2011高中数学精品复习课件：直线与方程

否重合.
易错点：判断两直线平行时要检验是
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1.直线的倾斜角：理解直线的倾斜 角的概念要注意三点：
（1）直线向上的方向； （2）与x轴的正方向； （3）所成的最小正角，其范围是 ［0,π）.
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2.直线的斜率： （1）定义：倾斜角不是90°的直线它的 倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，常 用k表示，即k=tanα.α=90°的直线斜率不存在 ； （2）经过两点P（x1,y1）,Q（x2,y2）的 直线的斜率公式 k y2 y1 （其中x1≠x2）.
点（x1,y1）,（x2,y2）,且x1≠x2,y1≠y2；
（4）截距式： x y 1，直线在x轴上
ab
的截距为a，在y轴上的截距为b；
（5）一般式Ax+By+C=0（A，B不全为 零）.
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4.两条直线的平行与垂直：已知直线
l1：y=k1x+b1;l2：y=k2x+b2，则直线l1∥l2
(Ⅱ)求当OA+OB最小时直线l的方程； (Ⅲ)求当PA·PB最小时直线l的方程；
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引入参数表示直线方程，建立
相应的目标函数，确定当目标函数取最值时
的参数，从而求得直线方程.
设直线方程为y-1=k（x-2），显
然k<0.
令x=0，得y=1-2k；令y=0，得x 2 1 ，
所以A（0,1-2k），B（2- 1 ,0）.
都存在，可得到斜率之积为-1.
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5.若直线ax+2y-6=0与x+（a-1）y-（a2-1） =0平行，则点P（-1，0）到直线ax+2y-6=0的 距离等于 . 5
因为两直线平行，所以有a（a-1） =2，即a2-a-2=0，
解得a=2或a=-1，但当a=2时，两直线重合 ，不合题意，故只有a=-1，所以点P到直线 ax+2y-6=0的距离等于5，填5.
D.（-1，3）
y=2x
x=1
由
，得
x+y=3
y=2.
所以m+2n+5=0，所以点（m,n）可能是 （1，-3），选A.
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4.直线ax+y-1=0与直线y=-2x+1互相垂直 ，则a= .1
2
由题知（-a）×（-2）=-1，所以
a=- 1 ，填- 1 .
2
2
易错点：两直线互相垂直，若斜率
1.直线 3x-y+1=0的倾斜角等于（ B ）
A. 2π
3
C. 5π
6
π
B. 3
D. π
6
斜率k=
3，倾斜
π，角选B.
3
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2.已知α∈R，直线xsinα-y+1=0的斜率 的取值范围是（ ）C
A.（-∞,+∞） B.（0,1］
（Ⅱ）求原点O到直线l的距离取最大 值时l的方程，并求原点O到l的最大距离.
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(Ⅰ)①当l⊥x轴时，满足题意，所以
所求直线方程为x=2；
②当l不与x轴垂直时，直线方程可设为
y+1=k(x-2)，即kx-y-2k-1=0.
由已知得 1 2k 2，解得k= 3 .所以所求
1 k2
综 上 所 述 ， 所 求 直 线 方 程 为 2x+5y=0 或
x+2y+1=0.
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（Ⅱ）设所求直线与直线4x+y+6=0,3x-5y6=0分别相交于A，B.
设A（a,-4a-6），则由中点坐标公式知B （-a,4a+6），
将B（-a,4a+6）代入3x-5y-6=0，得3（-a ）-5（4a+6）-6=0，解得a=36 .
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(Ⅰ)①当横截距、纵截距均为零时，
设所求的直线方程为y=kx，将(-5，2)代入得
k=- ,此时2 直线方程y=- x,即22x+5y=0；
5
5
②当横截距、纵截距都不是零时，设所求
的直线方程为 x y 将1，(-5，2)代入得a=，1此时直线方程2为a x+a2y+1=0.
2
23
从而求得 A（ 36 , 6 ）, B（36 , 6 ）所，以所
23 23 23 23
求直线方程为 y - 1 x.
6
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应用直线方程的几种形式 假设直线方程时须注意其应用的适用 条件；选用恰当的参变量，可简化运 算量.
