFH的上底、下底及高，求出面积，D到平面GEFH的距离为6，即可求四棱锥D﹣GEFH的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：∵BC∥平面GEFH，平面GEFH∩平面ABCD=EF，BC⊂平面ABCD，
∴BC∥EF，
∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴EF∥平面PBC，
∵平面EFGH∩平面PBC=GH，
∴EF∥GH；
（Ⅱ）解：连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK．∵PA=PC，O为AC中点，
∴PO⊥AC，
同理可得PO⊥BD，
又∵BD∩AC=O，AC⊂底面ABCD，BD⊂底面ABCD，
∴PO⊥底面ABCD，
又∵平面GEFH⊥平面ABCD，PO⊄平面GEFH，
∴PO∥平面GEFH，
∵平面PBD∩平面GEFH=GK，
∴PO∥GK，且GK⊥底面ABCD
∴GK是梯形GEFH的高
∵AB=8，EB=2，
∴=，
∴KB=DB=OB，即K为OB中点，
又∵PO∥GK，
∴GK=PO，即G为PB中点，且GH=BC=4，
由已知可得OB=4，PO=6，
∴GK=3，
故四边形GEFH的面积S==18
∵D到平面GEFH的距离为6，
∴四棱锥D﹣GEFH的体积为=36．
【点评】本题考查线面平行的判定与性质，考查四棱锥D﹣GEFH的体积的计算，正确运用线面平行的判定与性质是关键．。