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变式练习2 求适合下列条件的直线方程. （Ⅰ）过点P（3，2），且在两坐标轴上 的截距相等； （Ⅱ）过点Q（0，-4），且倾斜角为直 线 3x+y+3=0的倾斜角的一半.
1 x0 9
y0
37， 18
所以存在点P( 1 , 37)同时满足三个条件.
9 18
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利用两平行线间的距离公式时，x
，y项对应的系数必须相同；解决存在性问 题，先假设存在，再加以推证.
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变式练习3 已知点P（2，-1），过P点 作直线l.
（Ⅰ）若原点O到直线l的距离为2，求l 的方程；
点P（x0,y0）到直线y=b的距离d=y0-b；
两条平行线l1：Ax+By+C1=0与l2：
Ax+By+C2=0的距离 d
C2 C1 . A2 B2
7.若P（x1,y1）,Q（x2,y2），则 PQ
（x1 x2）2 （y1 y2）2；线段PQ的中点是
（x1 x2 , y1 y2）.
k1=k2且b1≠b2；直线l1⊥l2 k1·k2=-1. 5.求两条相交直线的交点坐标，一般
通过联立方程组求解.
6.点到直线的距离：
点P（x0,y0）到直线l：Ax+By+C=0的 距离 d Ax0 By0 C ；
A2 B2
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特别地，点P（x0,y0）到直线x=a的距离 d=x0-a；
4
直线方程为3x-4y-10=0.
综上，所求直线方程为x=2或3x-4y-10=0. (Ⅱ)结合几何图形，可知当l⊥直线OP时 ，距离最大为5， 此时直线l的方程为2x-y-5=0.
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例4 经过点P（2，1）的直线l分别与两 坐标轴的正半轴交于A，B两点.
(Ⅰ)求当△ABO（O为坐标原点）的面积 最小时直线l的方程；
2
2
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重点突破：直线的倾斜角与斜率 例1 已知点A（-3，4），B（3，2），过点 P（2，-1）的直线l与线段AB有公共点，求直线 l的斜率k的取值范围.
从直线l的极端位置PA，PB入手， 分别求出其斜率，再考虑变化过程斜率的变化 情况.
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直线PA的斜率k1=-1，直线PB的 斜率k2=3，所以要使l与线段AB有公共点， 直线l的斜率k的取值范围应是k≤-1或k≥3.
x2 x1
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3.直线的方程：由直线的几何要素确定 （1）点斜式：y-y0=k（x-x0）,直线的斜率 为k且过点（x0,y0）； （2）斜截式：y=kx+b,直线的斜率为k， 在y轴上的截距为b；
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（3）两点式：
y y2
y1 y1
x x2
xx1直1 , 线过两
（Ⅰ7）求5. a的值；
（Ⅱ10）能否找到一点P，使得P点同时满足下
列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的
距离是P点到l2的距离的 ；③点P到l1的距离与点
P到l3的距离的比为
若能，求1出P点坐标；
若不能，说明理由.
2
2∶ 5.
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7
（Ⅰ）利用l1与l2的距离是
5. 10
可求得a的值.（Ⅱ）先假设P点坐标为P（x0,y0）
即
5
5
所以2xx00-2y0y+04=03或3xx00+2=y00， 1
2 ，
由于P点在第一象限，所以3x0+2=0是不可能
的.
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联立方程2x0-y0+ 13=0和x0-2y0+4=0， 2
x0=3
解得 y0=
1(不合，舍去) 2
2x0-y0+ 11=0
由
6 ，解得
x0-2y0+4=0
（Ⅱ）假设存在点P，设点P（x0,y0），若
P点满足条件②，则P点在与l1,l2平行的直线l′：
2x-y+C=0上，且
C3
5
1
C
1 2
解得C=
，
11或 6
1. 3 2
25
所以2x0-y0+ 11=0,或2x0-y0+ 1=30.
6
2
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若P点满足条件③，则由点到直线距离
公式，有 2 x0 y0 3 2 x0 y0 1 ，
或y= 2 x.
3
(Ⅱ)易得直线 3x+y+3=0的斜率为- 3,则
倾斜角为 2π，所以所求直线的倾斜角为 ，π 故
3
3
斜率为 , 3
由点斜式得所求的直线方程为y= 3x-4.
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重点突破：有关距离
例3 已知直线l1：2x-y+a=0（a>0），直线l2： -4x+2y+1=0和直线l3：x+y-1=0，且l1与l2的距离是
，然后借助题设中的3个条件列方程组，可求得P
点坐标，解题时不可忽视“P是第一象限的点”这
一条件.
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的距离
所以
（Ⅰ）直线l2：2x-y- =120所以l1与l2
a （ 1）
d
2 7 5，
22 （ 1）2 10
a 1
因为a>0,所以a=3.
2 7 5，
5 10
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k
k
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（Ⅰ）△ABO的面积
S
1（1
2k）（2
1）
2
（
1）（ k
4k）
2
k
2
2 （ 1）（ 4k） 2 2 4， k
C.［-1,1］
D.（0,+∞）
直线xsinα-y+1=0的斜率是k=sinα ，又因为-1≤sinα≤1，所以-1≤k≤1，选C.
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3.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相 交于同一点，则点（m,n）可能是（ A ）
A.（1，-3）
B.（3，-1）
C.（-3，1）
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(Ⅰ)当直线在两坐标轴上的截距不为
零时，设其方程为 x y 1，
所以
3
2
aa
1，解得a=5，
aa
此时直线方程为x+y-5=0；
当直线在两坐标轴上的截距均为零时，
设其方程为y=kx，
所以2=3k，则k= ，2 此时直线方程为
y= 2 x.
3
3
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综上所述，所求的直线方程为x+y-5=0
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（4）掌握确定圆的几何要素，掌握圆的 标准方程与一般方程；
（5）能根据给定直线、圆的方程，判断 直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的 方程判断两圆的位置关系；
（6）能用直线和圆的方程解决一些简单 的问题；
（7）初步了解用代数方法处理几何问题 的思想.
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直线和圆是平面解析几何的核心内容之 一，考查时，常与其他知识结合，题型主要 以选择，填空题形式出现.有时在大题中也考 查直线与圆的位置关系，直线与圆锥曲线的 综合问题，同时，突出考查化归与转化思想 ，函数与方程思想，数形结合思想等数学思 想和待定系数法，换元法等数学基本方法.总 体难度中偏易.
直线的倾斜角和斜率的对应关
系是一个比较难的知识点，建议通过正切函
数y=tanx在［0, π）∪（ π,π）上的图象变
化来理解它. 2
2
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变式练习1已知点A（-3，4），B （3，2），过点P（2，-1）的直线l与 线段AB没有公共点，则直线l的斜率k 的取值范围为 -1＜k＜.3
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预计2011年高考在本章的考查以小题 为主，考查重点是与直线的倾斜角，斜率 和截距相关的问题；直线的平行与垂直的 条件；与距离有关的问题；利用待定系数 法求圆的方程，以及直线与圆的位置关系 问题.直线与圆的位置关系，圆与圆的位置 关系也可能以解答题形式出现，考查解析 几何的基本思想和方法.
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（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念 ，掌握过两点的直线斜率的计算公式；能根 据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂 直；
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（2）掌握确定直线位置的几何要素 ，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两 点式及一般式），了解斜截式与一次函数 的关系；
（3）能用解方程组的方法求两直线 的交点坐标；掌握两点间的距离公式、点 到直线的距离公式，会求两条平行直线间 的距离；
可用补集思想求得-1<k<3.
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重点突破：直线方程的求法 例2 (Ⅰ)求经过点A(-5，2)且在x轴上的截 距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程； (Ⅱ)若一直线被直线4x+y+6=0和3x-5y-6=0 截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条直 线方程.
(Ⅰ)讨论截距为零和不为零两种情 况，分别设出直线方程，代入求解.(Ⅱ)设所求 直线与已知一直线的交点坐标A(a,b)，与另一 直线的交点B，因为原点为AB的中点，所以点 B(-a,-b)在相应的直线上，联立方程组求解.